數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)

數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20 第十八章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 一．教材說明 隱函數(shù)理論是微分學(xué)理論的重要組成部分。隱函數(shù)（組）與反函數(shù)組的可微性與微分法是隱函數(shù)理論的主要內(nèi)容。特別是含有隱函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，由于結(jié)構(gòu)關(guān)系較為復(fù)雜，從而增加了計算的難度，隱函數(shù)定理主要應(yīng)用在幾何方面以及求條件極值上。隱函數(shù)不僅包括了所有顯函數(shù)，而且包括了很多有用的非初等函數(shù)，從而給出了非初等函數(shù)的一種新的表示方法。 1．目的與要求 本章的教學(xué)目的是： （1）理解隱函數(shù)定理的有關(guān)概念及隱函數(shù)存在的條件，進(jìn)而會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； （2）了解隱函數(shù)組的有關(guān)概念，理解二元隱函數(shù)組存在的條件，了解反函數(shù)組存在的條件； （3）掌握隱函數(shù)的微分法在幾何等方面的應(yīng)用。會把實際問題抽象為條件極值并予以解決。 本章的教學(xué)要求是： （1）深刻理解隱函數(shù)概念，掌握隱函數(shù)（組）定理及反函數(shù)組定理，要求能運(yùn)用定理驗證方程（或方程組）確定隱函數(shù)（或隱函數(shù)組），能熟練而準(zhǔn)確的求隱函數(shù)（或隱函數(shù)組）與反函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)。了解隱函數(shù)存在的幾何意義以及坐標(biāo)變換的一些結(jié)果； （2）會求平面曲線的切線方程和法線方程；空間曲線的切線方程與法平面方程；空間曲線的切平面方程與法線方程； （3）熟練掌握求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，并能把實際中的某些極值問題抽象為數(shù)學(xué)中的條件極值問題。 2．重點與難點 本章的重點是隱函數(shù)定理；難點是隱函數(shù)定理的證明。 §1 隱函數(shù) 第1次課 教學(xué)內(nèi)容 §1隱函數(shù) 目的要求 理解并掌握隱函數(shù)的存在性、唯一性、連續(xù)性定理的條件、結(jié)論及使用方法. 教學(xué)過程 一．隱函數(shù)概念 函數(shù)，，等，如 ，，. 這種形式的函數(shù)稱為顯函數(shù)。 由方程解得的（時方程無解）稱為由方程確定的隱函數(shù)，或稱為含于方程中的隱函數(shù). 和都是含于方程中的隱函數(shù). 定義 設(shè)有二元函數(shù)，，，若存在和，使得對于任何，關(guān)于變元的方程 都有唯一的解，此解是變元定義在集合上的函數(shù)，稱為由方程確定的隱函數(shù)，或稱為含于方程中的隱函數(shù). ①并不是任何方程都能確定隱函數(shù)，如. 必須研究方程在什么條件下存在的唯一解，使對于任何成立. ②若方程能確定隱函數(shù)，但方程未必可解出，如 對，視為的一元連續(xù)函數(shù)， ，，故在區(qū)間內(nèi)方程有解，又，即的一元連續(xù)函數(shù)在嚴(yán)增，所以在內(nèi)有唯一解，即在內(nèi)能確定隱函數(shù). 但解不出. 二．隱函數(shù)存在性條件的分析 由于滿足方程的點集可看作曲面與坐標(biāo)平面的交集，所以方程能確定一個函數(shù)，至少要求該交集非空，即存在點，使得. 其次，方程能在點附近確定一個連續(xù)函數(shù)，表現(xiàn)為上述交集是一條通過點的連續(xù)曲線段. 如果曲面在點處存在切平面，且切平面與坐標(biāo)平面相交于直線，那么曲面在點附近亦必與坐標(biāo)平面相交（其交線在點處存在切線正是）。為此，設(shè)在點可微，且 , 則可使上述切平面存在，并滿足與相交成直線的要求。 如果進(jìn)一步要求上述隱函數(shù)(或)在點可微，則在為可微的假設(shè)下，通過方程在點處對求導(dǎo)，依鏈?zhǔn)椒▌t得到 ， 當(dāng)時，可由解出 . 類似地，當(dāng)時，通過方程對求導(dǎo)后也可解出 . 由此可見，條件不僅對于隱函數(shù)的存在性，而且對于隱函數(shù)的求導(dǎo)同樣是重要的。 三.隱函數(shù)定理 定理18.1（隱函數(shù)存在唯一性定理）若滿足下列條件: ①函數(shù)在以為內(nèi)點的某一區(qū)域上連續(xù)； ②(通常稱為初始條件)； ③在存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)； ④， 則在點的某一鄰域內(nèi)，方程唯一地確定了一個定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)(隱函數(shù))，使得 1°，時且； 2°在內(nèi)連續(xù). 注意 1)定理18.1中的條件僅僅是充分的。例如方程，在點不滿足條件④，但它仍能確定唯一的連續(xù)函數(shù). 當(dāng)然，由于條件④不滿足，往往導(dǎo)致定理結(jié)論的失效。例如圖所示的雙紐線，其方程為 . 由于,與均連續(xù)，故滿足定理條件①②③. 但因，致使在原點的無論怎樣小的鄰域內(nèi)都不可能存在唯一的隱函數(shù). 2)條件③④是用來保證存在的某一鄰域，在此鄰域內(nèi)關(guān)于變元嚴(yán)格單調(diào). 因此對本定理的結(jié)論來說，條件③④可減弱為“在點的某一鄰域內(nèi)關(guān)于變元嚴(yán)格單調(diào)”. 3)若把定理條件③④改為連續(xù)且，這時結(jié)論是存在維一的連續(xù)函數(shù). 例(P197.1) 方程能否在原點的某鄰域內(nèi)確定隱函數(shù)或？ 解 令，則①在連續(xù)；②；③在連續(xù)；④，故能在原點的某鄰域內(nèi)確定隱函數(shù). 雖然在連續(xù)，但，故不能使用定理18.1. 對于，記則在連續(xù)，在連續(xù)， ，即在原點的某鄰域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào). 又. 當(dāng)時，的符號完全由的符號來確定，又的符號完全由的符號來確定，所以與異號，由根的存在性定理，存在唯一的滿足. 又對應(yīng)唯一的，所以能在原點的某鄰域內(nèi)確定隱函數(shù). 作業(yè) P197. 2. 第2次課 教學(xué)內(nèi)容 §1隱函數(shù)(續(xù))—隱函數(shù)有關(guān)定理的證明 目的要求 理解并掌握隱函數(shù)的存在性、唯一性、連續(xù)性、可微性定理的證明方法. 教學(xué)過程 三．隱函數(shù)定理(續(xù)) 隱函數(shù)定理的證明 證 先證隱函數(shù)存在性和唯一性. 由條件④，不妨設(shè)(若，則可討論)，由條件③在內(nèi)連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，存在點的某一閉的方鄰域，使得在其上的每一點處都有. 因而對每個固定的，作為的一元函數(shù)必在上嚴(yán)格遞增且連續(xù). 特別取時，在上嚴(yán)格遞增且連續(xù). 由初始條件②可知 ， . 再由的連續(xù)性條件①，又可知與在上也是連續(xù)的. 因此由保號性存在，當(dāng) 是恒有 ， . 如圖，在矩形的邊上取負(fù)值，在邊上取負(fù)值，因此對內(nèi)的每一個，同樣有 ， . 由于在上嚴(yán)格遞增且連續(xù)，所以存在唯一的，使得. 由于在內(nèi)的任意性，就確定了一個隱函數(shù)，它的定義域為，值域含于，若記，則滿足結(jié)論的各項要求. 再證的連續(xù)性. 對于，，則由上可知. 任給，且設(shè)，使得 從而, 。由保號性存在的某鄰域，使得當(dāng)屬于該鄰域同樣有 , . 因此存在唯一的，使得, . 由于的唯一性，推知. 這證得：當(dāng)時，即在連續(xù). 由的任意性，證得在內(nèi)處處連續(xù). ▌ 定理18.2(隱函數(shù)可微性定理)設(shè)滿足隱函數(shù)存在唯一性定理中的條件①②③④，又設(shè)在內(nèi)還存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則由方程所確定的隱函數(shù)在其定義域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 . 證 設(shè), 且 . 由于，因此由，的連續(xù)性以及二元函數(shù)中值定理，有 , . 注意到上式右端是連續(xù)函數(shù)、與的復(fù)合函數(shù)，而且在內(nèi)不等于零，故有 . 且在內(nèi)連續(xù). ▌ 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法來求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù): . . 將代入上式, 得 . . 也可對式直接求導(dǎo)得出. 定理18.3 若①函數(shù)在以點為內(nèi)點的區(qū)域上連續(xù)； ②； ③偏導(dǎo)數(shù)在內(nèi)存在且連續(xù)； ④， 則在點的某鄰域內(nèi)，方程唯一地確定了一個定義在點的某鄰域內(nèi)的元連續(xù)函數(shù)(隱函數(shù))： ，使得 當(dāng)時， 且， ； 在內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ，，. 作業(yè) P197. 3(1)(2)(3) 第3次課 教學(xué)內(nèi)容 §1隱函數(shù)(再續(xù))—隱函數(shù)求導(dǎo)舉例及反函數(shù)的存在性與其導(dǎo)數(shù) 目的要求 學(xué)會并掌握隱函數(shù)求導(dǎo)的常用的和技巧的方法. 教學(xué)過程 四．隱函數(shù)求導(dǎo)舉例 例1．證明方程 在原點的某鄰域內(nèi)能確定是的隱函數(shù)，并求. 解 因為，，在連續(xù)，，，所以方程在原點的某鄰域內(nèi)能確定是的隱函數(shù). . 例2．討論笛卡爾(Descartes)葉形線 所確定的隱函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù). 解 . . ; , 曲線在點處有一水平切線,在點處有一垂直切線. 注意 方程在原點和點的任何鄰域內(nèi)不能確定唯一的隱函數(shù). 例3．討論方程 在原點附近所確定的二元隱函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù). 解 由于， ，，連續(xù)， ，所以方程在原點附近能確定隱函數(shù)，且，. 例4(反函數(shù)的存在性與其導(dǎo)數(shù))．設(shè)在的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且. 考慮方程 由于，，，所以只要，方程在某鄰域內(nèi)確定唯一連續(xù)可微隱函數(shù)，此即的反函數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 . 例5(P197.8). 設(shè)是一元函數(shù)，試問應(yīng)對提出什么條件，方程 在點的鄰域內(nèi)能確定出唯一的為的函數(shù)？ 解 令，則. 不妨設(shè)存在連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則，. 再設(shè)，方程在點的鄰域內(nèi)能確定出唯一的為的函數(shù). 例6(P197.4).設(shè)，其中為由方程所確定的隱函數(shù)，求及. 解 ， . ， . 作業(yè) P197. 3(2)(5)(6). 5. §2 隱函數(shù)組 第4次課 教學(xué)內(nèi)容 §2隱函數(shù)組 目的要求 理解并掌握隱函數(shù)組的基本概念和隱函數(shù)組的存在唯一性定理，學(xué)會使用隱函數(shù)組定理解決實際問題. 教學(xué)過程 一． 隱函數(shù)組概念 設(shè)和是定義在區(qū)域上的兩個四元函數(shù)，若存在平面區(qū)域，對于中每一點，分別有區(qū)間和上唯一的一對值，，它們與一起滿足方程組 則說方程組確定了兩個定義在上，值域分別落在和內(nèi)的函數(shù)，稱這兩個函數(shù)為由方程組所確定的隱函數(shù)組. 若分別記這兩個函數(shù)為，，則在上成立恒等式 ， . 一般的含有個變元的個方程所確定的個隱函數(shù)見第十九章內(nèi)容. 二． 隱函數(shù)組定理 1．探索條件 不妨假設(shè)中的函數(shù)與是可微的，且由所確定的兩個隱函數(shù)與也是可微的. 要從解出與，從解出與其充要條件是 式左邊行列式稱為函數(shù)關(guān)于變元的函數(shù)行列式（雅可比(Jacobi)行列式）, 記為. 2．隱函數(shù)組定理 定理18.4(隱函數(shù)組定理) 若①和在以點 為內(nèi)點的區(qū)域內(nèi)連續(xù)；②，(初始條件)；③在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)； ④，則在點的某一(四維空間)鄰域內(nèi)， 方程組唯一確定了定義在點的某一(二維空間) 鄰域內(nèi)的兩個二元隱函數(shù)，，使得 ，，且當(dāng)時，恒成立 ，，； ，在內(nèi)連續(xù)； ，在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ， ， ， . 證明從略，但講解中四個求偏導(dǎo)公式的由來. 注意 在定理18.4中，若將條件④改為，則方程組所確定的隱函數(shù)組相應(yīng)地是，. 3. 應(yīng)用舉例 例1討論方程組 在點的某鄰域內(nèi)能確定怎樣的隱函數(shù)組，并求其偏導(dǎo)數(shù). 解 首先，即滿足初始條件. 其次， ，，，，，，在中連續(xù)，在點處的所有六個雅可比行列式中只有. 因此只有難以定能否作為以為自變量的隱函數(shù)，除此之外，在點的某鄰域內(nèi)任何兩個變量都可以作為其余兩個變量為自變量的隱函數(shù). 以下只求，的偏導(dǎo)數(shù)： ，； ，. 作業(yè) P206. 1. 2. 第5次課 教學(xué)內(nèi)容 §2隱函數(shù)組(續(xù)) 目的要求 理解并掌握反函數(shù)組的基本概念和反函數(shù)組的存在唯一性定理，學(xué)會坐標(biāo)變換方法，學(xué)會使用坐標(biāo)變換方法解決實際問題. 教學(xué)過程 三 反函數(shù)與坐標(biāo)變換 在§1例4中，我們通過隱函數(shù)定理討論了一元函數(shù)反函數(shù)存在的（充分）條件. 現(xiàn)在討論由二元函數(shù)組所確定的反函數(shù)組及其存在的（充分）條件. 設(shè)函數(shù)組 , 是定義在平面點集上的兩個函數(shù)，對每一點，由方程組（9）有平面上唯一的一點與之對應(yīng). 我們稱方程組（9）確定了到的一個映射（變換），記作. 這時映射（9）可寫成如下函數(shù)形式： : , 或?qū)懗牲c函數(shù)形式，, 并稱為映射下的像，而則是的原像. 記在映射下的像為. 反過來，若為一一映射（即不僅每一原像只對應(yīng)一個像，而且不同的原像對應(yīng)不同的像）. 這時每一點，由方程組（9）都有唯一的一點與之相對應(yīng). 由此所產(chǎn)生的新映射稱為映射的逆映射（逆變換），記作，即 : , , 或 , . 亦即存在定義在上的一個函數(shù)組 , . 把它代入（9）而成為恒等式： , , 這時我們又稱函數(shù)組（10）是函數(shù)組（9）的反函數(shù)組. 關(guān)于反函數(shù)組的存在性問題，其實是隱函數(shù)組存在性問題的一種特殊情形.這只須把方程組（9）改寫成 并將定理18.4應(yīng)用于（12），便可得到函數(shù)組（9）在某個局部范圍內(nèi)存在反函數(shù)組（10）的下述定理. 定理18.5（反函數(shù)組定理） 設(shè)函數(shù)組（9）及其一階偏導(dǎo)數(shù)在某區(qū)域上連續(xù)，點是的內(nèi)點，且 , , . 則在點的某一鄰域內(nèi)存在唯一的一組反函數(shù)（10），使得，, 且當(dāng)時，有 以及恒等式（11）. 此外，反函數(shù)組（10）在內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且 由（13）看到，互為反函數(shù)組的（9）與（10），它們的雅可比行列式互為倒數(shù)，即.這與（一元）反函數(shù)求導(dǎo)公式（§1中（15）式）相內(nèi)似. 例2. 平面上的點的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換公式為, , 由于 , 所以除原點外，在一切點上由函數(shù)組（14）所確定的反函數(shù)組是： , ║ 對于函數(shù)組 , , 在相應(yīng)于定理18.5的條件下所確定出的反函數(shù)組為 , , , 它們是三維空間中直角坐標(biāo)與曲面坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換，一般說來，對任意個變量的函數(shù)組也可作類似的推廣. 例3 直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換公式為 由于 , 所以在即除去軸上的一切點，由方程組（15）可確定出, , 為的函數(shù)，即 , , . 例4．設(shè)為二元可微函數(shù)，對于函數(shù)組，，試把弦振動方程 變換成以為自變量的形式. 解 首先有，，從而. 因此所設(shè)變換，存在逆變換，而且又有 ，. 于是按微分形式不變性，得到 . 并由此推知 , . 按此繼續(xù)求以為自變量的與如下： , , 借助這些結(jié)果就得到 , 即把原來作為自變量的弦振動方程變換成以作為新自變量的方程為. 而且進(jìn)一步容易求得此方程的解的形式為 （參見的十七章總練習(xí)題7） 作業(yè) P205.3.4. 第6次課 教學(xué)內(nèi)容 §3 幾何應(yīng)用 目的要求 掌握平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，空間曲面的切平面與法線方程，學(xué)會使用的一些技巧. 教學(xué)過程 一 平面曲線的切線與法線 設(shè)平面曲線由方程 給出，它在點的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)定理的條件，于是，過點的切線方程為，即 ； 過點的法線方程為 . 例1．求笛卡爾葉形線在點處的切線方程和法線方程. 解 設(shè)，則，， , , 故切線方程為，即； 法線方程為，即. 二 空間曲線的切線與法平面 1．由參數(shù)方程表示的空間曲線： ：，，，. 問題是求過曲線上的點(由給出)的切線方程和法平面方程. 假設(shè)，在曲線上點附近取點，則割線的方程為 ， 即 ， 令，得過曲線上的點的切線方程： . 于是法平面方程為 . 2．當(dāng)空間曲線由方程組 ： 給出時，若在點的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組定理的條件(不妨設(shè)條件④是)，則方程組 ，， 且 , . 空間曲線的參數(shù)方程是 ，，. 于是切線方程是 ，即 . 法平面方程是 . 當(dāng)，，不全為零時，它們就是曲線在點處的切線的方向數(shù). 例2．求球面與錐面所截出的曲線的點處的切線方程與法平面方程. 解 設(shè)，，它們在點有，，，，， ，，. 切線方程為，即 ； 法平面方程為 ，即. 三 曲面的切平面與法線 設(shè)曲面由方程 給出，它在點的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組定理的條件(不妨設(shè))，于是使得 ，，. 于是切平面方程為 ， 即 ； 法線方程為 . 例3．求橢球面在處的切平面方程與法線方程. 解 設(shè)，則，， 在處，，，，故切平面方程為 ， 即 ； 法線方程為 . 作業(yè) P212. 1. 2(1)(2). 3(1). 第7次課 教學(xué)內(nèi)容 §4 條件極值 目的要求 理解并掌握條件極值的概念，理解并掌握條件極值與無條件極值間的聯(lián)系，掌握解決條件極值問題拉格朗日乘數(shù)法. 教學(xué)過程 一 問題提出 要設(shè)計一個容積為的長方形開口的水箱，問水箱的長，寬，高各等于多少時，其表面積最??？ 設(shè)水箱的長，寬，高各為，水箱的表面積為，則 . 表面積函數(shù)的自變量不僅在定義域內(nèi)取值，而且要滿足條件. 這類附有約束條件的極值問題稱為條件極值問題. 二 條件極值問題的一般形式 在條件組 ， 約束限制之下，求目標(biāo)函數(shù) 的極值. 三 與無條件極值問題的聯(lián)系 ，這樣一來，原來的三元函數(shù)的條件極值問題，經(jīng)過代入消元法，轉(zhuǎn)變?yōu)槎瘮?shù)的無條件極值問題. 一般說來，設(shè)可能 ， ，問題就轉(zhuǎn)化為求元函數(shù)的無條件極值. 四 拉格朗日乘數(shù)法 以皆為二元函數(shù)為例，欲求函數(shù) 的極值，其中受條件 ： 的限制. 若把條件看作所滿足的曲線方程，并設(shè)上的點為在條件下的極值點，且在點的某鄰域內(nèi)方程能唯一確定可微的隱函數(shù)，則必是的極值點，有 . 而 . 把代入，得 . 在幾何意義上，表示曲面的等高線與曲線在點處有公切線，從而存在常數(shù)，使得在點處滿足 如果引入輔助變量和輔助函數(shù) ， 則中三式就是 這就把條件極值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的無條件極值問題. 這種方法稱為拉格朗日乘數(shù)法，中的函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù)，輔助變量稱為拉格朗日乘數(shù). 對于由兩式所表示的一般條件極值問題的拉格朗日函數(shù)是 . 定理18.6 設(shè)在條件的限制下，求函數(shù)的極值問題，其中與在區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù). 若內(nèi)的點是上述問題的極值點，且雅可比矩陣 的秩為，則存在個常數(shù)，使得為拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點，即為下述個方程 的解. 第8次課 教學(xué)內(nèi)容 §4 條件極值(續(xù)) 目的要求 掌握使用拉格朗日乘數(shù)法解決條件極值問題的方法. 教學(xué)過程 五 應(yīng)用舉例 例1． 用拉格朗日乘數(shù)法重新求解本節(jié)開頭提到的水箱設(shè)計問題. 解 ， 解得 ，. 依題意，所求水箱的表面積在條件下確實存在最小值. 由知當(dāng)高為 ，長與寬為高的倍時，表面積最小. 最小值. 例2．拋物面被平面截成一個橢圓，求這個橢圓到坐標(biāo)原點的最長與最短距離. 解 問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 在條件及下的最大與最小值. 令 ， 有 解得 , , , . 就是拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點，且所求的條件極值點必在其中取得. 由于所求問題存在最大值和最小值(因為函數(shù)在有界閉集上連續(xù)，從而必存在最大值和最小值)，故由 ，得最長距離為，最短距離為. 例2．求在條件（下的最小值，并證明不等式 . 解 拉格朗日函數(shù)為，有 由前三式得 . 把它代入第四式得 . 從而函數(shù)的穩(wěn)定點為，. 為了判斷是否為所求條件極小值，把條件看作隱函數(shù)，把目標(biāo)函數(shù)看作與的復(fù)合函數(shù)，就可用極值充分條件來判斷. ，， , , . ，， ，, . 當(dāng)時，，， 故所求得的穩(wěn)定點為極小值點，又因極值點唯一，從而又是小值點. 于是有不等式 （且. 令，則，代入，得 ，或 作業(yè) P220. 1(1)(2)(3). 2(1). 第9次課 教學(xué)內(nèi)容 第十八章習(xí)題課 目的要求 掌握使用隱函數(shù)定理，隱函數(shù)組定理，拉格朗日乘數(shù)法解決具體數(shù)學(xué)問題的方法. 教學(xué)過程 一 本章內(nèi)容 1.隱函數(shù)定理 重要的是； 2.隱函數(shù)組定理 重要的是； 3.隱函數(shù)和隱函數(shù)組求偏導(dǎo)數(shù)都是根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法； 4.拉格朗日乘數(shù)法 將條件極值轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)的無條件極值. 二 例題選講 例1(P221.2.)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且. 問在什么條件下，方程能確定隱函數(shù). 研究例子：①；②. 解 在上連續(xù)， 關(guān)于嚴(yán)格單調(diào)，故若，即在點滿足，就可以在點的某鄰域內(nèi)確定隱函數(shù). ①，，則和都在上連續(xù)，且 ，又，由上述結(jié)論，方程 能確定隱函數(shù). ②, , ,方程不能確定隱函數(shù). 例2(P221.4.)已知，，都是可微的， ，證明： . 證 因為 . 例3(P221.6.)試求下列方程所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： ①, ②. 解 ① ； . ②; . 例4(P221.8.)設(shè)滿足方程組 這里所有的函數(shù)假定有連續(xù)的導(dǎo)數(shù). ①說出一個能在該點鄰域內(nèi)確定作為的函數(shù)的充分條件 ②在，，的情況下，上述條件相當(dāng)于什么？ 解 ①設(shè) 由題設(shè)知，⑴在內(nèi)連續(xù)； ⑵在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)； ⑶，， 故當(dāng)時原方程組能在鄰域內(nèi)確定作為的函數(shù). ②當(dāng)，，時， 兩兩互異. 例5(P222.10.)設(shè)和一組函數(shù)，，那么由方程可以確定函數(shù). 試用表示. 解 . 例6(P222.12.)設(shè)為自然數(shù)，，用條件極值方法證明： . 證 令，作拉格朗日函數(shù) , , , . , , . 當(dāng)時，，，故，即. 例7(P222.14.)設(shè)是曲面的非奇異點(即)，在可微，且為次齊次函數(shù). 證明：此曲面在處的切平面方程為 . 證 因為次齊次函數(shù)且，故，特別在處也有. 曲面在處的切平面方程為 ， 即 . 作業(yè) P221-222. 1. 3. 5. 13. — 29 —