數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20
第三章 函數(shù)極限
教材說明
極限是研究函數(shù)的有效工具，數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，其極限已在第二章給出并討論過了.本章給出一般函數(shù)極限的概念,隨之討論其基本性質(zhì)、判定函數(shù)極限存在的海涅定理與柯西準(zhǔn)則,介紹了求函數(shù)極限的一些方法.作為一種特殊情況,本章最后引入了無窮小(大)量及其階的概念.
1． 教學(xué)目的與要求
本章的教學(xué)目的是：
(1) 使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念,掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)；
(2) 理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性；
(3) 掌握兩個(gè)重要極限和,并能熟練運(yùn)用；
(4) 理解無窮小(大)量及其階的概念,會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限.
本章的教學(xué)要求是：
（1） 準(zhǔn)確建立起函數(shù)極限(包括單側(cè)極限)的概念.深刻理解函數(shù)極限的“—” 或“—”定義,明了其幾何意義.并能給出函數(shù)不以某定數(shù)為極限的相應(yīng)陳述,能運(yùn)用函數(shù)極限的定義證明與函數(shù)極限有關(guān)的某些命題；
（2）掌握函數(shù)的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理數(shù)運(yùn)算性質(zhì)等；
（3）掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則,領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路；
（4）掌握兩個(gè)重要極限,牢記結(jié)論和.掌握證明的基本思路和方法,并能靈活加以運(yùn)用；
（5）作為函數(shù)極限的特殊情形,要求掌握無窮小(大)量及其階的概念,并由此求出某些函數(shù)的極限.
2． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
本章的重點(diǎn)是函數(shù)極限的概念,性質(zhì)及其計(jì)算,柯西準(zhǔn)則和海涅定理的運(yùn)用.
第13次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題)： §3.1 函數(shù)極限概念
目的要求： 認(rèn)識(shí)趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限、趨某一定數(shù)時(shí)函數(shù)的極限的概念，并且要求能運(yùn)用概念驗(yàn)證函數(shù)的極限.
教學(xué)過程：
一. 趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限
設(shè)=，=，類似于數(shù)列的極限，由函數(shù)圖形可知，當(dāng)無限增大時(shí)，趨于0，趨于.
Def 1 設(shè)為定義在上的函數(shù)，是一個(gè)定數(shù)，若對任給的正數(shù)，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有 ， 則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)極限存在并以為極限. 記作 = 或 .
在定義中正數(shù)的作用與數(shù)列極限定義中類似，說明充分大的程度; 所不同的是：這里考慮的是比大的所有實(shí)數(shù)，而不僅僅是自然數(shù).因此，當(dāng)時(shí)函數(shù)以為極限意味著：的任何鄰域內(nèi)必含有在某個(gè)鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值.
定義的幾何意義見上圖.
Def 設(shè)為定義在鄰域上的函數(shù)，是一個(gè)定數(shù)，
若對任何正數(shù), 存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí),有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)極限存在并以為極限.記作=或.
Def 設(shè)為定義在鄰域上的函數(shù)，是一個(gè)定數(shù)，若對任給的正數(shù)，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有 ，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)極限存在并以為極限.記作=或.
,,,
,,,
,,,
命題 設(shè)為定義在鄰域上的函數(shù)，
= ==.
證明留給學(xué)生完成.
例1 證明 .
證明 任給，取=，則當(dāng) 時(shí)，. 所以 .
例2. 證明 (1) =， (2) =.
證明 由于 等價(jià)于
. ()
上述不等式左半部對任何都成立，所以只考察右半部的變化范圍.
為此，先限制，于是有 . 故對任給的正數(shù)，只須取=. 當(dāng)時(shí)，便有()式成立，這就證明了=. 同理可證=.
二 當(dāng)趨于某一定數(shù)時(shí)函數(shù)的極限
先可以直觀理解地看如下諸例：
例3函數(shù)=，當(dāng)趨于2時(shí)，其函數(shù)值趨于5.
例4函數(shù)=，當(dāng)時(shí)，=. 當(dāng)而又趨于2時(shí)，函數(shù)值趨于4.
例5函數(shù)=當(dāng)而趨于0時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值趨于1.
Def 2 (函數(shù)極限的定義) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，是一個(gè)確定的數(shù). 若對任給正數(shù)，總存在某個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有，則稱當(dāng)趨于時(shí)極限存在，且以為極限，記作 = 或.
如例3中，由于===，所以要使，只要=即可. 這里標(biāo)志著與的接近程度，它是根據(jù)的具體情況和的大小來選定的. 因它與有關(guān)，所以有時(shí)也記作().
又如例4，當(dāng)趨于()時(shí)，就趨于. 這就是說，如要 ，只要選擇=，對一切滿足不等式的都有. 所以. 同理，對于例5則有.
附注 上述定義2中的，相當(dāng)于數(shù)列極限定義中的，它依賴于，但也不是由唯一確定. 一般說來，愈小，也要相應(yīng)地小，當(dāng)然取得更小也可以. 如在例3中=，但也可以取=或=等.
定義中只要求函數(shù)在的某一空心鄰域有意義，這里只要求“空心” 意即不考慮在點(diǎn)處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值. 它只研究趨于(不等于)過程中函數(shù)值的變化趨勢.
從幾何上講，定義表明，任意劃一條以直線為中心線，寬為的橫帶(無論怎樣窄)如圖所示，必存在一條以為中心線，寬為的直帶，使直帶內(nèi)的函數(shù)圖象全落在橫帶內(nèi)，但點(diǎn)可能例外(或無定義).
例2 證明.
證明 當(dāng)時(shí)，
.
若限制于，即，，則有
.
于是對任給，只要取，當(dāng)時(shí)，便有.
例3 證明 .
證明 由于，就有 .
對任給，取. 則當(dāng)時(shí)，就有，即.
應(yīng)用極限的定義，易證明 ，.
作業(yè) . 2 (1)-(4).
第14次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題)： §3.1 函數(shù)極限概念(續(xù))
目的要求： 掌握單側(cè)極限和從單側(cè)極限角度考察的極限存在的充要條件，掌握分段函數(shù)的極限.
教學(xué)過程：
二 趨于某一定數(shù)時(shí)函數(shù)的極限(續(xù))
設(shè)函數(shù) (2)
當(dāng)大于0而趨于0時(shí)，應(yīng)按考察函數(shù)值的變化趨勢; 當(dāng)小于0而趨于0時(shí)，應(yīng)按考察函數(shù)值的變化趨勢. 而函數(shù)
在其定義區(qū)間端點(diǎn)處的極限，只能考察當(dāng)大于而趨于的情形和當(dāng)小于1而趨于1的情形.
Def 3 設(shè)函數(shù)在(或)內(nèi)有定義，是一個(gè)確定的數(shù)，若對任給正數(shù)，總存在某正數(shù)()，使得當(dāng) ()時(shí)，都有 ， 則稱函數(shù)在趨于()的極限存在，并以為右(左)極限，記作 () 或者 ( ).
右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限. 常用與分別記在的右極限與左極限，即，.
容易用定義3驗(yàn)證的 ，.
例4 證明： (1) ，(2) .
證明 因?yàn)?，只須在上討論之，? . 如若，即，就有，即. 因?yàn)?，只須在上討論，? 若，則必有，即.
Th 3.1 .
證明 “” 設(shè)，即任給正數(shù)，存在正數(shù)，使得只要當(dāng) 時(shí)，就有 . 而 和 . 換言之，任給正數(shù)，存在正數(shù)，使得只要，就有; 只要，就有， 即 ，.
“” 設(shè)且，即任給正數(shù)，存在正數(shù)和，使得只要，就有; 只要，就有. 取，則只要，就有和，從而都有. 即. 畢.
函數(shù)(2)在和時(shí)，由于，由Th 3.1，就有 . 符號(hào)函數(shù)由于，有 . 所以極限 不存在.
例9(..) 研究函數(shù)在在處的左、右極限和極限.
解 故，.
例10(..) 證明：.
證明 設(shè)，則時(shí)，成立 . 令，則當(dāng)時(shí)，必定成立不等式 . 所以 . 同理上述推證可以倒推，所以.
例11(62.7(2).) 設(shè)，求它在的左、右極限.
證明 因?yàn)?
所以 .
例12(62.8.) 證明 .
證明 設(shè) ，則時(shí)，成立不等式. 令 ，，則 . 故當(dāng)時(shí)，必得 ，從而
，即.也就是. 上述步驟可以逆推，故.
作業(yè) 62. 5. 7(1).(3).
第15次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題)： §3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)
目的要求： 以極限為代表，詳細(xì)論證極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、迫斂性和四則運(yùn)算法則，對于余下的5種極限則要求學(xué)生能自行編寫命題并論證.
教學(xué)過程：
Th3.2(唯一性) 若極限存在，則它只有一個(gè)極限.
證 若都是函數(shù)在時(shí)的極限，于是對分別，s.t.當(dāng)時(shí)，有
， ①
當(dāng)時(shí)，有 ②
取，則當(dāng)時(shí)，①和②同時(shí)成立. 于是有
. ③
由于的任意性，③只有當(dāng)即時(shí)才能成立. 證畢.
Th3.3(局部有界性) 若存在，則某個(gè)，s.t.
在內(nèi)有界.
證 設(shè)，由定義，當(dāng)取時(shí)，相應(yīng)地，s.t.對都有，或這就是說在內(nèi)有界.
Th3.4(局部保號(hào)性) 若(或)，則對(0
)，，s.t.對恒有(或恒有).
證 設(shè)，取，由定義，相應(yīng)，s.t.對，有 ， 故有
.
情形亦可類似地證明.
Th3.5(保序性) 若與,且,則,：,有.
證明:已知與,即,分別
,：,有,從而
若與皆存在，且存在
的某，s.t.對都有
， ④
則 ⑤
證 設(shè)，，由極限的定義，對，分別，s.t. 當(dāng)時(shí)，有
⑥
當(dāng)時(shí)，有 ⑦
令，則當(dāng)時(shí)，④、⑥、⑦同時(shí)成立，
于是有 .
因而. 由的任意性推出，亦即不等式⑤成立.
Th3.6(迫斂性) 若，且，s.t.對，都有 ， ⑧
則 .
證 由極限的定義，對，分別，s.t. 當(dāng)時(shí)，有
⑨
當(dāng)時(shí)，有 ⑩
令，則當(dāng)時(shí)，不等式⑧、⑨、⑩
同時(shí)成立，即有
或 . 證畢.
Th3.7(四則運(yùn)算法則) 若極限與都存在，則函數(shù)在時(shí)極限存在, 且
① ;
② ;
又若，則在時(shí)極限存在，且有
③ .
定理之證明留給學(xué)生作練習(xí).
例1. 求.
解 原式
.
例2. 求.
解 原式 .
P66.2題 設(shè)，，是任何一個(gè)固定的不小于的自然數(shù)，求證：.
證 因?yàn)?，且，所以，且，，s.t.當(dāng)時(shí)，成立 .
若，則 即為 ，由此可得當(dāng)時(shí)，成立 . 而與都是任意小正數(shù)，故有.
若，則當(dāng)時(shí)，成立
. 而與一樣地任意小，故.
P67.6(5)題 求.
解 當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，且，從而. 又，所以=1. 當(dāng)時(shí)證法與上類似，略.
P67.7題 證明：. 又問是否也有?
證 設(shè)，由極限的定義，則，，s.t.當(dāng)時(shí)，成立.
令，則.是故當(dāng)時(shí)，成立. 即，亦即. 從而. 同理.
作業(yè): P266-67. 3 (2)(4)(5)(6)(10). 5 (1)(2). 6 (1)(3)(6)
第16次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題)： §3.3 函數(shù)極限的存在條件
目的要求: 在數(shù)列極限存在條件的基礎(chǔ)上, 掌握函數(shù)極限存在的歸結(jié)原則, 柯西收斂準(zhǔn)則, 單調(diào)有界函數(shù)存在單側(cè)極限的定理, 能利用定理解決函數(shù)極限的證明與計(jì)算問題.
教學(xué)過程:
以下只敘述類型的極限存在定理.
Th3.8 (歸結(jié)原則) 設(shè)在的某空心鄰域有定義, 則存在 對任何以為極限且含于的數(shù)列, 極限都存在且相等.
證 “” 設(shè), 則, , 當(dāng)時(shí), 總有.
設(shè)且, 故對于上述, , 當(dāng)時(shí), 總有. 從而也有. 即.
“” 設(shè)對且, 都有.
用反證法, 假設(shè). 依§1習(xí)題3, , 對, 總存在, 盡管, 但有.
設(shè)在有定義, 依次取,,,
則依次存在, 盡管
, 但;
, 但;
…………………………….
, 但;
……………………………..
顯然數(shù)列, 且. 但對任何, 與的距離始終不小于, 這與相矛盾.
例1. 證明極限不存在.
證 取. 顯然有. 因?yàn)? 所以. 又取, 也有. 由于, 所以. 由于, 所以極限不存在.
歸結(jié)原則的意義在于把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理, 從而能通過歸結(jié)原則和數(shù)列極限的有關(guān)定理來證明上一節(jié)關(guān)于函數(shù)極限的唯一性, 局部有界性, 局部保號(hào)性, 不等式性質(zhì), 迫斂性和四則運(yùn)算法則等定理.
對于,,,這四種類型的單側(cè)函數(shù)極限, 它們相應(yīng)的歸結(jié)原則可表為更強(qiáng)的形式. 現(xiàn)以為例闡述如下:
Th3.9 設(shè)函數(shù)在的某空心鄰域有定義, 則極限存在 對任何以為極限且含于的遞減數(shù)列, 都有.
證 “” 設(shè), 則, , 當(dāng)時(shí), 總有.
設(shè)且數(shù)列遞減, , 故對于上述, , 當(dāng)時(shí), 總有. 從而也有. 即.
“” 設(shè)對且數(shù)列遞減, , 都有. 用反證法, 假設(shè). 則, 對, 總存在, 盡管, 但有.
設(shè)在有定義, 取, 存在, 盡管, 但;取, 存在, 盡管, 但;取, 存在,盡管, 但;
…………………………….
取, 存在,盡管, 但;
……………………………..
顯然數(shù)列, 且數(shù)列遞減, . 但對任何, 與的距離始終不小于, 這與相矛盾.
Th3.10 若為定義在上的單調(diào)有界函數(shù), 則極限存在.
證 利用歸結(jié)原則Th3.9, 略.
Th3.11(柯西準(zhǔn)則) 設(shè)函數(shù)在的某空心鄰域有定義, 則極限存在 對, :, ,都有.
證 “” 設(shè), 則對, , 當(dāng)時(shí), 有. 于是對, 有
.
“” 設(shè)數(shù)列且. 由假設(shè)對, :, 當(dāng), 都有
.
對上述, 由數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則, , 當(dāng)時(shí), 都有, 從而有. 由數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則, 它的極限存在, 記為, 即.
設(shè)且. 由上所證存在, 記為. 往證. 考慮數(shù)列
.
易見, 且. 仍由上所證存在. 與是作為收斂數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列和必有相同的極限. 是故. 證畢.
極限不存在 , ,
.
回到例1, 取, 對, 令, , 只要, 就有, 且. 從而極限不存在.
例2(.5.) 設(shè)為上的遞增函數(shù). 證明: 和
都存在, 且
, .
證 取,且,. 則,因此收斂, 且. 易證(略)
.
由歸結(jié)原則存在, 且. 同理可證存在, 且.
作業(yè): .3.4.7.
第17次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題): §3.4 兩個(gè)重要極限
目的要求: 掌握兩個(gè)重要極限, 學(xué)會(huì)使用這兩個(gè)重要極限, 教學(xué)重點(diǎn)放在使用上.
教學(xué)過程:
一. 證明.
證 如圖, 當(dāng)時(shí),
面積 扇形 面積.
即 ,
, ,
(1)
當(dāng)時(shí), 由偶函數(shù)的性質(zhì), (1)式也成立. 故(1)式對一切滿足
的都成立. 由及極限的迫斂性定理, 得
(2)
例1 求.
解 令, 則
.
例2 求.
解 由于
所以=
二. 證明
證 所證極限等式等價(jià)于同時(shí)成立以下兩個(gè)極限等式:
, (2)
. (3)
可利用§2.3中的極限等式 .
設(shè), 則有 , 從而
(4)
因, 而有 . 又
,
.
由不等式(4)和迫斂性定理, 得 .
作代換, 則
,
且 . 由已證的(2)式, 得. 畢.
的另一種極限形式:
. (5)
例3. 求 .
解 =.
例4. 求 .
解 =.
例5.(77.3) 證明: .
證 因?yàn)? 所以
, 所以
.
例6(1). 用歸結(jié)原則求.
解
.
解二(用迫斂法) .
而, 所以.
作業(yè): 76-77. 1(2)(3)(6)(7)(9) 2(4)(5) 4(2).
第18次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題): §3.5 無窮小量與無窮大量階的比較
目的要求: 掌握無窮小量,無窮大量,階的概念,學(xué)會(huì)使用這三個(gè)重要極限, 教學(xué)重點(diǎn)放在無窮小量和階的比較.
教學(xué)過程:
一. 無窮小量
在某一變化過程, 以零為極限的函數(shù)(或數(shù)列)稱為該變化過程的無窮小量.
例如 , 稱是當(dāng)時(shí)的無窮小量. 又如,,都是當(dāng)時(shí)的無窮小量.
(1) 兩個(gè)(同一變化過程) 無窮小量之和仍為無窮小量.
(2) 無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量.
例如當(dāng)時(shí), 是無窮小量, 而是有界量, 由性質(zhì)(2),當(dāng)時(shí), 是無窮小量, 從而 .
Th3.12 為函數(shù)在時(shí)的極限 在時(shí)為無窮小量.
二. 無窮小量的比較
設(shè)時(shí), 均為無窮小量.
1. 若, 則稱時(shí), 為比高階無窮小量, 或
稱時(shí), 為比低階無窮小量, 記作 ().
特別, 當(dāng)時(shí)為無窮小量可記作 ().
例如當(dāng)時(shí), 等都是無窮小量, 因而, .
2. 若存在正數(shù), 時(shí), 有
, (1)
則稱時(shí), 與為同階無窮小量, 特別當(dāng)時(shí), 與為同階無窮小量.
例如 , 故與當(dāng)時(shí)為同階無窮小量. 又如當(dāng)時(shí), , 所以當(dāng)時(shí), 與為同階無窮小量.
若無窮小量滿足關(guān)系, 則記作
如上兩例中, . 甚至當(dāng)時(shí), 也有. 常用
表達(dá)是在某內(nèi)的有界量.
. 80 .
3. 若, 則稱時(shí), 無窮小量與為等
價(jià)無窮小量, 記作 ～. 例如 ～, ～, ～.
Th3.13 設(shè)～,
(1) 若, 則;
(2) 若, 則.
證 因?yàn)? 之故.
例1. 求 .
解 因?yàn)椤? ～, 所以.
注意: 并不是任何兩個(gè)無窮小量都可以比較.
例如 和當(dāng)時(shí), 既非同階, 又無高低階可比較.
三. 無窮大量
設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義. 若對, , 當(dāng)
時(shí), 有
(2)
則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)有非正常極限, 記作.
類似地可定義, , ,, , , ,.
所有的以為極限的函數(shù)(包括數(shù)列)都稱為無窮大量.
例2. 證明 .
證 , 在時(shí), 要, 只要, 只要
. , 當(dāng)時(shí), 就有. 所以.
注意: 1. 無窮大量不是很大的數(shù). 2. 無窮大量是無界函數(shù), 但無界函數(shù)不一定都是無窮大量. 3. 兩個(gè)無窮大量趨于的速度也有快慢之分. 若為無窮大量且滿足(1)式, 則稱為同階無窮大量.
Th3.14 ① 若為時(shí)的無窮小量, 且在內(nèi), 則為時(shí)的無窮大量; ②若為時(shí)的無窮大量, 則為時(shí)的無窮小量.
證 略.
作業(yè) 84.1(1)(2)(3)(4)(6). 2(2). 4. 5(3). 6(1).
第19次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題): 習(xí)題課
目的要求: 復(fù)習(xí)第三章內(nèi)容, 精講第三章總復(fù)習(xí)中的幾個(gè)難題. 要求學(xué)生學(xué)會(huì)靈活解答難度大的習(xí)題的技巧方法.
教學(xué)過程:
一. 復(fù)習(xí)各種類型的極限概念:
, , 當(dāng)時(shí), 都有.
, , 當(dāng)時(shí), 都有.
, , 當(dāng)時(shí), 都有.
.
, , 當(dāng)時(shí), 都有.
, , 當(dāng)時(shí), 都有.
后略.
二. 復(fù)習(xí)有關(guān)定理:
Th3.1 .
Th3.2 若極限存在, 則極限唯一.
Th3.3 若極限存在, 則存在和, 當(dāng)時(shí), 成立.
Th3.4 若, 則對: , 存在, 當(dāng)時(shí), 成立.
Th3.5 若和皆存在, 且存在, 當(dāng)時(shí), 成立, 則.
Th3.6 若, 且存在, 當(dāng)時(shí), 成立, 則.
后略.
三. 習(xí)題選講
1.(P85.1(1)) 求.
解 . 因時(shí), . 所以.
2. (P85.1(4)) 求 .
解
(因.
所以 .
3.( P85.3(3)) 已知, 求.
解 因?yàn)? 所以
. 即. 于是有
, 即 . 所以 .
因?yàn)? 且. 所以
. 所以
.
4.( P85.5) 設(shè), , 能否由此推出?
分析 , , 當(dāng)時(shí), 成立. 對上述,, 當(dāng)時(shí), 成立.
若當(dāng)時(shí), 保證成立, 則可保證成立, 從而 .
但當(dāng)時(shí), 只保證成立, 不能保證成立. 這就導(dǎo)致可能不成立.
解 不能. 例如 , , 這里, . 令, 得 . 當(dāng)時(shí), 成立. 取 則, 這里.取數(shù)列和, 則時(shí),,
但＝. 是故不存在, 更談不上成立.
5.( P86.8(1)) 設(shè), 求證:
.
證 因?yàn)? 所以, ,
時(shí), 成立. 所以當(dāng)時(shí), 成立
. ‘
令, 只需. 于是令, 則當(dāng)時(shí), 成立.故.
6.( P86.10.) 設(shè)為內(nèi)的遞增函數(shù). 證明: 若存在數(shù)
列, 且, , 則, , 且.
證 因?yàn)? 所以數(shù)列的任何一個(gè)子數(shù)列也滿足這個(gè)極限等式. 將數(shù)列分出一個(gè)遞增的子數(shù)列, 為方便起見仍記作. 于是數(shù)列單調(diào)遞增, 且. 所以.
, 由于, , 有
. , , 時(shí), 成立
.
取, 則當(dāng)時(shí), 有及
. 所以.
7.( P86.11.) 設(shè)為定義在上的函數(shù), 且在每一有限區(qū)間內(nèi)有界并滿足, 求證:
證 因?yàn)? 所以, ,
當(dāng)時(shí), 成立. 對于, , .記, 則
而依次有 ,
,, ,
………………………………….
.
相加, 得 .
即 .
所以 .
或者 .
因?yàn)? ,
,
所以, 當(dāng)時(shí), 成立. 故.
8.( P86.12.) 設(shè)函數(shù)在上滿足方程, 且. 證明: , .
證 因?yàn)?又, 所以時(shí), 有.
作業(yè) 85-86. 1(2)(7). 2(2). 3(2). 4. 6(3). 7(2). 9(3).13.
作業(yè)提示 9(3) 利用貝努利不等式.
13 利用 . 當(dāng)時(shí),
; 當(dāng)時(shí), .
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