數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)

數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20 第十七章 多元函數(shù)微分學(xué) 一．教材說明 多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣和發(fā)展，兩者在概念、理論和研究方法等方面有許多相似之處。在注意它們共性的同時(shí)，特別要注意特性——多元性。課本上著重討論二元函數(shù)的情況，對二元以上的情況也有類似的結(jié)果，一般不予以證明。全微分是多元函數(shù)微分學(xué)的基本概念，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的主要運(yùn)算。多元函數(shù)極值的討論是多元函數(shù)微分學(xué)的重要應(yīng)用. 1．目的與要求 本章的教學(xué)目的是： （1）理解多元函數(shù)微分學(xué)的概念，特別應(yīng)掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、連續(xù)及偏導(dǎo)存在、偏導(dǎo)連續(xù)等之間的關(guān)系； （2）掌握多元函數(shù)特別是二元函數(shù)可微性及其應(yīng)用. 本章的教學(xué)要求是： （1）理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、梯度等概念。弄清可微、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系； （2）熟練掌握求偏導(dǎo)數(shù)，特別是復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算； （3）會求空間曲線的切線方程、法平面方程；空間曲面的切平面方程，法線方程； （4）掌握泰勒公式的意義和用途，并能寫出簡單二元函數(shù)的泰勒公式或馬克勞林公式； （5）掌握求二元函數(shù)的局部極值和最大（?。┲档姆椒?，并能解決一些簡單的應(yīng)用問題。 2．重點(diǎn)與難點(diǎn) 本章的重點(diǎn)是全微分的概念、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及應(yīng)用. 難點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及二元函數(shù)的泰勒公式. §17.1 可微性 第28次課 教學(xué)內(nèi)容：可微性 目的要求：掌握可微性、全微分、偏導(dǎo)數(shù)的概念，理解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并學(xué)會求二元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù). 一．可微性與全微分 一元函數(shù)的可微性：在有定義，，稱在可微，為在的微分，記，后有，。 定義1. 設(shè)在點(diǎn)某鄰域有定義， ，若在點(diǎn)的全增量可表為 （） （1） 則稱在點(diǎn)可微，并稱為在點(diǎn)的全微分，記作 可見：1°是、的線性函數(shù)； 2°，，： 3°（1）式常寫作：， （） 因?yàn)? 4°在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)必連續(xù)。 例1．考察在點(diǎn)的可微性。 解：由于 而 即 ，故在可微，且 二．偏導(dǎo)數(shù) 1．問題的引出 若在可微，則 令（），則 （一元函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)） 類似的 2．偏導(dǎo)數(shù)概念 定義 設(shè)，，若，在某鄰域有定義，且存在 稱此極限為在點(diǎn)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記為 或 即 同樣 注：1°這里符號、是專用于偏導(dǎo)數(shù)的算符，與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號相仿，但有又差別； 2°在上述定義中，在點(diǎn)存在關(guān)于（或）的偏導(dǎo)數(shù)，至少在 （或 ） 上必須有意義。 若在都存在對（或?qū)Γ┑钠珜?dǎo)數(shù)，則得在上對（或?qū)Γ┑钠珜?dǎo)函數(shù)，記作 ，，， （，，，） 即 3．偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)（）為曲面上一點(diǎn)，是一元函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)，即為曲線 （平面與曲面的交線） 在點(diǎn)處的切線對軸的斜率（與軸正向所成傾角的正切值） 例2－4（P142－143）略 例5．求 在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)。 解： 可見：偏導(dǎo)數(shù)與函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系為：函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)處不一定存在偏導(dǎo)數(shù)，存在偏導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)函數(shù)不一定連續(xù)。 作業(yè)：P152. T1(4)(6)(10) T2. T3. T4 §17.1 可微性 第29次課 教學(xué)內(nèi)容：可微性（續(xù)）——可微性的條件 目的要求：掌握二元函數(shù)可微的必要條件、充分條件和一個(gè)中值定理，重點(diǎn)弄清可微、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系. 三．可微性條件 1．可微的必要條件 定理1 若在其定義域內(nèi)點(diǎn)處可微，則，均存在且在的微分公式中 ， 證明見前面“二. 1（問題的提出）”。 注：若在可微，則全微分 若在區(qū)域可微，則 例1．考察 在原點(diǎn)的可微性。 解： 若在可微，則 而 則由 令知其不存在，故在不可微。 2．可微的充分條件 若的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)某鄰域存在，且在點(diǎn)連續(xù)，則在可微。 證：應(yīng)用一元函數(shù)的拉格朗日中值定理有 （） （其中，，）因?yàn)?，在連續(xù) 故在可微。 如：i）在 由于，在連續(xù)，故在可微，且 ii）在 ，在連續(xù)，從而在可微。 注：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微，但反之不成立。 反例： 在可微，但，在卻不連續(xù)。 原因：i）易求得，，有 （） 即在可微； ii），有 由 知不存在，故在不連續(xù)。 同理在不連續(xù)。 3．二元函數(shù)的一個(gè)中值公式 定理3 設(shè)在點(diǎn)某鄰域存在偏導(dǎo)數(shù)，若屬于該鄰域，則存在 ，， 使得 。 證：由即可證。 小結(jié)幾個(gè)概念的關(guān)系： 反例：①②：在 ③：在 ④：在 ⑤： 作業(yè)：P152-153. T5, 6, T8(2). T9(2) §17.1 可微性 第30次課 教學(xué)內(nèi)容：可微性（續(xù)）——可微性的幾何意義及其應(yīng)用 目的要求：理解二元函數(shù)可微性的幾何意義，會求空間曲線的切線方程、法平面方程；空間曲面的切平面方程，法線方程，并掌握用二元函數(shù)的可微性進(jìn)行近似計(jì)算和誤差估計(jì)的方法. 四．可微性的幾何意義與應(yīng)用 1．曲面的切平面 平面曲線在其上點(diǎn)的切線定義： （或） 曲面在點(diǎn)的切平面定義： 若當(dāng)在上以任何方式趨于時(shí)，恒有，則稱平面為在點(diǎn)處的切平面，為切點(diǎn) 2．可微性的幾何意義 定理4. 曲面：在點(diǎn)存在不平行于軸的切平面在點(diǎn)可微。 證：“”若在點(diǎn)可微，則 （） 考察過點(diǎn)的平面： 上任一點(diǎn)到平面的距離： 而到的距離： 于是由 （） 即為在點(diǎn)的切平面。 “”略（見課本P148）。▌ 可見：若在可微，則曲面：在點(diǎn)處的切平面方程為 過切點(diǎn)與切平面垂直的直線稱為曲面在點(diǎn)的法線。故在點(diǎn)的法線方程為： 例1．（P150例6）略 3．可微的應(yīng)用：近似計(jì)算與誤差估計(jì) 若在可微，則 或 例2．求的近似值。 解：設(shè)，則，。 由，令，，，，有 。 例3．應(yīng)用公式計(jì)算某三角形面積，線測得，，，若測量，的誤差為，的誤差為，求用此公式計(jì)算三角形面積時(shí)的絕對誤差與相對誤差。 解：已知測量中，，的絕對誤差分別為： ，， 由此計(jì)算三角形面積絕對誤差為： 又 所以計(jì)算面積的相對誤差為 ％。 例4．（P153.T15）證明：若二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的偏導(dǎo)函數(shù)，有界，則在內(nèi)連續(xù)。 證：已知，在有界，即，有，。 ， （） （） 即，故在內(nèi)連續(xù)。▌ 作業(yè)：P153. T10. T12. T13(2) §17.2 復(fù)合函數(shù)微分法 第31次課 教學(xué)內(nèi)容：復(fù)合函數(shù)微分法 目的要求：熟練掌握求偏導(dǎo)數(shù)，特別是復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，理解并掌握多元函數(shù)的一階微分形式不變性，會求復(fù)合函數(shù)的全微分. 多重復(fù)合函數(shù)的概念： ，， （內(nèi)函數(shù)） ， （外函數(shù)） 且 則得 ， 一．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理5. 若，在點(diǎn)可微，在點(diǎn) 可微，則 在點(diǎn)可微，且它關(guān)于與的偏導(dǎo)數(shù)分別為： ——————鏈?zhǔn)椒▌t 證：由，在點(diǎn)可微，則 又由在點(diǎn)可微，則 （） 其中，（補(bǔ)充定義時(shí)，） 由上： ………① 其中 ………② 由，在點(diǎn)可微，知其在點(diǎn)連續(xù)，即，有，從而也有，及，由①，②可知在點(diǎn)可微且其偏導(dǎo)數(shù)即為所給的公式。 ▌ 注：1°上述定理中，若只要求在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，則只需，具有的偏導(dǎo)數(shù)即可，但外函數(shù)在點(diǎn)可微條件不可少。（由（）式，除以，，令即可得證） 2°上述定理可推廣至三元及以上復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題。 例1．設(shè)，，，求， 解： 例2．（P157例2. 略） 例3．設(shè)，，，求 解： 例4．（P160. T1(6)）設(shè)，求，， 解：設(shè)，，，則 例5（158例4）用多元復(fù)合函數(shù)微分法計(jì)算下列一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（略） 二．復(fù)合函數(shù)的全微分 i）若以，為自變量的函數(shù)可微，則 ii）若，作為中間變量關(guān)于自變量，可微 ， 則復(fù)合函數(shù)可微，且 即若在可微，無論，為自變量還是中間變量，總成立 稱此性質(zhì)為多元函數(shù)的一階（全）微分形式不變性。 例5．設(shè)，利用微分形式不變性求，并由此導(dǎo)出， 解：令，，，由于 ， 故 由此得 ※習(xí)題選講 ①（P161. T6）證明：可微函數(shù)為次齊次函數(shù) 證：“”由已知，（），令，，，兩邊對求導(dǎo)得 令，即得 “”設(shè)（），令，，，該式子兩端對求導(dǎo)得 由已知得 即僅是的函數(shù)，設(shè) 令得 ，故得 。 ▌ ②（P161. T7）設(shè)（），證明： （1） （2） 證：（1）由，令得 （2）對，令，，，該式兩端對求導(dǎo)得 令即得 。 ▌ 作業(yè)：P160-161. T1(1)(3)(4)(5) T2. T3. T5. §17.3 方向?qū)?shù)與梯度 第32次課 教學(xué)內(nèi)容：方向?qū)?shù)與梯度 目的要求：掌握方向?qū)?shù)與梯度的概念，會求二元函數(shù)在某方向上的方向?qū)?shù)與梯度. 討論多元函數(shù)在某方向上的變化率. 定義1 設(shè)三元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，為從點(diǎn)出發(fā)的射線，為上且含于的任一點(diǎn)，以表示與的距離，若極限 存在，則稱此極限為在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，記作 ，或 可見：若在點(diǎn)存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，則 沿軸正向： 沿軸負(fù)向： 定理6. 若在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)處沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在，且 其中，，為方向的方向余弦. 證：設(shè)為上任一點(diǎn)，則 ， ， 由于在點(diǎn)可微，則 從而 （） 即 . ▌ 注：函數(shù)在一點(diǎn)可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件而非必要條件. 見例2. 例1．（P163例1）略 例2．設(shè) 討論在原點(diǎn)的可微性與過原點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù). 解：（1）由于 ， ， 故不存在. 則在不連續(xù)，從而也不可微. （2）在始于原點(diǎn)的任何射線上，都存在包含原點(diǎn)的充分小的一段，在其上，故在原點(diǎn)沿任何方向都有 . 定義2. 若在點(diǎn)存在對所有自變量的偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量 為在點(diǎn)的梯度，記作 且 . 若在點(diǎn)可微，自出發(fā)的方向上單位向量，則 ， 可見：最大值為，即在點(diǎn)梯度方向是的值增長最快的方向；最小值為. 例3．（P165. 例3）略 補(bǔ)充例題P165-166 T4. T9. T10. 作業(yè)：P165-166. T1. 3. 5. 7. §17.4 泰勒公式與極值問題 第33次課 教學(xué)內(nèi)容：高階偏導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 目的要求：會求多元函數(shù)（特別是二元函數(shù)）的高階偏導(dǎo)數(shù)，理解并掌握混合偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)次序可交換的一個(gè)充分條件，學(xué)會求復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù). 一．高階偏導(dǎo)數(shù) 1．若的偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于與的偏導(dǎo)數(shù)存在，則說明函數(shù)具有二階偏導(dǎo)數(shù). 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有如下四種情形： 混合偏導(dǎo)數(shù) 類似的： …………………………………… 注：多元函數(shù)的不同順序的混合偏導(dǎo)數(shù)不一定相等. 如：討論 的，. 分析：， 為此，當(dāng)時(shí) 即 同樣可得 從而 由此看到，這里的在原點(diǎn)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān)，那么，在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)呢？下述定理給出了一個(gè)與求導(dǎo)順序無關(guān)的一個(gè)充分條件. 定理7. 若和都在點(diǎn)連續(xù)，則. 證：令 則 （由于存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，則可導(dǎo)）由一元函數(shù)拉格朗日中值定理有 （） （） …（*） （因?yàn)榇嬖趯Φ钠珜?dǎo)數(shù)） 若令 則 類似的可推得 （） …（*’） 當(dāng)不為零時(shí)，由（*）、（*’）兩式得到 （） 由和都在點(diǎn)連續(xù)，令，即得 ▌ 注：上述定理對元函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)也成立. 2．討論復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)，，，則函數(shù)，，都具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù). ， 同理有 例3．（P171.例3 略） 補(bǔ)例（P183. T3） 作業(yè)：P183-184. T1(2)(3)(6)(7). T2. T14 §17.4 泰勒公式與極值問題 第34次課 教學(xué)內(nèi)容：中值定理、泰勒公式與極值問題 目的要求：掌握泰勒公式的意義和用途，并能寫出簡單二元函數(shù)的泰勒公式或馬克勞林公式；理解并掌握極值的必要條件和充分條件. 二．中值定理和泰勒公式 1．凸區(qū)域：區(qū)域中任意兩點(diǎn)的連線含于. 即：為凸區(qū)域，，有 2．中值定理 定理8. 設(shè)在凸區(qū)域上連續(xù)，在的所有內(nèi)點(diǎn)都可微，則，，，s. t. 證：令，. 由已知知在連續(xù)，在可微，由一元函數(shù)中值定理，，s. t. 而由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知 由于為凸區(qū)域，所以*，故得證. ▌ 注：對滿足下述條件的閉凸域，定理也成立： ，，有 如：，在連續(xù)，在可微，滿足定理； ，不滿足定理，因?yàn)椴粷M足上述“*”部分 推論. 若在區(qū)域上存在偏導(dǎo)數(shù)，且，則在上為常量函數(shù). 3．泰勒公式（一元函數(shù)泰勒公式對應(yīng)的推廣） 定理9（泰勒定理）若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對，，s. t. 上式稱為二元函數(shù)在點(diǎn)的階泰勒公式. 其中 . 證：（與定理8的證明一樣）令，，則在滿足一元函數(shù)泰勒定理?xiàng)l件，從而 ， 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有： ，， ………… 則 ， 由上即得證. ▌ 可見：凸域上中值公式是泰勒公式在時(shí)的特殊情形. 注：若在存在直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ， 例4．（P175.例4）略 三．極值問題 1．定義 設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義. 若對，成立 （或 ） 則稱在點(diǎn)取得極大（或極?。┲担c(diǎn)稱為的極大（?。c(diǎn). 例5．（橢圓拋物面），是的極小點(diǎn). （半球面），是的極大點(diǎn). （馬鞍面），非的極值點(diǎn) 可見： 在點(diǎn)取極值不妨設(shè)為極大值，則 ，有 2．極值必要條件 定理10. 若在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)取得極值，則有 ， （Δ） 反之，若函數(shù)在點(diǎn)滿足（Δ），則稱點(diǎn)為的穩(wěn)定點(diǎn). 注：1°若存在偏導(dǎo)數(shù)，則極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)，但穩(wěn)定點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn). 如：在 2°在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能取極值. 如；在無偏導(dǎo)數(shù)，但為極小點(diǎn). §17.4 泰勒公式與極值問題 第35次課 教學(xué)內(nèi)容：極值問題（續(xù)），區(qū)域上的最值問題 目的要求：理解并掌握極值的充分條件. 會判別二元函數(shù)在某點(diǎn)是否取得極值，并會求解二元函數(shù)的極值點(diǎn)；學(xué)會求解某區(qū)域上函數(shù)的最值. 3．極值充分條件 為了討論二元函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充分條件，我們假定具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并記 它稱為在點(diǎn)的海賽（Hesse）矩陣. 定理11. 設(shè)在點(diǎn)的某鄰域具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且是的穩(wěn)定點(diǎn)，記為在點(diǎn)的海賽（Hesse）矩陣，則 （i）時(shí)，為的極值點(diǎn)，且為 （ii）時(shí)，非的極值點(diǎn) （iii）時(shí)，不能判定. 證：由泰勒公式，并由有 （） 由于的二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，所以 其中為，時(shí)的無窮小量，于是 其中是比（）高階無窮小量. 故當(dāng)，充分小時(shí)，的符號取決于 不同時(shí)為0，不妨設(shè)，則 則 1) ，與符號相同，為的極值點(diǎn)； 2），符號有正有負(fù)，非的極值點(diǎn)； 3），情況不明，如例5. 可見：求可微的二元函數(shù)的極值的步驟： 求偏導(dǎo)數(shù)解穩(wěn)定點(diǎn) 符號判定. P179. 例6. 例7. 例8．討論在原點(diǎn)是否取得極值. 解：由得的唯一穩(wěn)定點(diǎn)為， 又，，，則，故由定理無法判定是否為的極值點(diǎn). 由于當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，故不在原點(diǎn)取得極值. 4．在區(qū)域的最值 考察在所有穩(wěn)定點(diǎn)，無偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)及屬于區(qū)域的界點(diǎn)上的函數(shù)值. 方法類似于一元函數(shù)求最值的方法. P180. 例9 略 最小二乘法 設(shè)通過觀測或?qū)嶒?yàn)得到一列點(diǎn)（一組數(shù)據(jù)），，現(xiàn)用一條直線的方程（一元線性回歸函數(shù)）取反映變量與之間的對應(yīng)關(guān)系，試確定該直線，使它與個(gè)點(diǎn)的偏差平方和最小. 設(shè)所求直線方程為 令 以下確定，使最小. 由 即 解得： 又 ，， 則 故在取極小值，由偏導(dǎo)數(shù)的處處存在性知為的最小值. 例（184.T9(1)）求函數(shù)在指定范圍內(nèi)的最值. ， 解：，，即函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)均存在. 由得穩(wěn)定點(diǎn)，且. 函數(shù)定義區(qū)域的邊界為，在邊界上： 由得，此時(shí)，且； 在邊界上：，由得，此時(shí)，且； 比較函數(shù)在以上各點(diǎn)的值知函數(shù)在取得最大值，在取得最小值. 作業(yè)：P183-184. T7(3). T8(1). T9(2). T12 — 138 —