數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)

數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：定積分 教者：莫海平 教學(xué)目的： 1．能從曲邊梯形的面積和變力所作的功這兩個實際問題闡述解決這類問題的思想方法，“分割，近似求和，取極限”，從而了解產(chǎn)生定積分的背景 2．正確理解和準(zhǔn)確敘述定積分的定義 3．會用定義求簡單函數(shù)的定積分 教學(xué)重點：定積分的定義及相關(guān)概念 教學(xué)難點：定積分的幾何意義 關(guān) 鍵：理解定積分概念中的兩個任意性，即對區(qū)間分割的任意性和取點的任意性 教 學(xué) 程 序 一、導(dǎo)言與回顧 1．導(dǎo)言：積分學(xué)中的兩大基本問題是不定積分和定積分。不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運算，即求原函數(shù)問題，定積分則是某種和式的極限，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，從本節(jié)開始研究定積分問題。 2．回顧 我國古代杰出數(shù)學(xué)家劉徽計算圓的周長所用的“割圓術(shù)”思想，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。” 二、新授 （一）問題提出 1．曲邊梯形的面積 設(shè)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)， 且，由曲線，直線， 以及軸所圍成的平面圖形，（如圖）， 稱為曲邊梯形 如圖，求曲邊梯形面積，教師引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生 思考，分割區(qū)間 從而曲邊梯形被分割成個小曲邊梯形。 在每個小區(qū)間上任取一點，，作以為高，為底的小矩形。 用這些小矩形的面積近似替代相應(yīng)小曲邊梯形的面積。 則曲邊梯形面積S近似為 （） （1） 當(dāng)分點無限增多，且對無限細(xì)分時，如果此和式與某一常數(shù)無限接近，而且與分點和中間點的選取無關(guān)，則就把此常數(shù)定義作為曲邊梯形的面積S。 2．變力所作的功 設(shè)質(zhì)點受力F的作用沿軸由點移動到點，并設(shè)F處處平行于軸，F(xiàn)連續(xù)依賴于質(zhì)點所在的位置坐標(biāo)，即，為一連續(xù)函數(shù)，求力F所作的功W。 解決的方法同曲邊梯形，把細(xì)分為個小區(qū)間，，，并在每個小區(qū)間上任取一點，就有，，，這樣，質(zhì)點從位移到時，力F所作的功就近似等于，從而 （2） （二）定積分的定義 1．定義：設(shè)閉區(qū)間內(nèi)有個點，依次為。 它們把分成個小區(qū)間，，這些分點或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對的一個分割，記為 或 小區(qū)間的的長度為，并記稱為分割的模。 2．定義：設(shè)是定義在上的一個函數(shù)。一個分割，任取點，，并作和式 稱此和式為函數(shù)在上的一個積分和，也稱黎曼和。 3．定義，設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對的任向分割，以及在其上任意選取的點集，只要，就有 則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積，數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積分，記作 稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，、分別稱為這個定積分的下限和上限。 注1：常用極限符號來表達(dá)定積分 注2：連續(xù)函數(shù)是可積的。 注3：定積分的幾何意義。 注4：定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量所用的符號無關(guān)，即 =… 三、鞏固練習(xí) 例 求在區(qū)間上，以拋物線為曲邊的曲邊三角形的面積。 解 在連續(xù)，所以可積 由于定積分存在，選取特殊分割： ， 取，則 四、總結(jié)歸納 五、布置作業(yè)：P204 1． 2． 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：洛比達(dá)法則 教者：韓 超 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握用洛比達(dá)法則求不定式極限的方法 教學(xué)重點：洛比達(dá)法則的應(yīng)用 教學(xué)難點：洛比達(dá)法則的證明 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、復(fù)習(xí)與提問 1．什么是“”型和“”型極限？ 2．到目前為止，學(xué)習(xí)了哪些求“”型和“”型極限的方法？ 二、新課 1．導(dǎo)入：研究極限 “”型：與； “”型：與的關(guān)系。 2．洛比達(dá)法則（求極限法） 定理1（洛比達(dá)法則1） 若函數(shù)與滿足下列條件： （1）在的某去心鄰域可導(dǎo)，且； （2）與； （3）。 則 分析：要找到兩個函數(shù)之比與這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之比的關(guān)系，可利用柯西中值定理。為了使函數(shù)與在滿足柯西中值定理的條件，可將與在作連續(xù)開 拓，即令，即可。 證明 令，，則，在以與為端點的區(qū)間上函數(shù)與滿足柯西中值定理的條件，因此在與之間至少存在一點C，使 已知，時，，所以根據(jù)歸結(jié)原則， 。 （證畢） 定理1是（為有限常數(shù)）時“”型極限的洛比達(dá)法則。對于其它的極限過程如時有 定理2（洛比達(dá)法則2） 若函數(shù)與滿足下列條件： （1），在時可導(dǎo)，且； （2）與； （3）。 則 證法：啟發(fā)學(xué)生使用換元法，將極限過程變?yōu)?，即轉(zhuǎn)為洛比達(dá)法則1進(jìn)行證明。 證明：由學(xué)生完成。 3．例題與練習(xí)（洛比達(dá)法則之應(yīng)用） 例1 求； 例2 求（）。 練習(xí)：求下列極限 1）； 2）。 4．總結(jié) （1）應(yīng)用洛比達(dá)法求極限要注意函數(shù)及極限類型是否滿足洛比達(dá)法則的條件； （2）洛比達(dá)法則中的條件3）僅是充分條件，當(dāng)不存在時，仍可能存在。 三、作業(yè) P225 1．（1）—（6） P225 2． 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：泰勒公式 教者：韓 超 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握泰勒定理的條件和結(jié)論，了解泰勒公式的理論意義及初步應(yīng)用 教學(xué)重點：泰勒定理 教學(xué)難點：泰勒公式中的余項 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、復(fù)習(xí)與提問 用微分近似表示函數(shù)的公式？。 二、新課 1．導(dǎo)入：用多項式近似表示函數(shù)的理論意義和實際意義及其可能性。 2．泰勒公式。 定義 若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù) ， 稱為在的次泰勒多項式。 定理1（泰勒定理） 若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù)，則，有 其中 分析：證等于證明，它是一個“”型極限，可考慮用洛比達(dá)法則計算此極限。 證明： 當(dāng)時，都是無窮小，由洛比達(dá)法則及導(dǎo)數(shù)的定義，有 （證畢） 特別地，當(dāng)時，有 稱為馬克勞林公式。 3．例題與練習(xí) 例1 將展成馬克勞林公式。 例2 將展成馬克勞林公式。 練習(xí)1 將在展成泰勒公式。 2 用無窮小替換求。 4．總結(jié) 注意展成泰勒公式的條件，注意幾個基本初等函數(shù)的馬克勞林公式中項的規(guī)律性。 三、作業(yè) P234 1．（1）（3） P235 5． 6． 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：不定積分的分部積分法 教者：韓 超 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握用分部積分的方法求某些函數(shù)的不定積分 教學(xué)重點：分部積分公式 教學(xué)難點：分部積分的應(yīng)用 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、復(fù)習(xí)與提問 1．不定積分的概念？ 2．不定積分與原函數(shù)的關(guān)系？ 3．換元法能否計算所有函數(shù)的不定積分？考慮 二、新課 1．導(dǎo)入 形如，，等積分需考慮新的積分法。 2．不定積分的分部積分法 定理（分部積分公式） 若函數(shù)，在區(qū)間I上可微，則有 稱之為分部積分公式。 證法：應(yīng)用不定積分的法則及不定積分的定義證明公式成立。 證明：已知，都是的可導(dǎo)函數(shù)，由乘積函數(shù)的求導(dǎo)法則，有 或 因此 （證畢） 3．例題與練習(xí) 不定積分的分部積分法適于被積函數(shù)為下列函數(shù)的不定積分： ，，， 等，積分的方法是將其中的某一個函數(shù)恒等移至微分符號后。 例1 求 解 將移至微分符號后，有 問題（提問）：在例1中為什么不將移至微分符號后變？ 例2 求 解 由分部積分公式有 例3 求 解 將微分符號后的看成一個函數(shù)，由分部積分公式有 練習(xí)：求下列不定積分 （1） （2） （3） 4．總結(jié) 在應(yīng)用分部積分公式計算不定積分時，要注意微分公式的恒等變形。 三、作業(yè) PP195 1．（1）—（6） 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：定積分基本公式 教者：韓 超 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握定積分基本公式，并能利用定積分基本公式計算定積分 教學(xué)重點：定積分基本公式（牛頓—萊布尼茲公式） 教學(xué)難點：定積分基本公式的證明 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、復(fù)習(xí)與提問 1．什么是原函數(shù)？ 2．定積分的值與哪些因素有關(guān)？ 二、新課 1．導(dǎo)入 用定積分定義求定積分沒有實際意義，需要研究定積分計算的新途徑。 2．定積分基本公式（牛頓—萊布尼茲公式） 定理1 若函數(shù)在上連續(xù)，是的原函數(shù)，則 稱之為定積分的基本公式，亦稱牛頓—萊布尼茲公式。 證明 已知是的原函數(shù)，即，有 已知積分上限函數(shù)也是的原函數(shù)，即 所以 －= （為常數(shù)） 令，有 －= 但=0，知，所以 （證畢） 定積分基本公式是用被積函數(shù)的原函數(shù)在區(qū)間端點（邊界）的值表示定積分，給定積分的計算提供了一個實用的計算方法，牛頓—萊布尼茲公式也表為 3．例題與練習(xí) 例1 求。 解 已知，所以 例2 求。 解 已知，所以 練習(xí)1 求 練習(xí)2 求 4．總結(jié) 應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式計算定積分的關(guān)鍵問題是解決被積函數(shù)的原函數(shù)問題，因此熟練地掌握不定積分的計算方法是十分必要的。 三、作業(yè)：P361 2．（1）—（6） 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：不定積分 教者：韓 超 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握不定積分的概念及基本積分公式 教學(xué)重點：不定積分的概念 教學(xué)難點：不定積分的微分、導(dǎo)函數(shù)的不定積分 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、復(fù)習(xí)與提問 1．已知函數(shù)可導(dǎo)，試表述微分的概念及微分公式。 2．的充要條件是什么？ 二、新課 1．導(dǎo)入 例1 已知，求，使。 2．不定積分 定義（原函數(shù)） 設(shè)函數(shù)工區(qū)間上有定義，存在函數(shù)，若，有 則稱是在區(qū)間上的原函數(shù)，或簡稱是的原函數(shù)。 定義（不定積分） 函數(shù)的所有原函數(shù)稱為函數(shù)的不定積分，表為 （） 其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，為積分常數(shù)。 例2 求。 解 因為，所以 不定積分的基本性質(zhì) （1） （2） （3） （為常數(shù)） （4） 不定積分的基本積分公式 （1） （2） （） （3） （） （4） （5） （6） （7） 3．例題與練習(xí) 例3 求下列不定積分 （1） （2） 練習(xí)：求不定積分 （1） （2） 4．總結(jié) 求不定積分關(guān)鍵是要熟悉導(dǎo)數(shù)公式從而可以掌握積分公式，并利用積分運算法則求不定積分。 三、作業(yè) P280 1．（1）—（8） 2．（2）（3） 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：二元函數(shù)的連續(xù)性 教者：王繼成 教學(xué)目的：掌握二元函數(shù)連續(xù)的定義，理解多元函數(shù)的性質(zhì) 教學(xué)重點：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)難點：一致連續(xù)性 教 學(xué) 內(nèi) 容 仿照一元函數(shù)連續(xù)的定義，給出二元函數(shù)連續(xù)的定義。 定義：設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義，且。 若，即，，：||||，有，則稱二元函數(shù)在連續(xù)。 若二元函數(shù)在不連續(xù)，則稱是二元函數(shù)的間斷點。 定義：若二元函數(shù)在區(qū)域D任意點都連續(xù)，則稱二元函數(shù)在區(qū)域 D連續(xù)。 注：二元函數(shù)在點連續(xù)是， 即，，：，，有。 如：在（2，1）連續(xù) 定理2 若二元函數(shù)與在點連續(xù)，則、、在點都連續(xù)。 由上冊一元函數(shù)微分學(xué)知，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有四個重要性質(zhì)，這些性質(zhì)也可推廣到有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)上來。 定理3：（有界性） 若函數(shù)在有界閉區(qū)域連續(xù)，則函數(shù)在D有界。 即，有。 定理4：若函數(shù)在有界閉區(qū)域 D連續(xù)，則函數(shù)在取到最小值與最大值M。 即、，使，，且，有 定理5：（介值性） 若二元函數(shù)在有界閉區(qū)域連續(xù)，且與分別是函數(shù)在D的最小值與最大值，是與之間的任意數(shù)（），則，有。 定義：設(shè)在區(qū)域有定義，若，：，有 則稱函數(shù)在D一致連續(xù)。 定理6：（一致連續(xù)性） 若函數(shù)在有界閉區(qū)域連續(xù)，則函數(shù)在D一致連續(xù)。 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：二元函數(shù)的極限 教者：王繼成 教學(xué)目的：熟練書寫二元函數(shù)的極限定義，弄清二重極限與累次極限的關(guān)系 教學(xué)重點：二重極限的概念 教學(xué)難點：用定義證明二重極限 提問：一元函數(shù)的極限定義？ 在此基礎(chǔ)上抽象出二元函數(shù)的極限。 定義：設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義，是D的聚點。 若（或）有，則稱函數(shù)在點存在極限，極限是A。 表為 。 注：如果二元函數(shù)用坐標(biāo)表示，即，那么二元函數(shù)在點的極限是A就是： ， 且，有 也表為 這個極限也之叫做二重極限。 舉例 例1 證明： 引導(dǎo)學(xué)生由定義一起證明。 講清限定條件取的方法。 例2 證明：函數(shù) 在原點仍然存在極限。 但必須要指出：在二重極限的定義中，動點在中趨向于點與一 元函數(shù)的自變量在數(shù)軸上的變化不同，它可以在區(qū)域內(nèi)沿著不同的道路（如曲線或直線）和不同的方式（連續(xù)或離散等）從四面八方趨近于點，二元函數(shù)在點的極限都是A，反之：動點沿著某兩條不同的曲線（或點到）無限趨近于點，二元函數(shù)有不同的“極限”，則二元函數(shù)在點不存在極限。 例3 證明：函數(shù)在原點不存在極限。 分析：如何選擇兩條不同的路線，推而廣之。 二元函數(shù)也有各種類型點趨于無窮點的極限和無窮大，逐一討論其形式和種類。 下面僅列舉其中兩例： 與 ： 與 有 ： 與，有 二元函數(shù)還有一種極限 定義：若當(dāng)時（看作常數(shù)），函數(shù)存在極限， 設(shè) 當(dāng)時，也存在極限。 設(shè) 則稱B是函數(shù)在點的累次極限。 問題：二重極限與累次極限的關(guān)系？ 由教師引導(dǎo)穿插實例介紹相關(guān)一些內(nèi)容。 思考： 1．當(dāng)動點沿著任意一條直線無限趨近于點時，函數(shù)存在極限，且相等，能否說函數(shù)在點存在（二重）極限？為什么？ 2．怎樣判別二元函數(shù)在點不存在極限。 作業(yè)：P153 1．（1）（3） 3． 5． 反饋： 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：同號級數(shù) 教者：王繼成 教學(xué)目的：掌握同號級數(shù)定義，會判定正項級數(shù)的斂散性 教學(xué)重點：正項級數(shù)的比較判別法 教學(xué)難點：正項級數(shù)判別法的理論基礎(chǔ) 問題：什么是同號級數(shù)？它包括哪兩類？ 定義：同號級數(shù)是指級數(shù)的每一項的符號都是非負(fù)或都是非正。 若稱級數(shù)是正項級數(shù)。 若稱級數(shù)是負(fù)項級數(shù)。 根據(jù)數(shù)列極限存在的單調(diào)有界原理，不難得到正項級數(shù)收斂性的定理。 定理5 正項級數(shù)收斂 它的部分和數(shù)列有上界。 例5 證明：正項級數(shù) 是收斂的 定理6（比較判別法） 有兩個正項級數(shù)與，且，有（C是正常數(shù)） （1）若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂。 （2）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。 討論： 正項級數(shù)的斂散性。 此級數(shù)稱為廣義調(diào)和級數(shù)/P一級數(shù)。 例6 判別下列正項級數(shù)的斂散性 （1） （2） （由學(xué)生自己完成） 定理7（柯西判別法）有正項級數(shù) （1）若，有 （常數(shù)）<1 則級數(shù)收斂。 （2）若存在無限個，有，則級數(shù)發(fā)散。 例7 判別下列正項級數(shù)的斂散性： （1） （2） （3） （找學(xué)生到黑板上做） 定理8（達(dá)朗貝爾判別法） 有正項級數(shù) （1）若，有 （常數(shù)）<1 則級數(shù)收斂。 （2）若，有 則級數(shù)發(fā)散。 例8 判別下列正項級數(shù)的斂散性： （1） （2） （3） 思考： 1．正項（同號）級數(shù)有哪些斂散性的判別法？它的理論基礎(chǔ)是什么？判別法之間有什么關(guān)系？ 2．何謂一個收斂正項級數(shù)比另一個收斂快，正項級數(shù)收斂的較慢？是否存在收斂最快的正項級數(shù)？ 作業(yè)： P31 1．（1）（3）（5）（7） 3． 5． 反饋： 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：數(shù)值級數(shù)收斂與發(fā)散的概念 教者：王繼成 教學(xué)目的：掌握級數(shù)收斂與發(fā)散的概念，能熟練地應(yīng)用幾種常用的判別法 教學(xué)重點：級數(shù)收斂的概念 教學(xué)難點：數(shù)列與數(shù)值級數(shù)的轉(zhuǎn)化 問題：在實際中存在著無限和嗎？若存在，如何計算呢？ 定義1 對于無窮數(shù)列，將各項依次用加號連接起來，即稱為數(shù)值級數(shù)，簡稱級數(shù)。 其中稱為級數(shù)的第項或通項。 可見，級數(shù)是無限的，我們只會計算有限個數(shù)的和，不僅不會計算無限個數(shù)的和，甚至都不知道何謂無限多個數(shù)的和。 因此，無限多個數(shù)的和是一個未知的新概念，這個新概念也不是孤立的，它與我們已知的有限個數(shù)的和聯(lián)系著。 定義2 若級數(shù)的部分和數(shù)列收斂（） 設(shè) 或 ，則稱級數(shù)收斂，S是其和。 表為： 定義3 若級數(shù)收斂，其和是S，則表為，即 稱為收斂級數(shù)的項余和，簡稱余和。 顯然：級數(shù)收斂總有 討論：級數(shù)的斂散性是否可歸結(jié)為數(shù)列的斂散性？教師應(yīng)借助級數(shù)定義引導(dǎo)學(xué)生回答問題。 思考：為什么要學(xué)習(xí)級數(shù)？ 前八章，所討論的函數(shù)主要是初等函數(shù)，雖然初等函數(shù)能夠描述許多自然現(xiàn)象和工程技術(shù)中的客觀規(guī)律，但是，只有初等函數(shù)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足描述客觀規(guī)律的需要，為了使數(shù)學(xué)分析的討論的函數(shù)能廣泛地服務(wù)于科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)理論本身，人們借助于極限、函數(shù)方程、微分方程等工具表述了更多的非初等函數(shù)，函數(shù)級數(shù)就是表述非初等函數(shù)的一個重要工具。 舉例： 例1 討論幾何級數(shù)的斂散性，其中，是公比。 要求學(xué)生會根據(jù)定義解出結(jié)果，記住會用。 例2 證明：級數(shù)收斂，并求其和。 例3 證明：調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。 回顧：由上冊練習(xí)題2．2第19題知 是歐拉常數(shù)，或 即當(dāng)時，調(diào)和級數(shù)的部分和與是等價無窮大，亦即：部分和發(fā)散到正無窮大的速度十分緩慢，與相等。 歐拉曾計算過 作業(yè)：P9 1．（1）（3） 3． 5． 反饋：