數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)

數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20 第二十章 重積分 一．教材說明 重積分是定積分的自然推廣。即除了積分區(qū)域的差異外，關(guān)于重積分的概念、可積條件、性質(zhì)與定積分是平行的。因此，在討論重積分的概念及性質(zhì)時(shí)著重討論了二重積分，只要搞清二重積分，那么三重積分及第二十一章的多重積分將沒有什么困難了。 由于有了定積分概念的基礎(chǔ)，重積分概念時(shí)比較容易理解的。而重積分的計(jì)算是采用累次積分的方法，需要選擇積分限，有時(shí)還要進(jìn)行變量替換，處理起來比較復(fù)雜，所以應(yīng)加強(qiáng)這方面的內(nèi)容。 1．目的與要求 本章的教學(xué)目的是： （1）理解并掌握二重積分的有關(guān)概念及可積條件，進(jìn)而會(huì)計(jì)算二重積分； （2）理解三重積分的概念，掌握三重積分的計(jì)算方法并能應(yīng)用其解決有關(guān)的數(shù)學(xué)、物理方面的計(jì)算問題； 本章的教學(xué)要求是： （1）與定積分比較，掌握重積分的概念、可積條件、性質(zhì)等； （2）會(huì)用累次積分的方法計(jì)算二重積分，能夠根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，特別是熟練的掌握極坐標(biāo)替換、一般坐標(biāo)替換等； （3）會(huì)應(yīng)用累次積分方法計(jì)算三重積分，能夠根據(jù)三維空間中積分區(qū)域的特征和被積函數(shù)的特點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)睦鄞畏e分次序，即“先二重后一重”或“先一重后二重”的方法，從而簡(jiǎn)化三重積分的計(jì)算。另外，會(huì)應(yīng)用柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)與廣義柱、球面坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分； （4）會(huì)應(yīng)用二重積分計(jì)算光滑曲面的面積，用二、三重積分計(jì)算物體重心坐標(biāo)和物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及平面圖形的面積、立體的體積等。通過練習(xí)應(yīng)學(xué)到各種技巧，以便快速、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的解決這類問題。 2．重點(diǎn)與難點(diǎn) 本章的重點(diǎn)是重積分的計(jì)算；難點(diǎn)是化重積分為累次積分。 §1 二重積分概念 第10次課 教學(xué)內(nèi)容 §1 二重積分概念 目的要求 理解并掌握矩形區(qū)域上的二重積分的概念和可積條件. 教學(xué)過程 一 矩形區(qū)域上的二重積分 1．引例 設(shè)為定義在矩形區(qū)域上的非負(fù)連續(xù)二元函數(shù)，求以曲面為頂，為底的柱體的體積. 先在取分割，在取分割，由直線族和直線族 構(gòu)成一個(gè)矩形網(wǎng)，它把分割成個(gè)小矩形 . 小矩形的面積 . 這個(gè)矩形網(wǎng)也相應(yīng)地把曲頂柱體分割成個(gè)以為底的小曲頂柱體. 由于的連續(xù)性，當(dāng)每個(gè)的直徑很小時(shí)，在上各點(diǎn)的函數(shù)值都相差無幾. 因此，任取在上一點(diǎn)的函數(shù)值為高，以為底的小平頂柱體(這時(shí)是長方體)的體積可作為的體積的近似值，即 . 把這些小平頂柱體體積加起來，就得的近似值 . 當(dāng)矩形網(wǎng)的網(wǎng)眼越來越細(xì)密(即直線數(shù)越來越多，同時(shí)各網(wǎng)眼的直徑越來越小)時(shí)，就越來越精確. 從而就有 . 至此已看到：“分割，近似求和，取極限”這三大步驟. 2．矩形區(qū)域上的二重積分的定義 設(shè)為定義在上的有界函數(shù)，為的一個(gè)分割，其分點(diǎn)為 ； 為的一個(gè)分割，其分點(diǎn)為 . 用直線族和作矩形網(wǎng)構(gòu)成上的一個(gè)分割，記作. 把分成成個(gè)小矩形： . 小矩形的面積，直徑，稱為分割的細(xì)度. 在每個(gè)上任取一點(diǎn)，作和式 稱為在上屬于分割的積分和. 定義1設(shè)為定義在矩形區(qū)域上的函數(shù)，是一個(gè)確定的數(shù). 若, , s.t.對(duì)上任何分割，只要 對(duì)屬于分割的所有積分和都有 ， 則稱在上可積，數(shù)稱為在上的二重積分，記作 或 ， 其中稱為被積函數(shù)，為積分變量，為積分區(qū)域. 3．二重積分的幾何意義 當(dāng)時(shí)，二重積分的幾何解釋就是本段開頭的曲頂柱體的體積. 若在上，(為常數(shù))，則對(duì)上任一分割都有 ， 從而得 . 特別當(dāng)時(shí)，二重積分的值就等于積分區(qū)域——矩形的面積. 二 二重積分的可積條件 1．上和與下和 設(shè)為矩形區(qū)域上的有界函數(shù)，為上的一個(gè)矩形網(wǎng)分割. 記 ， ， 分別稱和式 ， ， 為關(guān)于分割的上和與下和. 對(duì)任何一個(gè)分割，總有； 對(duì)任何兩個(gè)分割，總有，； 設(shè)為分割加密后得到的分割，則 ， ； 分別稱和為在上的下積分和上積分，則有及，. 2．可積條件 定理20.1 有界函數(shù)在矩形區(qū)域上可積在上的下積分等于上積分，且. 定理20.2有界函數(shù)在矩形區(qū)域上可積，，s.t. ， 這里表示在上的振幅. 定理20.3 若在矩形區(qū)域上連續(xù)，則在上可積. 定理20.4 設(shè)：為可積函數(shù)，{ }(或{} )，其中(或). 若為上有界函數(shù)，且在上連續(xù)，則在上可積(本定理的證明可模仿定理10.5的證明，略). 例1． 考察定義在上的函數(shù) 由于，為連續(xù)函數(shù)，當(dāng)然可積. 而在 上連續(xù)，由定理20.4，在上可積. 作業(yè) P264.1.2. 第11次課 教學(xué)內(nèi)容 §1 二重積分概念(續(xù)) 目的要求 理解并掌握由矩形區(qū)域上的二重積分的概念和可積條件演變到一般區(qū)域上的二重積分的概念和可積條件. 教學(xué)過程 三 一般區(qū)域上的二重積分 1．由矩形區(qū)域到一般區(qū)域的二重積分的定義 設(shè)為有界閉域，為上有界函數(shù)，由的有界性，任取矩形區(qū)域. 定義上的函數(shù) 稱為在上的延拓函數(shù). 定義2 若延拓函數(shù)在上可積，則稱在上可積，且 . 例如，函數(shù)在有界閉域上是可積的，因?yàn)樵谏系难油睾瘮?shù)在上可積(例1). 定義3 設(shè)是平面有界點(diǎn)集，若函數(shù)在上可積，則稱是可求面積的，且的面積是 . 例2 設(shè)是上全體有理點(diǎn)所組成的點(diǎn)集，證明不是一個(gè)可求面積的平面圖形. 證 令：，則在上的延拓函數(shù) 對(duì)的任何分割，在屬于它的每一個(gè)小區(qū)域上，由有理點(diǎn)與無理點(diǎn)所具有的稠密性，總有 ， . 從而，故在上不可積，從而不是一個(gè)可求面積的平面圖形. 2．二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 若在上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且. 性質(zhì)2 若都在上可積，則在上也可積，且 . 性質(zhì)3(區(qū)域可加性) 若，且，則在可積在和上都可積，且. 性質(zhì)4 若在上可積，且，則. 性質(zhì)5 若在上可積，則在上也可積，且. 性質(zhì)6 若在上可積，且，則. 性質(zhì)7(中值定理) 若為閉域上連續(xù)函數(shù)，則存在，使得. 例3定義在圓域上的函數(shù)是可積的.因?yàn)榭砂褎澐譃樯舷聝蓚€(gè)半圓 ，. 由于，在上的延拓函數(shù)可積，從而在上可積. 同理在上可積. 于是在上可積. 定理20. 若有界區(qū)域的邊界由有限條連續(xù)曲線(，或，)所圍成，在上連續(xù)，則在上可積. 例4(P264.6(1))設(shè)在可求面積的閉區(qū)域上連續(xù)，證明：若在上， ，不恒等于零，則. 證 因?yàn)椴缓愕扔诹?，所以存在點(diǎn)，使得. 又在上連續(xù)，，故，使得當(dāng)時(shí)，. 記, 則 . 例5(P264.7)證明：若在可求面積的閉區(qū)域上連續(xù)，在上可積且不變號(hào)，則存在一點(diǎn)使得 . 證 依題意可推得在在上可積. 設(shè)在閉區(qū)域上的最大值和最小值分別為，則， ， . 若，則由成立； 若，則. 再由閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的介值性定理知，存在一點(diǎn)使得，即. 作業(yè) P264—265. 6(2). 8. 第12次課 教學(xué)內(nèi)容 §2 二重積分的計(jì)算 目的要求 掌握含參量積分的概念及連續(xù)性和可積性，掌握化二重積分為累次積分的方法，掌握型區(qū)域和型區(qū)域. 教學(xué)過程 一 化二重積分為累次積分 1．含參量積分 設(shè)是定義在矩形區(qū)域上的函數(shù)，當(dāng)取上某定值時(shí)，是定義在上的一元函數(shù). 若在上可積，則其積分 ， 是一個(gè)定義在的函數(shù)，并稱為含參量積分，為積分參量. 定理20.5 若函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù). 證 設(shè)，，則 . 因在有界閉域上連續(xù)，故一致連續(xù)，即，，s.t. 對(duì)，只要，，就有，故當(dāng)時(shí)，也有 . 由及. 即在上連續(xù). 證畢. 上述定理的結(jié)論又可表述為：對(duì)，有 . 2．化為累次積分 定理20.6 設(shè)在矩形區(qū)域上可積，若對(duì)每一個(gè)，在上可積，則含參量積分在上可積，且 . 即 . 證 對(duì)和作分割： ，. 兩組直線， ，把分成個(gè)小矩形，記為. 記在上的上確界與下確界分別為和. 在區(qū)間中任意取一點(diǎn)，于是 ， 其中. 因此 ， ， 其中. 記的對(duì)角線長度為和，由于二重積分存在，當(dāng)時(shí)，和及不等式中的都以為公共極限. 即 . 但，故 .‖ 類似地也可以討論另一累次積分. 定理20.7 設(shè)在矩形區(qū)域上連續(xù)，則 . 即當(dāng)在矩形區(qū)域上連續(xù)時(shí)，積分值與積分順序的選擇無關(guān). 例1．計(jì)算，其中. 解 . 3．型區(qū)域和型區(qū)域 如圖，若平面點(diǎn)集 ， 則稱它為型區(qū)域；若平面點(diǎn)集 ， 則稱它為型區(qū)域. 型區(qū)域的特點(diǎn)：垂直于軸的直線與區(qū)域邊界至多有兩個(gè)交點(diǎn)； 型區(qū)域的特點(diǎn)：垂直于軸的直線與區(qū)域邊界至多有兩個(gè)交點(diǎn). 左圖區(qū)域可分割成三塊，其中第一塊和第三塊都是型區(qū)域，而第二塊是型區(qū)域. 在討論型區(qū)域和型區(qū)域上的二重積分之前，先討論比式更為一般的含參量積分的性質(zhì). 設(shè)為定義在型區(qū)域上的函數(shù)，若對(duì)上的每一固定的，作為的函數(shù)在區(qū)間上可積，則令 ， 而有 定理20.8 設(shè)在型區(qū)域上連續(xù)，，在上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù). 證 對(duì)換元，令，則 . 由定理20.5函數(shù)在上連續(xù). 證畢. 定理20.9設(shè)在型區(qū)域上連續(xù)，，在上連續(xù)，則 . 證 由，在上連續(xù)，故存在. 作在上的延拓函數(shù)，則 . 證畢. 若定理20.9中，為型區(qū)域，，在上連續(xù)，則 . 4．應(yīng)用舉例 例2 計(jì)算二重積分 ， 其中是由直線，和所圍成的三角形區(qū)域. 解 當(dāng)把看作型區(qū)域時(shí)，相應(yīng)地 ， . 例3 設(shè)是由直線，及圍成的區(qū)域，試計(jì)算的值. 解 . 例4 求兩個(gè)底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積. 解 設(shè)圓柱底面半徑為，兩個(gè)圓柱方程為 ， . 利用對(duì)稱性，只要求出在第一卦限(即)部分的體積，再乘以8即可. 第一卦限內(nèi)是以為頂，以四分只一圓域 為底的曲頂柱體. 故 , 于是 . 作業(yè) P285-286. 1(1)(2). 3(1)(2). 5(1)(2). 6(1)(2). 第13次課 教學(xué)內(nèi)容 §2 二重積分的計(jì)算(續(xù)) 目的要求 掌握二重積分換元法中特別重要的極坐標(biāo)換元法. 教學(xué)過程 二 二重積分換元法 1． 極坐標(biāo)變換 ， ，）. 當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分或被積函數(shù)形為時(shí)，采用極坐標(biāo)換元方法. 設(shè)在有界可求面積的區(qū)域上連續(xù). 在直角坐標(biāo)系中，是以平行于軸和軸的直線來分割區(qū)域，后作積分和求極限. 而在極坐標(biāo)系中，用常數(shù)的一族同心圓和常數(shù)的一族過極點(diǎn)的射線來分割區(qū)域，得出若干小塊，小塊的面積為 . 當(dāng)與充分小時(shí)，除去一個(gè)更高階無窮小外，有 . 若在積分和中以代替，并按極坐標(biāo)變換，，則有 . 由的連續(xù)性，當(dāng)分割的細(xì)度趨于零時(shí)，上述極限存在，且 ， 這里是區(qū)域按極坐標(biāo)變換后的表示形式. 若 ， 其中，為上的連續(xù)函數(shù)，則稱它為型區(qū)域. 這時(shí) . 若 ， 其中為上的連續(xù)函數(shù)，則稱它為型區(qū)域. 這時(shí) . 此外，若原點(diǎn)是區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)，則變換后的區(qū)域 ， 這里是的邊界曲線，于是 . 例5．計(jì)算，其中. 解 ， . 例6．求球面被柱面所割下的立體的體積. 解 設(shè)該立體的體積為，它的四邊形分之一是以為柱頂，以：，為底的柱體的體積，故. 化為極坐標(biāo)，有 ， 故 . 例7．應(yīng)用二重積分計(jì)算非正常積分. 解 設(shè)，顯然函數(shù)在上可積，且 作半徑為和的圓和，它們分別含于和包含，由于 ，所以 . 因， 同理，. 故 . 又，，所以 ，從而. 作業(yè) P287. 7(1)(2)(3). 第14次課 教學(xué)內(nèi)容 §2 二重積分的計(jì)算(續(xù)2) 目的要求 掌握二重積分一般換元方法的基本思路和方法，掌握極坐標(biāo)換元法之外的各種類型的換元法. 教學(xué)過程 對(duì)一般換元： ， ， 假定確定了平面上的開集內(nèi)的點(diǎn)到平面上的開集內(nèi)的點(diǎn)的一一映射. 若函數(shù)在內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則變換存在逆變換 ， ， 且在內(nèi)有. 設(shè)為內(nèi)的可求面積的閉區(qū)域，由變換它對(duì)應(yīng)內(nèi)可求面積的閉區(qū)域，則(證明略). 設(shè)為上可積函數(shù)，有 . 易驗(yàn)證在極坐標(biāo)變換下， . 例8．求橢球體的體積. 解 由對(duì)稱性，其體積是第一卦限部分體積的倍，這一部分是以為曲頂，為底的曲頂柱體，故橢球體體積為 . 應(yīng)用廣義極坐標(biāo)變換，，并計(jì)算得 . 所以. 例9．求，其中：. 解 令，，為此作坐標(biāo)變換： 有, (見下圖) . 所以 . 例10．求由拋物線，和直線，所圍區(qū)域的面積(,). 解 由，解得，，提示應(yīng)該作變換，，則，且，所以區(qū)域的面積 . 作業(yè) P287. 8(1)(2)(3). 9(2). 第15次課 教學(xué)內(nèi)容 §2 二重積分的計(jì)算(續(xù)3) 目的要求 掌握含參量積分的導(dǎo)數(shù)的求法和應(yīng)用. 教學(xué)過程 三 含參量積分的導(dǎo)數(shù) 定理20.10 若函數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，則在上可微，且 . 證 對(duì)，，有 . . 由微分中值定理及的連續(xù)性，，，s.t.只要，就有，其中. 結(jié)合式，得. 故式成立. 定理20.11 設(shè)與在上連續(xù)，為定義在上其值域含于上的兩個(gè)可微函數(shù)，則在上，且. 證 把看作由，，復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，則 .‖ 例11．計(jì)算定積分. 解 考慮含參量積分. 顯然，且函數(shù)在上滿足定理20.11的條件，故 . 再求 ， 即得 ，從而. 例12．設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，驗(yàn)證當(dāng)充分小時(shí)，函數(shù) 的階導(dǎo)數(shù)存在，且. 證 中被積函數(shù)及在原點(diǎn)的某個(gè)方鄰域內(nèi)連續(xù)，由定理20.11，有 . 同理， ， ， . 例13．求. 解 因?yàn)?，所? 由于在閉區(qū)域 上連續(xù)，所以. 作業(yè) P288.10(1)(2)(3). 第16次課 教學(xué)內(nèi)容 §3 三重積分 目的要求 掌握三重積分的概念和化三重積分為累次積分的計(jì)算方法. 教學(xué)過程 一 三重積分概念 求物體的質(zhì)量 設(shè)是一個(gè)空間立體(三維空間的一個(gè)有界閉區(qū)域)，為上的密度分布函數(shù). 把分成個(gè)小塊：，，，在每一小塊上任取一點(diǎn)，當(dāng)為上的連續(xù)函數(shù)時(shí)，小塊的質(zhì)量，整個(gè)立體的質(zhì)量 . 當(dāng)分割越細(xì)密時(shí)，即當(dāng)小塊的最大直徑趨于零時(shí)，其極限就是所求物體的質(zhì)量 ，其中的直徑}. 象二重積分一樣，從最簡(jiǎn)單的情況入手，設(shè)是定義在長方體 上的函數(shù), 任取, 和上的分割和, 用這些分割的分點(diǎn)作平面網(wǎng), , 構(gòu)成上的分割, 把分成若干個(gè)小長方體, 其中小長方體體積，記中直徑的最大者為，稱為分割的細(xì)度. 在每個(gè)上任取一點(diǎn)，作和數(shù) 稱為函數(shù)在上屬于分割積分和. 定義1 設(shè)是定義在長方體上的函數(shù)，是一個(gè)確定的數(shù). 若,, s.t. 對(duì)上任何分割, 只要, 屬于分割的所有積分和都有 , 則稱在上可積，數(shù)稱為在上的三重積分，記作 或， 其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)域. 設(shè)為一般的有界閉域，長方體, 稱函數(shù) 為在上的延拓函數(shù). 定義2 若在上可積，則稱在上可積，且. 說三維區(qū)域是可求積的，如果函數(shù)在上可積，并令的體積. 與二重積分一樣，若有界閉域是由有限個(gè)連續(xù)曲面(或或)所圍成，在上連續(xù)，則在上可積. 二 化二重積分為累次積分 定理20.12 若函數(shù)在長方體上的三重積分存在，且對(duì)，二重積分存在，其中. 則存在，且 . 證 略 若， ， 則 . 例1 計(jì)算，其中為由平面，，，與所圍成的區(qū)域. 解 在平面上投影區(qū)域是，有 . 例2．求，其中是橢球體：. 解 ，是橢圓面. , 故 . 同理 ， 所以 . 作業(yè) P300. 1(1)(2)(3)(4) 第17次課 教學(xué)內(nèi)容 §3 三重積分(續(xù)) 目的要求 掌握三重積分的各種換元法. 教學(xué)過程 三 三重積分換元法 設(shè)，，在空間某個(gè)開集上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù). 設(shè)變換 ： 把內(nèi)的點(diǎn)一一映射到空間上開集內(nèi)的點(diǎn). 又 在上恒不為零. 現(xiàn)設(shè)為內(nèi)可求體積的閉區(qū)域，由變換它對(duì)應(yīng)內(nèi)可求體積的閉區(qū)域，于是 定理20.13 設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則 . 證 略. 1． 柱坐標(biāo)變換 由于 ， 按式，三重積分的柱坐標(biāo)換元公式為 . 在柱坐標(biāo)系中，用常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)的平面分割時(shí)，變換后在直角坐標(biāo)系中，常數(shù)是以軸為中心軸的圓柱面，常數(shù)是過軸的半平面，常數(shù)是垂直于軸的平面(見上圖). 用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分，通常是找出在平面上的投影區(qū)域，即當(dāng)時(shí)， ， 其中二重積分部分應(yīng)用極坐標(biāo)計(jì)算. 例3．計(jì)算，其中是由曲面與為界面的區(qū)域. 解 在平面上的投影區(qū)域?yàn)? 按柱坐標(biāo)變換，區(qū)域可表為，由公式， . 2． 坐球標(biāo)變換 ， 當(dāng)時(shí)，，故 . 在球坐標(biāo)系中，用常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)的平面分割時(shí)，變換后在直角坐標(biāo)系中，常數(shù)是以原點(diǎn)為中心的球面，常數(shù)是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)軸為中心軸的圓錐面，常數(shù)是過軸的半平面 (見左圖). 在球坐標(biāo)系下，當(dāng)區(qū)域由集合 確定時(shí)，式可化為累次積分 . 例4．求由圓錐體和球體所確定的立體體積，其中和為常數(shù). 解 在球坐標(biāo)變換下，球體可表為 ， 圓錐體可表為，因而 . 立體體積為 . 例5．求，其中：與所圍成的區(qū)域. 解 作廣義球坐標(biāo)變換 于是 ，： 由公式，有 . 作業(yè) P201. 3(1). 4(1)(2). 6. 第18次課 教學(xué)內(nèi)容 §4 重積分的應(yīng)用 目的要求 重點(diǎn)掌握曲面面積的計(jì)算方法. 教學(xué)過程 一 曲面的面積 1．在直角坐標(biāo)系中曲面由顯式方程給出 設(shè)為可求面積的平面有界區(qū)域，函數(shù)在上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，討論由方程 ， 所確定的曲面的面積. 對(duì)區(qū)域作分割，把分成個(gè)小區(qū)域(). 相應(yīng)地將曲面也分成個(gè)小曲面片(). 在每個(gè)上任取一點(diǎn)，作曲面在這一點(diǎn)的切平面，在上取出一小塊，使得與在平面上的投影都是(如圖). 當(dāng)充分小時(shí)，有(分別表示曲面，小曲面片，小切平面塊的面積). 故當(dāng)時(shí)，可用和式的極限作為曲面的面積. 首先計(jì)的面積. 由于切平面的法向量就是曲面在點(diǎn)處的法向量，記它與軸的夾角為，則 . 因?yàn)樵谄矫嫔系耐队笆?，所? . 其次，由于和數(shù)是連續(xù)函數(shù) 在有界閉區(qū)域上的積分和，于是得 ， 或 ， 其中為曲面的法向與軸夾角的余弦. 例1． 求圓錐在圓柱體內(nèi)那一部分的面積. 解 由公式， ， 其中：. 所求曲面的方程為，有，， 故 . 所以 . 2． 曲面由參數(shù)方程給出 若空間曲面由參數(shù)方程 ，，， 給出，其中，，在上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且 ，， 中至少有一個(gè)不等于零. 則曲面在點(diǎn)的法線方向數(shù)為 （，，）， 它與軸夾角的余弦的絕對(duì)值為 ， 其中, , . 當(dāng)時(shí)，對(duì)作變換，，則有 . 由，得到由參數(shù)方程所表示的曲面面積公式： . 例2． 求球面上兩條緯線和兩條經(jīng)線之間的曲面的面積(陰影部分) 解 設(shè)球面方程為，，， 其中為球之半徑，表示緯度，表示經(jīng)度. 本例就是求在，時(shí)的球面部分面積. ，，，. 由公式，得所求面積為 . 作業(yè) P311. 1. 2. 第19次課 教學(xué)內(nèi)容 §4 重積分的應(yīng)用(續(xù)) 目的要求 掌握重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，引力的計(jì)算方法. 教學(xué)過程 二 重心 1．設(shè)是密度函數(shù)為的空間物體，在連續(xù). 對(duì)作分割, 在屬于分割的每一小塊上任取一點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)公式是 ， ，. 令，得空間物體的重心坐標(biāo)公式： ， ， . 當(dāng)為常數(shù)時(shí)： ，，. 2． 對(duì)密度分布為的平面薄板，其重心坐標(biāo)公式： ， . 當(dāng)平面薄板的密度為常數(shù)時(shí)： ， ， 此處又可表示它的面積. 例3． 求密度均勻的上半橢球體的重心. 解 上半橢球體：，. 在廣義球坐標(biāo)變換 下，：，，. 由對(duì)稱性知，. . 三 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 質(zhì)點(diǎn)對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和與轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離的平方的乘積，即. 設(shè)為空間物體的密度分布函數(shù)，它在上連續(xù). 對(duì)作分割，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 ，， . 當(dāng)時(shí)，得物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 ，， . 同理，物體對(duì)坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 ，，. 例4求密度為常數(shù)的圓環(huán)：，對(duì)垂直于圓環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 ，其中為圓環(huán)的質(zhì)量. 例5 求密度為的均勻圓盤：對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 ，其中為圓盤的質(zhì)量. 例6 設(shè)某球體的密度與原點(diǎn)的距離成正比，求它對(duì)切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 令球體：，，切平面方程為，則 . 四 引力 求密度為的立體對(duì)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的吸引力. 設(shè)的坐標(biāo)為，中的點(diǎn)的坐標(biāo)為，記 ， 則引力在三坐標(biāo)軸上的投影為： ，，. 例7設(shè)球體具有均勻的密度，求球體對(duì)球外一點(diǎn)(質(zhì)量為)的吸引力(引力系數(shù)為). 解 設(shè)：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然. ， 其中，用柱坐標(biāo)計(jì)算： . 作業(yè) P311. 4(1). 5(1). 7(1). 第20次課 教學(xué)內(nèi)容 第二十章習(xí)題課 目的要求 復(fù)習(xí)重積分的概念和各種計(jì)算方法，特別是重積分的各種換元方法以及各種計(jì)算技巧. 教學(xué)過程 一 主要內(nèi)容 1二重積分的概念和性質(zhì) 2二重積分的計(jì)算 ① 化為累次積分，②極坐標(biāo)換元，③一般的換元法 3含參量積分 ①連續(xù)性，②可微性，③可積性 4三重積分 ①定義與性質(zhì)，②化為累次積分計(jì)算，③柱面坐標(biāo)換元，④球面坐表換元 5重積分應(yīng)用 ① 曲面的面積，②物體的重心，③轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，④引力 二 問題舉例 例1(P312.1)設(shè) ， . 證明：在上不可積； 說明存在并求它的值； 說明在上先后的累次積分不存在. 解 在考察，對(duì)的任何分割，在每個(gè)小區(qū)域上都有有理點(diǎn)與無理點(diǎn)，因此每個(gè)小區(qū)域上函數(shù)的振幅. 所以在上的上和與下和之差. 故在上不可積，從而在上不可積. 對(duì)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，. 因此當(dāng)時(shí)，. 對(duì)固定的，關(guān)于在的任何小區(qū)間上的振幅都為 ， 因而關(guān)于在不可積. 即在上先后的累次積分不存在. 例2(P286.4(1)(2))在下列積分中改變累次積分的順序： (1)， (2) . 解 (1)先出積分所示的型區(qū)域，再將它分割為兩個(gè)型區(qū)域： ，. 最后得 . (2) 先出積分所示的型區(qū)域，再將它表為型區(qū)域： 最后得. 例3(P312.3(2)(3))試作適當(dāng)?shù)淖儞Q，把下列重積分化為單重積分 (2)，其中； (3). 解 (2)由對(duì)稱性，只考察第一象限的部分. 用極坐標(biāo)變換，， 故 . (3)令，，即，，則，，且. 故 . 例4(P313.4(2))計(jì)算積分. 解 , 其中 , , 為圓盤挖去與連同邊界后留下的部分. ， 又， 故 . 例5(P313.8)求, 其中，為連續(xù)函數(shù). 解 由積分中值定理，，使. 又時(shí)，，且為連續(xù)函數(shù)， 故 ， . 例6(P313.9)設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，證明： （）. 證 令 （），則（）. 而 （），且. 則 . 例7(P313.10)設(shè)：是連續(xù)可微函數(shù). 證明：函數(shù) 是可微函數(shù)，且. 證 因：是連續(xù)可微函數(shù)，則的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)， 從而在上連續(xù)，即在上連續(xù).故在上可微，且 ＝. 例8(P314.12(1))設(shè)為可微函數(shù)，求 (1)， (2) , 的導(dǎo)數(shù). 解 (1)應(yīng)用球坐標(biāo)變換，； (2)令，則， . 作業(yè) P286.4(3). P312-314.3(1)(4). 5(2). 6.11. — 64 —