數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)

數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 一．教材說明 多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣. 因此，它不僅保留了一元函數(shù)的許多性質(zhì)，也具有一元函數(shù)所沒有的一些獨有的性質(zhì). 討論手法是以二元函數(shù)為主，然后推廣到多元函數(shù)情況. 學(xué)習(xí)、講解多元函數(shù)時，要經(jīng)常將所討論的概念、定理以及處理問題的方法與一元函數(shù)中相應(yīng)的概念、定理以及處理問題的方法進(jìn)行分析和對比. 1．目的與要求 本章的教學(xué)目的是： （1）明確認(rèn)識多元函數(shù)與一元函數(shù)的相同和不同之處，進(jìn)而掌握多元函數(shù)研究問題的手法與特點； （2）明確研究多元函數(shù)的目的及多元函數(shù)的用途. 本章的教學(xué)要求是： （1）掌握平面點集的有關(guān)概念，并能求出函數(shù)的定義域，繪出其圖形； （2）理解并掌握二元函數(shù)的極限，能利用累次極限解決問題，搞清楚重極限與累次極限的關(guān)系； （3）理解二元函數(shù)的連續(xù)性，掌握有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). 2．重點與難點 本章的重點是平面點集的有關(guān)概念與二元函數(shù)的連續(xù)性. 難點是二元函數(shù)極限的討論. §16.1 平面點集與多元函數(shù) 第21次課 教學(xué)內(nèi)容：平面點集與多元函數(shù) 目的要求：掌握平面點集的有關(guān)概念，并能求出函數(shù)的定義域，繪出其圖形；會判斷點集的類型. 多元函數(shù)（簡言，多個變量的函數(shù)）——二元函數(shù) 一. 平面點集 1．坐標(biāo)平面：確定了坐標(biāo)系的平面. （坐標(biāo)平面上滿足條件P的點的集合，稱為）平面點集： 如： （1） （2） （3） 2．點的鄰域 平面點集 ——點 的圓鄰域 ——點 的方鄰域 圓鄰域 方鄰域 以上兩種鄰域統(tǒng)稱為點的鄰域，記為或. （注：不加區(qū)別的統(tǒng)稱的原因：可相互包含） 點的空心鄰域或： 或 注：上后一式≠ 3．點和點集的關(guān)系 ①（點 與點集）按“在內(nèi)或外”分類： （i）內(nèi)點——，，稱點是點集的內(nèi)點；記為 （ii）外點——，，稱點是點集的外點； （iii）界點——，且，稱點是點集的界點. 其中；的全體界點集合稱為的邊界，記做. 可見：的內(nèi)點必屬于；的外點必不屬于；的界點可能屬于，也可能不屬于. ②按“點的近旁是否密集著中無窮多個點”分類： （i）聚點——，，則稱為點集的聚點； （ii）孤立點——且，，稱為點集的孤立點. 可見： 的聚點可能屬于，也可能不屬于 孤立點一定是界點 內(nèi)點和非孤立點的界點一定是聚點 既不是聚點，又不是孤立點，則必為外點. 4．幾個重要的平面點集 ①開集——所屬的每一點都是的內(nèi)點，如（2），（1） ②閉集——的所有聚點都屬于或沒有聚點，如（3），（1） 注：既是開集又是閉集；約定既是開集又是閉集，（4）既非開集又非閉集. ③開域——非空開集具有連通性，如（2），（1） ④閉域——開域連同其邊界所組成的點集，如（3），（1） ⑤區(qū)域——開域、閉域，或者開域連同其一部分界點所成的點集，如（4） 又如： （5） 是開集，但非開域，非區(qū)域. ⑥有界點集——對平面點集，若，使，如（2）（3）（4）是有界點集，（1）（5）非有界點集. 或：為有界點集矩形區(qū)域. 5．平面上兩點和之間的距離：滿足三角不等式. 點集的直徑. 可見：為有界點集為有限值. 證：“”設(shè)有界，則，，有，，則 則 為定值. “”設(shè)為有限值，取定，，有 為定數(shù)，記為，即 ，故為有界點集. ▋ 補(bǔ)充例題： 1．（P120. T1（7）） 解：該點集為非開非閉的無界集. 聚點為點及曲線上的點；界點同聚點. （8） 解：該點集為有界閉集；聚點為點集中所有點，界點同聚點. （9） 解：該點集為有界閉集. 聚點為點集中所有點，界點為滿足或的點. （10） 解：該點集為無界閉集（因為無聚點所以為閉集）. 無聚點，界點為該點集這所有點. 2．（P120. T4）證明：閉域必為閉集. 舉例說明反之不真. 分析：只需證“的任一聚點都是的點”，從而只需證“非的點非的聚點” 證：設(shè)為閉域，則存在開域，使， ，則且， 由知：，， 由知：， （*） 下證（從而非的聚點） 反設(shè)，則充分小，使；又，則中含有的點，故，這與上述（*）式矛盾. 故. 綜上：，，即非的聚點，從而的任一聚點都屬于. 得證為閉集. 反例：如T1（8） ▋ 作業(yè)： P120. T1(1)～(6) §16.1 平面點集與多元函數(shù) 第22次課 教學(xué)內(nèi)容：上的完備性定理 目的要求：掌握平面點列的收斂性概念，理解并掌握上的完備性定理：柯西準(zhǔn)則、閉域套定理、聚點定理、致密性定理、有限覆蓋定理. 二．上的完備性定理 1．平面點列的收斂性 定義：設(shè)為平面點列，為一固定點. 若，，，有（或），則稱點列收斂于點，記作 ， 或 ， 注：1°幾何意義（如右圖） 2°點列收斂坐標(biāo)形式 且 證：，有 ， 則 由此兩個不等式得證. 3°. 2．上的完備性定理 定理1（柯西準(zhǔn)則）平面點列收斂，，，，有 證：“”設(shè)，則，，，（也有），有 ， ， 從而 . “”若，，，，有 令，則由上：，，同時有 ， 由于，滿足柯西收斂準(zhǔn)則，從而收斂，設(shè)，，故點列收斂于點. ▌ 定理2（閉域套定理）設(shè)是中的閉域列且滿足： （i）， （ii）， 則唯一，. 證：（存在性）任取點列，，，由于，則，從而 （） 由柯西收斂準(zhǔn)則知收斂，設(shè)為. （取定），，有 由于是閉域，從而必為閉集，故作為的一個聚點必屬于，由上式令即得 ， 唯一性：設(shè)另存在，，則由 （） 得到，即. ▌ 定理3（聚點定理）設(shè)為有界無限點集，則在中至少有一個聚點. 證：用閉區(qū)域定理證明. 由于為平面有界集合，則存在一個閉方形域包含它，連接方形對邊中點，分為四個小閉方形域，則至少有一個小閉方形域（記為）含有的無限多個點. ……，如此進(jìn)行下去，就得到一個閉方形域列：，且，. 由閉區(qū)域套定理，必存在，. 下證為的聚點. ，當(dāng)充分大時，閉方形域的邊長可小于，從而，而中含中無限多個點，故含的無限多個點，故為的聚點. ▌ 推論（致密性定理）平面上有界無限點列必存在收斂子列. 證：設(shè)（）為的有界無限點列，則，為直線上的有界數(shù)列，由直線上點列的致密性定理知他們都有收斂子列. 設(shè)的一個收斂子列為：，， 對上述，相應(yīng)的也是有界數(shù)列，它同樣存在收斂子列：，，從而由收斂數(shù)列的性質(zhì)有的子列：，. 故的子列收斂. ▌ 定理4（有限覆蓋定理）設(shè)為一有界閉域（閉集），為一族開域（開集），它覆蓋了（即），則在中必存在有限個開域（開集）覆蓋（即）. （類似于定理8.3，可用反證法及閉域套定理結(jié)論證明. ） 作業(yè)：P120. T3 §16.1 平面點集與多元函數(shù) 第23次課 教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)與多元函數(shù) 目的要求：掌握二元函數(shù)的概念，能求出二元函數(shù)的定義域，值域，會畫二元函數(shù)圖象；理解多元函數(shù)的概念. 三．二元函數(shù) 定義：設(shè)平面點集，若按照某對應(yīng)法則，對，唯一與之對應(yīng)，則稱為定義在上的二元函數(shù)，記作： ——的定義域 或——點的函數(shù)值 ——的值域 ——自變量，——因變量 注： 1°二元函數(shù)簡記為： ，或， 或“函數(shù)”或“函數(shù)” 2°二元函數(shù)的圖象 通常表示一空間曲面 定義域即為曲面在坐標(biāo)面上的投影 3°有界函數(shù)概念：二元函數(shù)值域為有界數(shù)集. 例：①： 定義域：；值域：；圖象：平面. ②： 定義域： 值域： 圖象：以為中心的單位球面的上半部分； ③ 定義域：；值域：；圖象：過原點的雙曲拋物面. ④：定義域：；值域：非負(fù)整數(shù)集；圖象： 四．元函數(shù) 所有個有序?qū)崝?shù)組的全體稱為維向量空間，簡稱維空間，記作，其中每個有序?qū)崝?shù)組稱為中的一個點；個實數(shù)是這個點的坐標(biāo). 設(shè)點集，若某對應(yīng)法則，使，唯一與之對應(yīng)，則稱為定義在上的元函數(shù)，記作： 簡記為 或 習(xí)題選講 ①（P120.3）證明：當(dāng)且僅當(dāng)存在各點互不相同的點列，時，是的聚點. 證：充分性. 若，，即，，，有. 由得，，故是的聚點. 必要性. 若是的聚點，則 ，， 從而，，， 即 ，取，則，，且滿足 （）， 即 . ▌ ②（P121.9）證明：若為開集，則為閉集；若為閉集，則為開集. 證：反證法. i）若為開集，假設(shè)非閉集，即至少存在的一個聚點設(shè)為，，則. 由為開集有：，，則，這與為的聚點矛盾，得證為閉集. ii）若為閉集，假設(shè)非開集，則至少存在的一點設(shè)為，非的內(nèi)點，即，. 由于，即，，故為的聚點，而，這與為閉集矛盾，得證為開集. ▌ ③*（P121.10（2））若，為開集，則與均為開集. 證：i），則或，不妨設(shè). 由為開集知：，，從而，故為開集. ii），則且. 由于，為開集，則，，且，取，則，故為開集. 作業(yè)：P121 T6(3). T8(單) . T10(2) §16.2 二元函數(shù)的極限 第24次課 教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限 目的要求：掌握二元函數(shù)極限的概念及其收斂定理，能夠進(jìn)行二元函數(shù)極限的證明和求解. 一．二元函數(shù)的極限 1．概念與定理（正常極限） 定義：設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，為的一個聚點，是一個確定的實數(shù). 若，，，有 則稱在上當(dāng)時以為極限，記為 簡記為 坐標(biāo)形式為 或 ，，，且（或 ），有. 例1．依定義驗證. 證：由于 先限定，且，則，，從而 于是：，，：，且，有 即 例2．設(shè) 證明：. 證：令，，則 （） 由于時， 于是：，，：，有，即 . 或證：當(dāng)時， 于是，，：，且，有 即 . ▌ 注：二元函數(shù)極限存在的性質(zhì)：唯一性定理、局部有界性定理、局部保號性定理. 定理5. ，是的聚點，有 （類似于收斂數(shù)列的子列定理） 證：）設(shè)，以為其一聚點，則，，（顯然），有，故. ）反證法. 假設(shè)，則，，，使 取，則以為聚點，且由上，這與已知矛盾. 得證. ▌ 推論1* 設(shè)，是的聚點， 不存在，則不存在. 推論2* 設(shè)，是的聚點，、存在但不相等，則不存在. 推論3 存在 ，，，都收斂. （類似于一元函數(shù)極限的海捏原理） 注：三個推論常用于證明二元函數(shù)不存在極限. 例3．討論當(dāng)時極限是否存在. 解：由于 與有關(guān)而非定值，故不存在. 例4．討論 當(dāng)時的極限. 解：由于 ， ， 故不存在. 2．非正常極限 設(shè)二元函數(shù)定義在上，是的一個聚點. 若，， ，有 或 則稱在上當(dāng)時，存在非正常極限，記作 或 注： ① ，，，有； ，，，有. ② ，，：，，有 ，，：，，有 例5．設(shè)，證明：. 證：，要成立（） 只須，故，，：，有 即 例6．（P129 T1.(4)(7)）（4） 解：當(dāng)時， 而（），，即為有界量， 故（），故. （7） 解： 而， （）（或作極坐標(biāo)變換也可） 故. 作業(yè)：P129-130 T1.(1)(3)(5)(6) T4(提示) T6 §16.2 二元函數(shù)的極限 第25次課 教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限·累次極限與重極限 目的要求：理解并掌握二元函數(shù)的極限，能利用累次極限解決問題，搞清楚重極限與累次極限的關(guān)系. 二．累次極限 重極限累次極限（二重極限二次極限） 1．定義3. 設(shè)，，是的聚點，是的聚點. 二元函數(shù)在上有定義. 若對，，存在 且進(jìn)一步存在 則稱為先對（）后對（）的累次極限，并記作 或 類似可定義 注：重極限與累次極限的存在性沒有必然的蘊(yùn)含關(guān)系. 例1．考察在 解：i）時，，則 同理有 ，（累次極限存在且相等） ii）由，知不存在. （重極限不存在） 例2．考察在 解：i） ，（累次極限存在，但不等） ii）由知不存在. （重極限不存在） 例3．考察在 解：i）時，不存在，則不存在. 同理不存在. （累次極限不存在） ii）由（） 知 （重極限存在） 2．定理6 若在點存在重極限 與一個累次極限 則它們必相等. 證：設(shè)，則，，，有 （*） 而由存在知，對：，存在極限 則由（*），令有 再由存在，上式令得 即 . ▌ 注*：Th6在保證重極限與一個累次極限存在條件下相等，但對另一個累次極限的存在性未下結(jié)論. 如：，，不存在. 推論1 若的兩累次極限與重極限都存在，則三者相等. （累次極限可交換次序的一個充分條件） 推論2 若的兩累次極限存在但不相等，則重極限不存在. （否定重極限的存在性，如例2） 習(xí)題選講 ①（P130.T6）寫出下列類型極限的精確定義 （1） ，，且，，有 （2） ，，且，，有 ②證明： 證：當(dāng)時，對，要成立 可取，：，，有 即 . ▌ ③（P130.T7）求下列極限： （2） 解：令，，則 則，原式＝ 當(dāng)時，有 從而 由洛比塔法則可得，由兩邊夾法則可得原式＝0. 另解：原式＝ （3） （4） ④（P130. T8） 作業(yè)：P129-130. T2.(1)(2)(3) T7.(1)(3) §16.3 二元函數(shù)的連續(xù)性 第26次課 教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的連續(xù)性，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 目的要求：理解二元函數(shù)的連續(xù)性，掌握有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). 一．二元函數(shù)連續(xù)性概念 1．連續(xù)概念 設(shè)二元函數(shù)定義在上，（或是的聚點，或是的孤立點）. 若，，，有 即 則稱關(guān)于集合在點連續(xù)，或簡稱在點連續(xù). 若在上每一點都連續(xù)，則稱為上的連續(xù)函數(shù). 可見：若是的孤立點，則必是關(guān)于的連續(xù)點；若是的聚點，則關(guān)于在連續(xù)等價于 2．間斷點 設(shè)定義在上，是的聚點，但 （*） 則稱是的間斷點. 特別當(dāng)（*）式成立且其左端存在時，是的可去間斷點. 如：在原點連續(xù) ，原點為其可去間斷點. 3．函數(shù)連續(xù)與函數(shù)關(guān)于單變量連續(xù)的關(guān)系 二元函數(shù)關(guān)于在連續(xù) （*） 這里 ——在點的全增量 相應(yīng)的 ——在點關(guān)于偏增量 ——在點關(guān)于偏增量 注： 1°一元函數(shù)在連續(xù) 一元函數(shù)在連續(xù) 2°在連續(xù)（為的內(nèi)點）在連續(xù)且在連續(xù)，反之不成立. 證：）由（*）式，分別令與即得證 反之，反例： 在原點 由，知不存在，從而在不連續(xù). 而，處對和分別連續(xù). 4．二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ①*（局部保號性）若二元函數(shù)在點連續(xù)，且，則對：，，，有. 證：已知在連續(xù)，則對，，，有 得證. ②二元復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理 定理7 設(shè)和在平面上點某鄰域有定義，并在點連續(xù)；在平面上點某鄰域有定義并在點連續(xù)，其中，，則復(fù)合函數(shù)在點也連續(xù). 證：由在點連續(xù)可知：，，：，，有 又由在點連續(xù)可知：對上述，，：，，有 從而 即在點連續(xù). ▌ 二．有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1．有界性、最大值與最小值定理 定理8 若在有界閉域上連續(xù)，則在上有界，且能取到最大值和最小值. 證：i）先證在上有界. 用反證法，假設(shè)在上無界，則，，使 ， 這樣得到一個含無窮多個不同的點的有界點列. 由致密性定理，存在收斂子列：（），于是為的聚點，且因為閉域，故有. 由于（在上連續(xù)，則）在點連續(xù)，于是按連續(xù)的定義有 但根據(jù)的選法知，矛盾. ii）下證在上能取到最大值和最小值 由確界原理，存在，，下證，使. 否則，，都有. 現(xiàn)考察上的連續(xù)正值函數(shù) ， 由前面的證明知在上有界. （或證：則，，有，即，這與為在的上確界相矛盾）. 又不能在上達(dá)到上確界，則，使，于是，這與在上有界矛盾. 從而得證在上能取到最大值和最小值. ▌ 2．一致連續(xù)性定理 定理9 若在有界閉域上連續(xù)，則在上一致連續(xù). 即 ，，：，有. 證：（用聚點定理證明）用反證法，假設(shè)在上連續(xù)而不一致連續(xù)，則，，取，，：，但. 由于為有界閉域，則由致密性定理知存在收斂子列：，且；相應(yīng)地取出的子列，則由 （） 而有 . 又由在連續(xù)，則（可先不加絕對值） 這與相矛盾. 所以在上一致連續(xù). ▌ 注：定理8、9對有界閉集結(jié)論也成立. 3．介值性定理 定理10 設(shè)在區(qū)域上連續(xù)，且，則對：，必，使. 證：作輔助函數(shù) ，，則在上連續(xù)，且，. 不妨設(shè)為的內(nèi)點（若為界點則可利用連續(xù)函數(shù)的局部保號性得到符合條件的內(nèi)點）. 由于為區(qū)域，則由用中有限段折線連結(jié). 若存在連結(jié)點，使，則定理成立. 否則必存在某線段，在兩端點的函數(shù)值異號. 不失一般性，設(shè)連結(jié)的一直線段含于，方程為： ， 則在此直線段上方程為： ， 它是上的一元連續(xù)函數(shù)且. 由一元連續(xù)函數(shù)根的存在性定理知，，使，記 ， 則且，從而. ▌ 作業(yè)：P136. T1(1)(3)(5) T7* 習(xí)題課 第27次課 教學(xué)內(nèi)容：本章習(xí)題課 目的要求：處理本章課后習(xí)題，重點掌握二元函數(shù)極限的討論方法，以及二元函數(shù)的連續(xù)性. 1．（P136.T1）討論函數(shù)的連續(xù)性 （2）（4）略 （6） 解：時 而 故，即在連續(xù)。 又在處為初等函數(shù)且有定義，故連續(xù)。 綜上，在上均連續(xù)。 2．（P137.T3）設(shè) （） 試討論它在點處的連續(xù)性。 解：，令，，則，有 i）當(dāng)時，（），從而，即時在連續(xù)； ii）當(dāng)時，由于 即時，，從而在不連續(xù)。 3．（P137.T6）設(shè)在集合上對連續(xù)，對滿足利普希茨條件： 其中，，為常數(shù)。試證明在上處處連續(xù)。 證：，已知一元函數(shù)在點連續(xù)，則，，：，有，再由利普希茨條件，有 ，：，，有 即在連續(xù)，從而在連續(xù)。 ▌ 4．（P137.T9）設(shè)在上連續(xù)，且，。證明：（1）設(shè)在上有界；（2）在上一致連續(xù)。 證：（1）由得：對，，（即），有 由于在上連續(xù)，則在有界閉域連續(xù)從而有界，即，，有 取，則，都有 即在上有界。 （2）由于，由柯西準(zhǔn)則得：，，，： （），有 （這是因為，，從而）。 又在有界閉域上連續(xù)從而一致連續(xù)，故對上述，，：，有 取，則：（或同時屬于或同時滿足），恒有 故在上一致連續(xù)。 ▌ 5．（P137.T2總）設(shè)，，， ， 試分別討論 時極限是否存在？為什么？ 解：i）當(dāng)時，必有，（可反證之），故 ii）當(dāng)時，若取，，則（），此時 （） 若取，，則（），此時 （） 由（P124）Th16.5. Cor. 3得不存在。 6．（P138.T3）設(shè)，，且在附近，證明：。 分析： 7．（P138.T7）設(shè)在內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，函數(shù) （）， 定義在區(qū)域內(nèi)。證明：對任何有 。 證：由于在內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，則當(dāng)且時，對在或上應(yīng)用拉格朗日中值定理得 ，介于與之間。 又， 可見：，總有，或。 由于有，而在連續(xù)，故 （即），得證。 ▌ 作業(yè)：P137-138. T7. T3（總） — 111 —