數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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第二十一章 重積分(續(xù))與含參量非正常積分
一.教材說明
二重積分的可積性問題是二重積分理論的首要課題。變量替換是二重積分計算的重要方法,需要從理論上弄清楚。重積分是重積分的一般情況,其定義、可積性、性質(zhì)及其計算與二重積分是完全平行的,僅是形式上的差異,無本質(zhì)區(qū)別。
含參量積分是表示初等函數(shù)和定義非初等函數(shù)的重要工具。含參量非正常積分有與函數(shù)項級數(shù)相對應(yīng)的一致收斂定義、判別準則、判別方法以及積分號下積分法、微分法、取極限等定理。主要目的是研究含參量積分所定義的函數(shù)的分析性質(zhì)及用來計算很多重要的積分值,歐拉積分是經(jīng)常出現(xiàn)的兩類重要的含參量非正常積分。
本章§1將回答上一章有關(guān)二重積分理論與計算中尚未證明的一些問題.讀者可根據(jù)需要進行選讀(它可以分別插入上一章相應(yīng)部分,也可集中在這里進行學(xué)習(xí));在§2中,我們還要向有興趣的讀者介紹n重積分的一些概念.最后一節(jié)(§3)討論含參量非正常積分,這里還包括歐拉積分。
1.目的與要求
本章的教學(xué)目的是:
(1)深入理解二重積分的可積性和二重積分的變量替換定理;
(2)了解重積分的有關(guān)概念及計算方法;
(3)掌握兩種含參量非正常積分的概念、性質(zhì)及其計算方法。
本章的教學(xué)要求是:
(1)理解零面積集合,重積分等概念;
(2)掌握平面點集可求面積的條件、函數(shù)可積的條件;
(3)深刻理解含參量非正常積分一致收斂的概念,掌握其判別的方法;
(4)掌握含參量非正常積分的分析性質(zhì),并能應(yīng)用其計算積分。
2.重點與難點
本章的重點是二重積分的可積性問題;含參量非正常積分的性質(zhì)及其一致收斂的判定。難點是二重積分變換定理的證明,一致收斂性的判定。
第21次課
§1二重積分中一些問題的討論
一 二重積分的可積性問題
1. 可積性條件
設(shè)為有界點集.若對任給正數(shù),恒存在有限個小矩形si(i=1,2,…,k),使得
且
則稱是一個零面積集合.
易見,若為有限點集,則是零面積集合.
根據(jù)定積分概念知道:若: 為可積函數(shù),則的圖像
是零面積集合.特別當為上的連續(xù)函數(shù)時,的圖像是零積集合.
下面定理將給出一類比定理20.4更為廣泛的可積函數(shù).
定理21.1設(shè)為矩形區(qū)域,為上有界函數(shù),是零面積集合.若在上連續(xù),則在上可積.
證:設(shè)
.由于為零面積集合,故對任給,存在有限個小矩形si(i=1,2,…,k),使
(這總能辦到!),且
1)
記。由定理條件知在閉區(qū)域上連續(xù),因而在上一致連續(xù),即存在某正數(shù),只要就有
現(xiàn)對作矩形網(wǎng)分割T,使屬于它的小矩形s1,s2,o,sp,sp+1, osn有
(這只要使圍成si(i=1,2,…,k)的每一條邊延長后都是構(gòu)成成分割的直線)和
且使sp+1, osn的直徑都不超過。因而在si(i=p+1, o,n) 上的振幅
2)
于是由1)、2)推得
依定理20.2,函數(shù)在區(qū)域上可積。
推論 設(shè)為矩形區(qū)域,、且
為零面積集合。若在上可積,則也在上可積,且
2.一般區(qū)域上二重積分定義的說明
在第二十章§1定義2中指出:設(shè)為有界閉域,為任一包含的矩形,若的延拓函數(shù)在上可積,則在上可積,并規(guī)定
現(xiàn)在要指出:的可積性與包含的矩形的選擇無關(guān)。
性質(zhì):設(shè)和都是包含的矩形(如圖21-1),對于上函數(shù),記和分別為在和上的延拓函數(shù),若在上可積,則也在上可積,且
3)
證:記,顯然也是包含的矩形。記在上的延拓函數(shù)為。由二重積分性質(zhì)(區(qū)域可加性---這里僅需對矩形區(qū)域應(yīng)用這個性質(zhì),其證明方法完全類似于定積分中相應(yīng)的定理),在與上都可積,且
4)
又由于在上,在上及二重積分的區(qū)域可加性推得在上可積,且
5)
綜合4)、5)兩式就得到3)式。
3.平面有界點集可求面積的充要條件
定理21.2:平面有界點集是可求面積的充要條件為的界點集是零面積集合。
證:設(shè)矩形區(qū)域,并定義上函數(shù)
由第二十章§1定義3,若是可求面積的,則在上可積。因此,對任給存在分割,它把分成個小矩形,使得
6)
這里為在上的振幅。設(shè),這時,
這時,。于是
且
7)
故由6)、7)及零面積集合定義推得是零面積集合。
反之,由于是在上的不連續(xù)點集合,且又是零面積集合,依定理20.1,在上是可積的。根據(jù)第二十章§1定義3,是可求面積的。
4.二重積分性質(zhì)(第二十章§1)的證明
當為矩形區(qū)域時,讀者不難參照積分中證明相應(yīng)性質(zhì)的方法證明第二十章§1末尾所提到的七個性質(zhì)?,F(xiàn)在將指出當為一般可求面積的區(qū)域時,這些性質(zhì)仍然成立。
下面只證其中性質(zhì)3(區(qū)域可加性),其它性質(zhì)可由二重積分定義(第二十章§1定義2)和矩形區(qū)域上的相應(yīng)性質(zhì)推出,讀者可選其中幾個作為練習(xí)。
性質(zhì)3(區(qū)域可加性):設(shè)、都是可求面積的區(qū)域,且
那么在上可積的充要條件是在、上都可積,且
8)
證:設(shè)矩形區(qū)域,現(xiàn)定義在上的延拓函數(shù)
充分性:由在、上可積得、都在上可積,記,依二重積分性質(zhì)2,在上也可積,且
9)
由上的函數(shù)與至多在上取不同值,又由于
是零面積集合,所以依據(jù)定理21.1推論和在上可積得在上可積,且
10)
從而在上可積,并由9)、10)兩式推得8)式。
必要性:因為在上可積和,由此可推得在、上都可積(見習(xí)題5)。最后與充分性證明一樣,這時8)式也成立。
5.關(guān)于二重積分定義的進一步討論
在第二十章§1中,二重積分概念是建立在用平行于坐標軸的矩形網(wǎng)來分割的。實際上也可以用其他曲線網(wǎng)來分割,只要分割出來的每一小區(qū)域都是可求面積的。
設(shè)為平面上可求面積區(qū)域,是上的一個分割,它把分成n個可求面積的小區(qū)域
在每個上各任取一點,作和式
,
稱它為在上屬于分割的一個積分和。
定義:設(shè)為定義在上的函數(shù),是一個確定的數(shù)。若對任給的正數(shù),總存在某一正數(shù),使得上任何分割,只要它的細度(這里是的直徑),屬于分割的所有積分和都有
. 11)
則稱在上可積,并稱為在上的二重積分。
這個定義的意義在于它不局限于直角坐標系及平行于坐標軸的矩形網(wǎng)來分割。因此也可以說,二重積分概念的建立與坐標系的選擇無關(guān)。
根據(jù)這個定義,我們同樣能建立相應(yīng)的可積性條件,如與定理20.2相仿的命題是:
定理21.3:在上按上述定義可積的充要條件:任給,存在某一個分割,使得
, 12)
這里為屬于分割的小區(qū)域(可求面積!),為在上的振幅。
現(xiàn)在說明前后這兩個重積分定義的等價性。事實上,若函數(shù)在區(qū)域上按上述定義可積,即存在,對任給,存在,只要分割的細度,就有
這里分割只要求它把分成有限個可求面積的小區(qū)域。當然它也包括所有用平行于坐標軸的矩形網(wǎng)分割。因此,在上按這個定義可積,必定也按第二十章§1定義2可積,且積分值相同,反之,若在上按第二十章§1定義2可積,則由定理20.2,對任給,存在某一(平行于坐標軸的矩形網(wǎng))分割,使得
13)
由于這個分割也滿足定理21.3中的要求,使得12)式成立(它由13)式推出),故在上按本段所給出的重積分定義也是可積的,且同樣能推得其積分值也相同。
作業(yè) P328. 2. 3. 5.
第22次課
二、二重積分變量變換定理
在第二十章§2中,我們曾指出當變換
14)
存在逆變換
15)
且記
16)
時,在區(qū)域上函數(shù)的二重積分的換元公式是
17)
這里是在變換( 15)式)下的原像(即)。
本段目的在于證明公式17),但在次之前先證明一個引理,它將說明函數(shù)行列式16)的幾何意義。
引理:設(shè)變換( 15)式)將uv平面上的開集一一映射到xy平面上的開集。具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且
. 18)
對任何,令表示邊長為2s的閉方領(lǐng)域
.
記為它的像。則當(即退縮到)時,有
, 19)
且此關(guān)系在內(nèi)任一有面積的閉集上一致地成立。
證:設(shè),又由函數(shù)組15)在點附近可表示為
20)
其中為時的無窮小量,??紤]相應(yīng)的仿射變換
21)
由解析幾何知道,把uv平面上的正方形變換為xy平面上以為中心的平行四邊形H,且
即 .
比較變換與,可見20)式比21)式多了一項或。因此正方形按變換得到的是一個很接近于H的曲邊四邊形(如圖21-2)。
現(xiàn)在估計與H的面積之比。為便于估計,我們不直接在xy平面上對它們進行比較,而是先將的逆變換(因,必然存在)同時作用到和H,然后再在uv平面上來比較。由于仍為仿射變換,且,故它們的面積之比不變,即
.
由于為正方形,因而必與這個正方形很接近。事實上,當時,仿射變換的矩陣表示式是
22)
再將20)式改寫成矩陣形式:
.
代入22)式,由于
,
故得
, 23)
這里?,F(xiàn)在指出23)式右邊第二項是。為此,任給,選,使得同時有
(這總是可能的)。設(shè)
,
再選充分小的正數(shù),使在上,只要,就有
(由于有界閉集上這些函數(shù)的一致連續(xù)性,因而這個要求總是可以滿足的)。這樣確定了s之后(它只依賴于,而與上的的位置無關(guān)),通過簡單計算立即得到
. 24)
特別在的邊界上。因此的邊界曲線必落在距離的邊界不超過的帶狀區(qū)域內(nèi)(如圖21-3),且夾在較大的正方形(邊長為)與較小的正方形(邊長為)之間。所以區(qū)域與,之間有關(guān)系式
(在uv平面上),
從而也有
(在xy平面上)。
于是它們的面積滿足如下不等式:
.
因為,故由上式有
.
由于是任意的,所以引理得證。
定理21.4:設(shè)變換把uv平面上的開集一一映射到xy平面上的開集,具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且;又為有界閉集,為定義在上的有界函數(shù)。那么下式的兩個積分
25)
當中只要一個存在,則另一個也存在,且等式25)成立。
證:先證明:在上可積當且僅當
在上可積。事實上,設(shè)F在上可積,則任給,存在上一個方格網(wǎng)使得
,
其中為F在上的振幅。命,為在上的振幅,則得上的曲線網(wǎng),且對所有的i,有
現(xiàn)令
就有
由于是任意的,故在上可積(定理21.3)。
同樣可證,若在上可積,則F在上可積(令,附帶還可得到與同時有面積的結(jié)論)。
由于作為連續(xù)函數(shù),它在有面積的區(qū)域上總是可積的(定理)。所以當F在上可積時,F(xiàn)與的乘積在上也可積。于是25)式兩端積分中只要有一個存在,則另一個也存在。
現(xiàn)在證明:當25)式兩端積分都存在時,等式成立。為此,在uv平面上作平行于坐標軸的方格網(wǎng),它是上的一個分割。由變換T,相應(yīng)地得到xy平面上的一個分割,考慮所有包含在內(nèi)邊長為2s的方格,它們對應(yīng)內(nèi)互無公共內(nèi)點的閉區(qū)域。對于任給的,當s充分小時,由引理對所有的i,有
從而有
這里
現(xiàn)在將它按下標i相加得到
26)
由于和分別在與上可積,故當時,有
27)
和 28)
由26)式中的任意性及27)、28)可推得25)式成立。
推論:在定理21.4條件下,若與中有一個是可求面積的,則另一個也是可求面積的,且
最后還要說明一點,若變換T在的個別點(或更一般說在某一零面積集合)上有
可以證明定理21.4依然成立。如極坐標變換,,在r=0時有
故當包含原點時,仍然可以按公式25)(即第二十章§2公式12))來計算它的積分。
作業(yè) P328. 7.
第23次課
§3 含參量非正常積分
一、參量非正常積分
設(shè)函數(shù)定義在無界區(qū)域上,若對每一個固定的,非正常積分
1)
都收斂,則它的值是x在上取值的函數(shù),當記這函數(shù)為時,則有
= 2)
稱2)式為定義在上的含參量的無窮限非正常積分,或簡稱含參量非正常積分。
如同非正常積分與數(shù)項級數(shù)的關(guān)系一樣,含參量非正常積分與函數(shù)項級數(shù)在所研究的問題與論證方法上也極為相似。
首先引入含參量非正常積分的一致收斂概念及柯西準則。
定義1:若含參量非正常積分1)與函數(shù)對任給的正數(shù),總存在某一實數(shù)N>c,使得當M>N時,對一切,都有
即
則稱含參量非正常積分1)在上一致收斂于,或簡單地說含參量積分1)在上一致收斂。
定理21.5(一致收斂的柯西準則):含參量非正常積分1)在上一致收斂的充要條件是:對任給的正數(shù),總存在某一實數(shù)M>c,使得當A1,A2>M時,對一切,都有
3)
例1:證明含參量非正常積分
4)
在上一致收斂(其中),但在內(nèi)不一致收斂。
證:作變量置換u=xy,得
5)
其中A>0,由于收斂[可由第十章§6例7推得],故對任給,總存在正數(shù)M,當時,就有
取,則當時,對一切,由5)式有
所以4)在上一致收斂。
現(xiàn)在證明4)在內(nèi)不一致收斂。根據(jù)一致收斂定義,含參量非正常積分1)在上不一致收斂是指:存在某一正數(shù),對任何實數(shù)M(>c),總相應(yīng)地存在某個A>M,及某個,使得
由于非正常積分收斂,故對任何正數(shù)與M,總存在某個x(>0),使得
即
6)
現(xiàn)令,由5)及不等式6)的左端就有
所以4)在內(nèi)不一致收斂。
關(guān)于含參量非正常積分一致收斂性與函數(shù)項級數(shù)一致收斂之間的聯(lián)系有下述定理。
定理21.6:含參量非正常積分1)在上一致收斂的充要條件是:對任一趨于的遞增數(shù)列(其中),函數(shù)項級數(shù)
7)
在上一致收斂。
證:(必要性)由1)在上一致收斂,故對任給,必存在M>c,使得當時,對一切,總有
8)
又由,它對于正數(shù)M,存在相應(yīng)的自然數(shù)N,只要m>n>N,就有Am>An>M。由8)對一切就有
這就證明了級數(shù)7)在上一致收斂。
(充分性)用反證法,假設(shè)1)在上不一致收斂,則存在某個正數(shù),使得對任何實數(shù)M>c,存在相應(yīng)的與和,使得
現(xiàn)在取M1=max{1,c},則有A2>A1>M1及,使得
一般地,取Mn=max{n,A2(n-1)}(n≥2),則有A2n >A2n-1>Mn及,使得
9)
由上述所得到的是遞增數(shù)列,且?,F(xiàn)在考慮級數(shù)
由9)式知道存在正數(shù),對任何自然數(shù)N,只要n>N,就有某個,使得
這與級數(shù)7)在上一致收斂的假設(shè)相矛盾。故含參量非正常積分1)在上必一致收斂。
下面列出含參量非正常積分的一致收斂性判別法。它們的證明與函數(shù)項級數(shù)相應(yīng)的判別法相仿。
維爾斯特拉斯M判別法:設(shè)有函數(shù),使得
若收斂,則在上一致收斂。
例2:證明含參量非正常積分
10)
在上一致收斂。
證:由于對任何實數(shù)y有
及非正常積分
的收斂性(參閱第十章§6例4),根據(jù)維爾斯特拉斯M判別法含參量非正常積分10)在上一致收斂。
狄利克雷判別法:設(shè)1)對一切實數(shù)N>c,含參量非正常積分
對參量x在上一致有界,即存在正數(shù)M,對一切N>c及一切有
2)對每一個,函數(shù)g(x,y)關(guān)于y是單調(diào)的,且當時,對參量x, g(x,y)一致地收斂于0。
則含參量非正常積分
在上一致收斂。
阿貝耳判別法:設(shè)1)在上一致收斂;
2)對每一個,函數(shù)g(x,y)為y的單調(diào)函數(shù),且對參量x, g(x,y)在上一致有界。則含參量非正常積分
在上一致收斂。
例3:證明含參量非正常積分
11)
在上一致收斂。
證:由于非正常積分收斂(當然,對于參量y它在上是一致收斂的),函數(shù)g(x,y)=e-xy對每一個y關(guān)于x是單調(diào)的,且g(x,y)對任何0≤y≤d,x≥0有
∣e-xy∣≤1.
故由阿貝耳判別法推得含參量非正常積分11)在上一致收斂。
作業(yè) P350. 1.(1)、(3)
第24次課
現(xiàn)在討論含參量非正常積分2)的性質(zhì)。
定理21.7(連續(xù)性):設(shè)在上的連續(xù)函數(shù)。若含參量非正常積分
I(x)=
在上一致收斂,則I(x)在上連續(xù)。
本定理的證明可由定理21.6和函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性定理(定理13.11)推得。
這個定理的結(jié)論說明:當時,有
12)
即在一致收斂條件下,極限運算與含參量非正常積分運算的可交換性。如果令
F(x,t)=
這時12)式還可寫成如下累次極限的關(guān)系式
F(x,t)= F(x,t).
定理21.8(可微性):設(shè)和均為上連續(xù)函數(shù)。若I(x)=在上收斂,在上一致收斂,則I(x)在上可微,且
證:設(shè){An}(A1=c)為遞增且趨向于的數(shù)列。記
且有
現(xiàn)由定理20.10知在上可微,且
由定理條件在上一致收斂,從而函數(shù)項級數(shù)
也在上一致收斂(定理21.6)。根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的逐項求導(dǎo)定理(定理13.13),即得在上可微,且
或?qū)懽?
這定理的結(jié)果表明在一定條件下,求導(dǎo)運算與求積運算的可交換性。而下面定理則給出求積運算與順序無關(guān)的條件,它的證明與定理21.8的證法相仿,請讀者自行證明。
定理21.9(可積性):設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)。若
I(x)=
在上一致收斂,則I(x)在上可積,且
下面舉例說明怎樣應(yīng)用定理21.9來計算非正常積分。
例4:計算
解:因為,所以
由于及非正常積分收斂,根據(jù)維爾斯特拉斯M判別法,含參量非正常積分
在上一致收斂。因為在上連續(xù),根據(jù)定理21.9交換積分13)的順序,得
當定理21.9中x的取值范圍為無限區(qū)間時,則有如下定理。
定理21.10:設(shè)在上連續(xù)。若
1) 關(guān)于y在任何閉區(qū)間[c,d]上一致收斂,關(guān)于x在任何閉
區(qū)間上一致收斂;
2) 設(shè)
與 14)
中有一個收斂,則
15)
證:不妨設(shè)14)中第一個積分收斂,由此推得
也收斂。當d>c時,
=
根據(jù)條件1)及定理21.9的結(jié)果,可推得
16)
由條件2),任給,有G>a,當A>G時有
選定A后,由的一致收斂性,存在M>c,使得當d>M時有
把這兩個結(jié)果應(yīng)用到16)式,得到
即,這就證明了15)式。
最后簡略地提一下關(guān)于含參量無界函數(shù)非正常積分。設(shè)在區(qū)域R={(x,y)∣a≤x≤b, c≤y0時是收斂的無窮限非正常積分(也可用柯西判別法(第十章§6)推得)。所以函數(shù)的定義域為s>0。
1、在定義域s>0內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)
在任何閉區(qū)間(a>0)上,對于函數(shù)I(s),當0≤x≤1時有。由于收斂。從而I(s)在上一致收斂。對于J(s),當1≤x<+∞時,
有。由于收斂,從而J(s)在上也一致收斂。于是在s>0上連續(xù)。
用上述相同的方法考察積分
它在任何閉區(qū)間(a>0)上一致收斂。于是有定理21.8得到在上可導(dǎo)。由a,b的任意性得在s>0上可導(dǎo),且
仿照上面的辦法,還可推得在s>0上存在任意階導(dǎo)數(shù),且
2、遞推公式
對下述積分應(yīng)用分部積分法,有
讓就得到函數(shù)的遞推公式
.
設(shè)n0,和恒大于0,因此的圖形位于s軸上方,且是凸的。因為,所以在s>0上唯一的一個極小值x0落在(1,2)內(nèi)。
4、延拓
改寫遞推公式為
21)
當-10。依次下去可把延拓到整個數(shù)軸(除了s=0,-1,-2,…以外),其圖像如圖21-4所示。
5、的其他形式
如在18)式中令x=y2,則有
當s=1/2時,由第二十章§2例7知道。
在18)式中令x=py,則有
22)
圖21-4
(二)、B函數(shù)
B函數(shù)19)當p<1時是以x=0為瑕點的無界函數(shù)非正常積分,當q<1時是以x=1為瑕點的無界函數(shù)非正常積分。應(yīng)用柯西判別法(第十章§6)可證得當p>0,q>0時這兩個無界函數(shù)非正常積分都收斂,所以函數(shù)B(p,q)的定義域為p>0,q>0。
1、B(p,q)在定義域p>0,q>0內(nèi)連續(xù)
由于對任何p≥p0>0, q≥q0>0成立不等式
而積分收斂,故由維爾斯特拉斯M判別法知B(p,q)在p0≤P<+∞, q0≤q<+∞上一致收斂。因而推得B(p,q)在p>0,q>0內(nèi)連續(xù)。
2、對稱性:B(p,q)= B(q,p)
作變換x=1-y,得
B(p,q)= =B(q,p).
3、遞推公式
B(p,q)==B(p,q-1),(p>0,q>1), 23)
B(p,q)==B(p-1,q) ,(p>1,q>0), 24)
B(p,q)==B(p-1,q-1) ,(p>1,q>1). 25)
證:下面只證公式23)。公式24)的證明可類似地進行,而公式25)則可由公式23)、24)、推出。
當p>0,q>1時,有
B(p,q)=
=
=
= B(p,q-1) - B(p,q).
經(jīng)移項并整理后即得23)式。
4、B(p,q)的其他形式
在B函數(shù)19)中,令x=cos2,則有
B(p,q)=
在19)式中,令
則有
B(p,q)= 26)
(三)、函數(shù)與B函數(shù)的關(guān)系
B(p,q)= 27)
證:由公式22)
將其中p換成p+q,t換成1+t,則得
兩邊乘以tp-1,并在[0,+∞]上對t求積分,得
上述左端由26)式有
應(yīng)用定理21.10于上式右端,得
=
=
=
公式27)中為正整數(shù)時,其結(jié)論可直接由遞推公式23)或24)推出。
當p+q=1時,由公式27)有
B(p,1-p)= 28)
它稱為余元公式。
作業(yè) P350. 4. 5.(1)、(2)、(3)
第26次課
教學(xué)內(nèi)容 第二十一章習(xí)題課
目的要求 復(fù)習(xí)二重重積分可積性理論及變量變換定理,掌握含參量非正常積分的分析性質(zhì),并能應(yīng)用其計算積分。
教學(xué)過程
例1:(P352.1)設(shè)
為定義在上的函數(shù),其中和分別表示有理數(shù)和的既約分數(shù)的分母。證明:在上可積,但兩個不同順序的累次積分都不存在。
證:定義
則由§1習(xí)題6知,,都在上可積,于是+在上可積,易見=+,故在上可積。
當取無理數(shù)時,,所以,然而當取有理數(shù)時,在為無理數(shù)處,,在為有理數(shù)處,,因此函數(shù)在任何小區(qū)間上的振幅總大于>,從而函數(shù)關(guān)于上積分不存在,顯然就不存在先后的累次積分,同理可證,先后的累次積分不存在。
例2:(P352.2)設(shè)
為定義在上的函數(shù),其中和分別表示有理數(shù)和的既約分數(shù)的分母。證明:在上不可積,但兩個不同順序的累次積分都存在。
證:假設(shè)在上可積,則對任意的分割,,令
記 ,
由于與中必有一個為既約分數(shù),設(shè)為,與中必有一個是既約分數(shù),設(shè)為,則的分母=的分母=,于是
從而
但當時。這與矛盾。
故在上不可積。
對固定的,若為無理數(shù),則函數(shù)恒為,若為有理數(shù),則函數(shù)僅有有限個異于零的值,因此
所以累次積分存在且,同理,累次積分
例3:(P352.4)應(yīng)用積分,證明:
證明:
例4:(P353.6)求函數(shù)的不連續(xù)點,并作出函數(shù)的圖象。
解:當,即時
當,即時
當,即時,
所以函數(shù)的不連續(xù)點是,的圖象如圖
例5:(P353.7)設(shè)是上的連續(xù)函數(shù),證明:
若在上一致收斂于,且
對任何一致地成立,則
證:先證積分收斂
因在時一致收斂,所以對任給的,存在,對和一切有
又對任意的一致收斂于,因此對,存在,對一切和,有
從而
因此積分收斂
再證,因為
(1)
由一致收斂于知,對任給的,存在,對一切和一切有
(2)
由收斂,對上述,存在,當時
(3)
取定+,從而(1)、(2)都成立
由知,對,存在,當時,對一切
從而 (4)
由(1)~(4)
對,存在,對一切有
因此
例6:(P353.8)證明:
證明:由,所以
根據(jù)§14.1習(xí)題3的結(jié)論得
從而
作業(yè):P352~353. 3.4(2).5.8(2)
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