數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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★絕密★
卷號：
黃岡師范學(xué)院課程考試
試題參考答案及評分標準
專業(yè)及班級：數(shù)教2002級 考試方式：閉卷
課程名稱：數(shù)學(xué)分析 命 題 人：鐘紹軍
1．（10分）解：設(shè)，它在上連續(xù)；
又∵ ，，，它們都在點（1，2，1）的鄰域內(nèi)連續(xù)；；，，；
∴由隱函數(shù)存在唯一性定理可知，該方程存在三個隱函數(shù)：，，，且有
2．（10分）解：因為由方程確定，所以對方程兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得： ，
解得 ，
所以由兩邊取關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得
3．（10分）解：由題意可知方程組確定了隱函數(shù)組：，，故方程組對求偏導(dǎo)數(shù)得
因為，故系數(shù)行列式，所以上述方程組有唯一解，解得
4．（10分）證法一：∵，，故
設(shè) （）
則 ， >0（）
∴當(dāng)時，單調(diào)遞增. 又∵，那么：
（1）當(dāng)時，，故為單調(diào)遞增的，又，∴當(dāng)時；
（2）當(dāng)時，，故為單調(diào)遞減的，∴當(dāng)時有.
綜上可知，當(dāng)時恒有，即，故原命題得證。
證法二：設(shè)，，，，則原命題等價于求函數(shù)的條件極值。采用拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)
分別求偏導(dǎo)數(shù)，求該函數(shù)的穩(wěn)定點得:
解之得， ，
設(shè) ，則
，
∴有，，故在時取得極大值，此時，即當(dāng)，時取極大值。又因為在上為連續(xù)函數(shù)，故的極值點為最值點。所以當(dāng)，時取最大值，即，也就是：當(dāng)，，時有：
，即
5．（10分）解：設(shè)為第一卦限中橢球上的任一點，顯然有，，，設(shè)，則過點的切平面方程為：
即
它與三坐標軸的交點分別為：
，，
又因為，所以上述坐標可化簡為：
，，
所以切平面與坐標面所成的四面體的體積為：
設(shè)（），則的極大值點為的極小值點。那么問題轉(zhuǎn)化為在條件，下求函數(shù)的最小值問題。采用拉格朗日乘數(shù)法。
令 ，則由
解之得
由于該實際問題的最大值存在，故在唯一的穩(wěn)定點處取得最大值所以的最小值為.
6．（10分）證: 因為不恒等于零，所以存在點，使得. 又在上連續(xù)，，故，使得當(dāng)時，. 記, 則
.
7.(10分)解：把看作-型區(qū)域為：
則 .
8．（10分）解：設(shè)，則
則
故平面上的點集被轉(zhuǎn)換成平面上的點集，且
則由二重積分換元法可得：
9．（10分）解：在平面上的投影區(qū)域為. 按柱坐標變換，區(qū)域可表為，由柱坐標變換公式，可得
.
10．（10分）解法一：由對稱性，其體積是第一卦限部分體積的倍，這一部分是以為曲頂，為底的曲頂柱體，故橢球體體積為
.
應(yīng)用廣義極坐標變換，，并計算得
.
所以.
解法二：作廣義球坐標變換
于是，
由球坐標變換公式可得橢球體的體積為：
.
數(shù)學(xué)分析期中考試參考答案 · 第6頁 · 共6頁
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編號：20313630
類型：共享資源
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格式：RAR
上傳時間：2021-03-06
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-
數(shù)學(xué)分析
全套
教案
附有
答案
謎底
試卷
20
- 資源描述：
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