數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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第十四章 冪級數(shù)
一．教材說明
冪級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)中一類特殊而又最簡單、最常用的級數(shù). 由于冪級數(shù)的結(jié)構(gòu)簡單，在某種程度上有些類似于多項式的性質(zhì). 因此，它就成為應(yīng)用廣泛的一類重要的函數(shù)項級數(shù). 本章著重討論冪級數(shù)的一致收斂性及和函數(shù)的分析性質(zhì)與函數(shù)如何展開成冪級數(shù)等問題.
1．目的與要求
本章的教學(xué)目的是：
（1）理解冪級數(shù)的有關(guān)概念、掌握其收斂性的有關(guān)問題；
（2）理解冪級數(shù)的運算、掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開式并認(rèn)識余項在確定函數(shù)能否展為冪級數(shù)時的重要性.
本章的教學(xué)要求是：
（1）掌握冪級數(shù)的概念、性質(zhì)、收斂域、一致收斂性；
（2）理解并會求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及半徑；
（3）理解和函數(shù)的性質(zhì)，掌握冪級數(shù)的有關(guān)運算；
（4）理解的基礎(chǔ)上掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開并會計算函數(shù)值.
2．重點與難點
本章的重點是冪級數(shù)的收斂區(qū)間、收斂半徑、展開式. 難點是收斂區(qū)間端點斂散性的判斷.
§14.1 冪級數(shù)
第12次課
教學(xué)內(nèi)容：冪級數(shù)
目的要求：掌握冪級數(shù)的概念、性質(zhì)、收斂域、一致收斂性；理解并會求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及半徑.
函數(shù)項級數(shù)——（最簡單；多項式函數(shù)的延展）
（1）
稱為冪級數(shù).
時（令）
（2）
冪級數(shù)（2）的每一項都是非負(fù)整數(shù)冪的冪函數(shù)，這就是冪級數(shù)名稱的來源. 可以形象的把冪級數(shù)（2）看作是自變量升冪排列的“無窮次多項式”. 由冪級數(shù)所定義的這類函數(shù)，它在許多方面幾乎與多項式類似. 雖然冪級數(shù)的和函數(shù)可能很復(fù)雜，但是總可用它的部分和——次多項式函數(shù)近似代替其和函數(shù)，其誤差可達(dá)到任意精確程度.
本章討論冪級數(shù)的兩個問題：一是冪級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)；二是將和函數(shù)“展成”冪級數(shù)的條件和展開公式.
一．冪級數(shù)的收斂區(qū)間
1．冪級數(shù)的收斂性
冪級數(shù)（2）在處總收斂.
定理1（阿貝耳定理）——阿貝耳第一定理
（i）若冪級數(shù)（2）在處收斂，則（2）在：處收斂且絕對收斂；
（ii）若冪級數(shù)（2）在發(fā)散，則（2）在：發(fā)散.
證：（i）已知收斂，則，從而有界，即，，有 .
：，記，則
而幾何級數(shù)是收斂的，于是（2）在：處收斂且絕對收斂；
（ii）反證法. 假設(shè)：，（2）在收斂，由（i）則（2）在絕對收斂，與已知矛盾，即（2）在：發(fā)散.
由定理可見：
冪級數(shù)（2）的收斂域（收斂點集合）是以原點為中心的區(qū)間（收斂點與發(fā)散點不能在數(shù)軸交錯混雜出現(xiàn)），設(shè)區(qū)間長度為，稱為冪級數(shù)的收斂半徑，有
稱為冪級數(shù)（2）的收斂區(qū)間.
定理2. 對冪級數(shù)（2），若
（或 ）
則（2）的收斂半徑
.
證：對正項級數(shù)：
i），當(dāng)即時，（2）絕對收斂；當(dāng)即時（2）發(fā)散，即.
ii），，，即（2）在絕對收斂，故.
iii），，，有，即，，（2）發(fā)散，.
例1．例2．（P57），例4（P59），從略.
2．冪級數(shù)的一致收斂性問題
定理4. 若冪級數(shù)（2）收斂半徑，則它在任意上一致收斂. （內(nèi)閉一致收斂性）
證：記，則，有
而（2）在絕對收斂，由優(yōu)級數(shù)判別法知（2）在一致收斂.
定理5. 若冪級數(shù)（2）收斂半徑，且在（或）處收斂，則（2）在（或）一致收斂.
證：設(shè)級數(shù)（2）在收斂，，有
已知收斂（從而在一致收斂），在遞減且一致有界，即
，
故由阿貝耳判別法知級數(shù)（2）在一致收斂.
注：不可用優(yōu)級數(shù)證之，，，原因是（2）在不一定絕對收斂.
二．冪級數(shù)的性質(zhì)
由函數(shù)項級數(shù)一致收斂條件下和函數(shù)的連續(xù)性可證.
定理6. （i）冪級數(shù)（2）的和函數(shù)在內(nèi)連續(xù)；
（ii）若冪級數(shù)（2）在收斂區(qū)間的左（右）端點收斂，則其和函數(shù)也在這一端點右（左）連續(xù).
證：（i），，使，由在一致收斂，而，在連續(xù)，則其和函數(shù)在連續(xù)，從而在處連續(xù)，由點的任意性知（2）在內(nèi)連續(xù).
（ii）若冪級數(shù)（2）在收斂，則在一致收斂，又，在連續(xù)，則和函數(shù)在連續(xù)，從而在左連續(xù).
作業(yè)：P64～65. T1(3)(4)(6)(8), T7(1)
§14.1 冪級數(shù)
第13次課
教學(xué)內(nèi)容：冪級數(shù)（續(xù)）
目的要求：理解并會求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及半徑；理解和函數(shù)的性質(zhì)，掌握冪級數(shù)的有關(guān)運算.
二．冪級數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）
冪級數(shù) （2）
逐項求導(dǎo)，逐項求積則得：
（7）
（8）
定理7. 冪級數(shù)（2）與冪級數(shù)（7）、冪級數(shù)（8）具有相同的收斂區(qū)間（端點處可能不同）.
證：只要證明（2）與（7）滿足結(jié)論即可.
設(shè)冪級數(shù)（2）的收斂區(qū)間為，，，：，由于收斂，從而（，），
記，則，有
從而
由級數(shù)的比式判別法知收斂，故冪級數(shù)（7）在點絕對收斂，由點的任意性，知（7）在收斂.
下證（7）在：收斂，：，由阿貝耳定理知（7）在處絕對收斂，取，則
由比較原則知（2）在處絕對收斂，這與（2）收斂區(qū)間為矛盾，這就證得（7）的收斂區(qū)間也是.
注：收斂區(qū)間的端點可能不同. 如
，收斂半徑為，收斂域為；
，收斂半徑為，收斂域為；
，收斂半徑為，收斂域為；
定理8. 設(shè)冪級數(shù)（2）在上和函數(shù)為，，則
（i）在可導(dǎo)，且；
（ii）在0與區(qū)間上可積，且
.
證：由定理7，級數(shù)（2），（7），（8）有相同的收斂半徑，，，使，由定理4，級數(shù)（2），（7）在上一致收斂，它們每一項在連續(xù)，則由函數(shù)項級數(shù)的逐項可導(dǎo)和逐項求積定理，保證結(jié)論（i），（ii）成立.
推論1. 冪級數(shù)（2）在收斂區(qū)間上和函數(shù)為，則在上具有任何階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且可逐項求導(dǎo)任意次.
推論2. 設(shè)為冪級數(shù)（2）在某領(lǐng)域內(nèi)的和函數(shù)，則冪級數(shù)（2）的系數(shù)與在的各階導(dǎo)數(shù)有關(guān)：
，，.
這個推論還表明，若級數(shù)（2）在上有和函數(shù)，則級數(shù)（2）由在的各階導(dǎo)數(shù)所唯一確定.
三．冪級數(shù)的運算
定義：若冪級數(shù)
（2）
（9）
在某領(lǐng)域內(nèi)有相同的和函數(shù)，則稱它們在這個領(lǐng)域內(nèi)相等.
定理9. 若冪級數(shù)（2）與（9）在某領(lǐng)域內(nèi)相等，則，.
推論：若冪級數(shù)（2）的和函數(shù)為奇（偶）函數(shù)，則（2）式不會出現(xiàn)偶（奇）次冪的項.
由
即可得證.
定理10. 若冪級數(shù)（2）與（9）收斂半徑分別為和，則
， ，
， ，
， ，
其中為常數(shù)，，.
由數(shù)項級數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)可推證.
利用已知冪級數(shù)的和函數(shù)求級數(shù)的和函數(shù)的問題：
例5．已知幾何級數(shù)
，
在逐項求導(dǎo)得
，
在（）逐項求積得
即 ，
例6．求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：
（1） （2） （3）
解：（1）的收斂半徑，收斂區(qū)域為，，設(shè)
，則
，
則，即，而，于是
，
又級數(shù)在收斂，從而在左連續(xù)，則
，
綜上，，
（2）的收斂半徑為，收斂區(qū)域為，，設(shè)
，
則
則
即 ，.
（3）的收斂半徑為，收斂區(qū)域為，，設(shè)
，
則 ，，
從
，
求導(dǎo)得 ，即 ，
再求導(dǎo)便得 ， ， （）
又，故 ，.
習(xí)題選講
1．（P65.T9(2)）求和函數(shù)
解：由知收斂半徑，又時級數(shù)收斂，則收斂域為，
，，則 ，
，，，
則可推得
則當(dāng)時， ，
由級數(shù)在右、左連續(xù)可得，，又，故
2．（P65.T10）設(shè)（）為等差數(shù)列，試求：
（1）冪級數(shù)的收斂半徑； （2）數(shù)項級數(shù)的和數(shù).
解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差，則
，所以，
（2），
，對考察冪級數(shù)（），設(shè)
，則
故 ，
令得，所以 ，
故 .
作業(yè)：P65. T2(2)(3), T3, T9(2)
§14.2 函數(shù)的冪級數(shù)展開
第14次課
教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的冪級數(shù)展開
目的要求：理解的基礎(chǔ)上掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開并會計算函數(shù)值，認(rèn)識余項在確定函數(shù)能否展為冪級數(shù)時的重要性.
一．泰勒級數(shù)
1．泰勒公式
若在點的某領(lǐng)域內(nèi)存在直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則
，（1）
，在與之間. ——拉格朗日型余項
稱（1）為在的泰勒公式.
2．泰勒級數(shù)
若在處存在任何階導(dǎo)數(shù)，稱形式為
（3）
的級數(shù)為在的泰勒級數(shù).
以下討論級數(shù)（3）的和函數(shù)是否為.
例1．對在處，可知，，則在處的泰勒級數(shù)為
它在收斂，和函數(shù).
所以，.
3．收斂定理
定理11. 設(shè)在具有任意階導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充分條件是，有.
證：由泰勒公式有，
（），
故 ， .
注：
1°在上述充分條件下，稱在領(lǐng)域可展開成泰勒級數(shù)，（3）稱為在處的冪級數(shù)展開式；
2°馬克勞林級數(shù)
3°在的泰勒公式的余項
積分型余項：
拉格朗日型余項：，在0與之間
柯西型余項：，.
定理（P73.T1）設(shè)在區(qū)間存在各階導(dǎo)數(shù)且各階導(dǎo)數(shù)一致有界，即，，，，則，有
（即為泰勒級數(shù)的和函數(shù)）
證：由泰勒公式（帶拉格朗日型余項），有
在與之間
，
而由比式判別法知數(shù)項級數(shù)收斂，從而，故，由定理11得證.
二．初等函數(shù)的冪級數(shù)展開
1．
又，，，即，故由
得 .
2．
，，
又，（0的某領(lǐng)域），，有
則在可展開成冪級數(shù)，由的任意性知在可展開成冪級數(shù)，且
，
3．，
，，，，，則在可展成泰勒級數(shù).
令，由上有
，，
故 ，
，
4．，
利用，
逐項積分可得
即有 ，，
將上式中換成，則得
，
5．，為常數(shù)，（二項式函數(shù)）
，
，
則的馬克勞林級數(shù)為
，
運用比式判別法，可得收斂半徑，現(xiàn)在內(nèi)考察它的柯西余項
，
由比式判別法，級數(shù)當(dāng)時收斂，故有
，
又由于有，且，從而有 ,
再當(dāng)時，有，于是
故當(dāng)時，是與無關(guān)的有界量；當(dāng)時，也有同樣結(jié)論.
綜上所述，當(dāng)時，，所以在上，
，
特別地：
，，
，，
，，
由上又有
，
，
逐項求積得
，
，
例：利用冪級數(shù)的展開式求非初等函數(shù)
在冪級數(shù)展開式.
解：由，
可得 ，
再逐項求積即可得
.
作業(yè)：P74. T2(3)(4)(7), T3(1)
習(xí)題課
第15次課
教學(xué)內(nèi)容：冪級數(shù)習(xí)題課
目的要求：回顧本章重要知識，掌握冪級數(shù)的性質(zhì)和展開式
1．（P74. T2）(3)
解：由于
，
則時，有
所以有
，
（5）
解：由于，；，，由、皆絕對收斂，故由柯西乘積有
，.
（6）
（9）
解：令，，因為
，
所以，
再逐項求積即得.
2．（P74.T3(2)）求在處的泰勒展開式.
解：利用，
有 ，，
3．（P79. T1, T2 ）簡單提示
4．（P80.T4(1)）應(yīng)用冪級數(shù)性質(zhì)求級數(shù)的和.
解：令，，則
于是 ，
令，可得 .
5．（P80. T5）設(shè)函數(shù)定義在上，證明它在上滿足下述方程：
.
證：因為，，
，
令，，則
于是，，又在左連續(xù)，而，故.
6．（P80. T7）求極限（2）
解：由于，，則
（3）
解：充分大時，，則
.
7．求函數(shù)的冪級數(shù)展式，指出其收斂范圍，并利用此展開式求出級數(shù)
的和.
略解：利用得，兩邊求導(dǎo)得
，
由此可得
令即得.
— 63 —
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上傳時間：2021-03-06
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數(shù)學(xué)分析
全套
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謎底
試卷
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