數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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二、曲率
曲線上各處的彎曲程度是描述曲線局部形態(tài)的又一重要標(biāo)志.
考察右圖所示平面光滑曲線，我們發(fā)現(xiàn)弧段與的長(zhǎng)度相差不多而彎曲程度很不一樣，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線從移至?xí)r切線的轉(zhuǎn)角比動(dòng)點(diǎn)從移至?xí)r切線的轉(zhuǎn)角大得多.這為我們提供了一種衡量曲線彎曲程度的方法.
設(shè)表示曲線在點(diǎn)處切線的傾角.表示動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)移至?xí)r切線傾角的增量.若之長(zhǎng)為，則稱
為弧段的平均曲率，如果極限
存在，則稱此極限為曲線 在點(diǎn)點(diǎn)的曲率.
由于假設(shè)為光滑曲線，故總有
或
又若二階可導(dǎo)，則由公式（8）可得
所以曲率公式為
若曲線由表示則相應(yīng)的曲率公式（9）為
例題6 求橢圓 上使曲率為最大和最小的點(diǎn).
解 由于 根據(jù)公式（9）得
因?yàn)樵?時(shí)最小 ，在時(shí)最大，所以當(dāng)時(shí)，在 （即長(zhǎng)軸端點(diǎn)）處有最大曲率 ，在 （即短軸端點(diǎn)）處有最小曲率
若在例題4中 ，橢圓成為圓時(shí)，顯然有
即在圓上各點(diǎn)處的曲率相同，其值為半徑的倒數(shù).
容易知道，直線上處處曲率為零.
設(shè)已知曲線在其上一點(diǎn)處的曲率 若過(guò)點(diǎn)作一個(gè)半徑為的圓，使它在點(diǎn)與曲線有相同的切線，并與曲線位于切線的同側(cè)（圖11-17）.我們把這個(gè)圓稱為曲線在點(diǎn)的曲率圓或密切圓，其半徑 ，稱為曲線在點(diǎn)的曲率半徑.由曲率圓的定義可以知道，曲線在點(diǎn)既與曲率圓有相同的切線，又與它有相同的曲率和相同的凸性.
例題5 鐵路的彎道分析.
火車軌道從直道進(jìn)入半徑為的圓弧形彎道時(shí)，為了行車安全，必須經(jīng)過(guò)一段緩沖的軌道，以使鐵道的曲率由零連續(xù)地增加到（保證向心加速度不發(fā)生跳躍性的突變）.
設(shè)鐵道如圖11-18所示，其中軸表示直線軌道，是半徑為的圓弧軌道（點(diǎn)為圓心），為緩沖曲線，我國(guó)一般采用的緩沖曲線是三次曲線
其中 為曲線段的弧長(zhǎng).
對(duì)曲線（11）應(yīng)用公式（10），其曲率
當(dāng) 從0變?yōu)闀r(shí)曲率從0連續(xù)地變?yōu)?
若以直線段的長(zhǎng)近似地代替的長(zhǎng)， 即 則有
若比值很小，那么可略去項(xiàng)，得
因此緩沖曲線的曲率從0逐漸增加到，從而起到了緩沖作用.
§4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積
定積分的所有應(yīng)用問(wèn)題一般可按“分割、近似求和、取極限”這三個(gè)步驟到出所求量的積分表達(dá)式.但為簡(jiǎn)捷使用起見(jiàn)，也采用下面介紹的“微元法”.本節(jié)亦將采用此法來(lái)導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算公式.
一 微元法
在上一章我們已經(jīng)知道，若令，則當(dāng)為連續(xù)函數(shù)時(shí)，或且
現(xiàn)在恰好要把問(wèn)題倒過(guò)來(lái)：如果所求量是分布在區(qū)間上的，或者說(shuō)它是區(qū)間的端點(diǎn)的函數(shù)，的變化范圍為且適為最終所求值/
在任意小區(qū)間 上，若能把所求量的微小增量近似表達(dá)為的線性形式
而且當(dāng)時(shí)，亦即
其中為某一連續(xù)函數(shù)，這樣，只要把定積分計(jì)算出來(lái)，就是該問(wèn)題所求的結(jié)果.
上述獲得未知量的微分表達(dá)式（2）的方法成為微元法.在采用微元法時(shí)，必須注意如下兩點(diǎn)：
1） 所求量關(guān)于區(qū)間必須是代數(shù)可加的，這是由定積分概念所決定的，因而在任何定積分的應(yīng)用問(wèn)題中都不可忽視.
2） 微元法的關(guān)鍵是正確給出的近似表達(dá)式（1），通常情況下，要檢驗(yàn)是否為的高階無(wú)窮小往往不是一件容易的事.因此對(duì)（1）式的合理性需特別小心謹(jǐn)慎.
對(duì)于前幾節(jié)中所求的平面圖形面積，已知截面函數(shù)的立體體積和曲線弧長(zhǎng)，改用微元法來(lái)處理，所求量的微元近似表達(dá)式分別為
或
其中弧微分的幾何意義是微分三角的斜邊.如果把的近似表達(dá)改取為將導(dǎo)致的明顯錯(cuò)誤，其原因就在于此時(shí)不再是的高階無(wú)窮小量.
二 旋轉(zhuǎn)曲面的面積
設(shè)平面光滑曲線 的方程為：
這里這條曲線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周到旋轉(zhuǎn)曲面（圖11-19），下面我們用微元法求的面積.
通過(guò)軸上的點(diǎn)與分別作垂直于軸的平面，它們旋轉(zhuǎn)面上截下一條狹帶（圖11-20）.當(dāng)很小時(shí)，此狹帶的面積近似于一圓臺(tái)的側(cè)面積，即
其中由于連續(xù)，當(dāng)充分小時(shí)，有
從而（3）變?yōu)榛?
這又可簡(jiǎn)單地看作一圓柱片的側(cè)面積，該圓柱的底圓半徑為厚為，積分后得到旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式為：
例題1 計(jì)算圓在上的弧段繞軸旋轉(zhuǎn)所得球帶的面積
解 對(duì)曲線，應(yīng)用公式（4）得
當(dāng)時(shí)，則得半徑為的球的表面積公式：
如果平面光滑曲線由參量方程表示，且設(shè) （用來(lái)保證曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)單調(diào)遞增）及那么由它軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式為
例題2 計(jì)算由星形線 （見(jiàn)圖11-13）繞 軸所得旋轉(zhuǎn)體的表面積.
解 由曲線的對(duì)稱性及公式（5），得
=
§5定積分在物理上的某些應(yīng)用
定積分在物理上有廣泛的應(yīng)用，在第十章§1 中曾提到可用定積分計(jì)算變力所作的功.現(xiàn)在再舉一些例子.
一 壓力
例題1 一直徑為6 米的圓形管道，有一道閘門，問(wèn)盛水半滿時(shí)，閘門所受的壓力為多少？
解 為方便起見(jiàn)，取軸與軸如圖11-21所示，只需求出圓 在第一象限部分所受的壓力則整個(gè)閘門所受壓力便是
由于在相同深度處壓強(qiáng)（即單位面積所受壓力）相同，故當(dāng)很小時(shí)，閘門從深度到的一層上各點(diǎn)的壓強(qiáng)等于水的比重（1噸/米）乘深度，即上各點(diǎn)壓強(qiáng)，
由于的面積近似于，所以在上所受的壓力
從而，通過(guò)計(jì)算從0到3的積分，即得
所以整個(gè)閘門所受壓力為18噸.
二 功
例題2 一錐形水池，池口直徑20 米，深15米，池中盛滿了水.求將全部池水抽到池口外所作的功.
解：為方便起見(jiàn)，取軸與y軸如圖11-22所示，考慮將池中深度到的一層水抽出池口所作之功. 由于抽出相同深度出的單位體積之水需做相同的共，即等于水的比重乘深度.故當(dāng)很小時(shí)，抽出中每一單位體積之水所作的功近似等于.而
所以抽出體積之水所作的共為
求從0 到15的積分，得到將全部池水抽到池口外所作的功
三 靜力矩與重心
例題3 求密度均勻薄板的靜力矩與重心坐標(biāo),薄板形狀為曲線，直線和坐標(biāo)軸所圍的曲邊梯形（圖11-23）
解 因?yàn)楸“宓拿芏染鶆?，不妨設(shè)于是圖形任一部分的質(zhì)量可由它的面積來(lái)度量
為求靜力矩，我們把圖形截成寬度為的豎條，每一豎條可近似看作一長(zhǎng)方形，其質(zhì)量（面積也可以這個(gè)數(shù)表示）為,并假定質(zhì)量全部集中在它的中心（即長(zhǎng)方形的中心），即重心到軸的距離是,到軸的距離是于是豎條對(duì)二條坐標(biāo)軸的靜離矩（靜力矩=質(zhì)量×距離）分別為
當(dāng)時(shí)為高階無(wú)窮小，于是
積分得
由于薄板的面積和質(zhì)量是
所以薄板的重心坐標(biāo)為
四 平均值
例題4 已知220伏交流電的電壓，其中電壓幅值，角頻率.若電阻為（單位：歐姆）求電流通過(guò)的平均功率.
解 我們知道直流電路通過(guò)電阻消耗的功率為
其中為電流，因?yàn)橹绷麟娏鞯拇笮『头较蚬潭ǎ詾槌?shù)，因此功率也是常數(shù)，在經(jīng)過(guò)時(shí)間以后，消耗的功
但對(duì)于交流電來(lái)說(shuō)，電流不是常數(shù)，從而通過(guò)電阻所消耗的功率是時(shí)間的函數(shù)，因此在一周期時(shí)間內(nèi) 的平均功率為
其中為時(shí)間內(nèi)所消耗的功.
在內(nèi)取時(shí)間間隔，那么在內(nèi)所消耗的功是
由歐姆定律，所以，由于在一個(gè)周期 秒時(shí)間內(nèi)所消耗的功為
因此平均功率為
=
（由于上述平均功率的值相當(dāng)于220伏直流電在電阻上消耗的功率，因此把伏的交流電簡(jiǎn)稱為220伏交流電）
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