數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20
第十一章 定積分的應(yīng)用
教材說明
本章實質(zhì)上是上一章的內(nèi)容在實際問題這的應(yīng)用。分為兩大部分：一是在數(shù)學(xué)問題上的應(yīng)用；二是在物理學(xué)方面的應(yīng)用。定積分解決實際問題的方法一般可分為兩種：一般方法是根據(jù)定積分的定義利用分割、近似求和、取極限這三個步驟來導(dǎo)出所要求量的積分表達(dá)式。另一個方法是“微元法”。
1．目的與要求
本章的教學(xué)目的是：
（1）通過講解使學(xué)生在理解定積分的基礎(chǔ)上掌握平面圖形的面積的計算方法；
（2）理解并掌握由截面面積函數(shù)求空間立體體積的計算方法；
（3）理解并掌握曲線弧長的計算方法；
（4）理解并掌握用微元法求旋轉(zhuǎn)曲面面積的方法；
（5）掌握定積分在物理學(xué)上的某些應(yīng)用。
本章的教學(xué)要求是：
（1）使學(xué)生掌握由連續(xù)曲線所圍成的平面圖形的直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系下的面積計算方法；
（2）理解并掌握由截面面積函數(shù)求空間立體體積的計算公式的應(yīng)用；
（3）掌握曲線弧長的參數(shù)表達(dá)式和直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)的各種表達(dá)形式及其計算方法；
（4）理解并掌握利用微元法計算旋轉(zhuǎn)曲面的面積；
（5）掌握定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用。
2．重點與難點
本章的重點是面積、弧長的計算、微元法。難點是微元法的理解和應(yīng)用。
§1 平面圖形的面積
第48次課
教學(xué)內(nèi)容：平面圖形的面積
目的要求：掌握由連續(xù)曲線所圍成的平面圖形的直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系下的面積計算方法
教學(xué)過程：
上一章開頭我們已經(jīng)討論了由連續(xù)曲線，以及直線和軸所圍的曲邊梯形面積為
若在上不都是非負(fù)的，則所圍的面積為
。 （1）
一般地，由兩條連續(xù)曲線，，及直線所圍的平面圖形（如下左圖），它的面積計算公式是：
。 （2）
例1 求拋物線與直線所圍的平面圖形的面積（如上右圖）。
解 先求出拋物線與直線的交點與，如上右圖所示把所求面積的平面圖形分成兩部分，應(yīng)用公式（2）分別求得它們的面積：
，
。
所以。 ▌
本題也可把拋物線與直線方程寫成
，，
這時只須在上對求積分便得：
。
若平面曲線由參數(shù)方程表示：
且在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，（對于，或的情形也可仿照討論）。記，則由曲線及直線和軸所圍的平面圖形面向的計算公式為
。 （3）
例2 求由擺線的一拱與軸所圍的平面如下面積（如右圖）。
解 當(dāng)時。故當(dāng)由變到時，曲線正好成一拱，所以
。 ▌
若包圍平面圖形的曲線由極坐標(biāo)方程
給出，其中在上連續(xù)，。由曲線與兩條射線所圍成的平面圖形通常稱為扇形（如右圖所示）。試求扇形的面積。
為此，在區(qū)間上任取個值，并記，此時有
這便得到的一個分割，它與直角坐標(biāo)系所不同的是，是條射線，它把平面圖形分成個小扇形（如下左圖所示）。由于是上的連續(xù)函數(shù)，所以每個小扇形都近似于圓弧小扇形。例如，第個小扇形近似于以為半徑，為圓心角的圓弧小扇形，于是
的面積≈。
從而 。
以表示分割的細(xì)度，即表示這個小扇形中最大的圓心角。由定積分定義及連續(xù)函數(shù)的可積性，當(dāng)時，上式右端和式的極限存在，且
。 （4）
例3 求雙紐線（如上右圖所示）所圍的平面圖形的面積。
解 因為，故的取值范圍是與。由圖形的對稱性及公式（4），得到
。 ▌
補(bǔ)例1（）求三葉形曲線所圍圖形的面積。
解 如右圖所示，所求的面積為
。 ▌
補(bǔ)例2（）求由與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積。
解 曲線與軸交點為，與軸交點為，，所以所求面積為
。
補(bǔ)例3（）求曲線與所圍圖形的面積。
解 如右圖所示，所求圖形的面積為
補(bǔ)例4（）求橢圓與所圍公共部分的面積。
解 圖形關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱（如下圖所示），故只須求第一象限的圖形的面積。在第一象限那，解得交點為。又根據(jù)對稱性，所求面積，其中
。 ▌
作業(yè)：
§2 由截面面積求立體體積
第49次課
教學(xué)內(nèi)容：由截面面積求立體體積
目的要求：理解并掌握由截面面積函數(shù)求空間立體體積的計算方法與計算公式的應(yīng)用
教學(xué)過程：
設(shè)為空間立體，它夾在垂直于軸的兩平面與之間（設(shè)）。為方便起見，稱為位于上的空間立體。在任意一點處，作垂直于軸的平面，它截得立體的截面面積顯然是的函數(shù)，記為，，并把它叫做空間立體的截面面積函數(shù)（如右圖所示）。
本節(jié)將導(dǎo)出由截面面積函數(shù)求空間立體體積計算公式。
設(shè)是上的一個連續(xù)的截面面積函數(shù)。在內(nèi)任取個分點：
，
這里得到的一個分割。過作垂直于軸的個平面，這些平面把切割稱個薄片。由于在上連續(xù)，因此當(dāng)都很小時，在上變化不大，從而每個薄片都可以用一個薄柱體來近似。例如第個薄片的體積近似于以為底，以為高的柱體體積，即
≈，。
從而所有這些柱體體積之總和必近似于的體積：
≈
并且當(dāng)細(xì)度趨于零時，由定積分定義及在上的連續(xù)性得
。 （1）
例1 證明：底面積為高為的錐體的體積是。
證明 如右圖所示，取錐體的頂點為坐標(biāo)原點，設(shè)過頂點垂直于底面的直線為軸（正方向向下）。設(shè)距頂點為（）的截面的面積為。
由初等幾何知，平行于錐體底面的截面的面積與底面面積之比等于二者分別距頂點距離的平方比，即
或 ，。
是的連續(xù)函數(shù)，則底面積為高為的錐體的體積
。 ▌
例2 求由兩個柱面與所圍的立體體積。
解 如右圖所示為所求立體在第一掛限部分的圖象（占整體的八分之一）。對任一，平面與這部分立體的截面是一個邊長為的正方形，所以。由公式（1）便得
。▌
例3 計算由橢球面所圍立體（橢球）的體積。
解 以平面（）截橢球面時，得橢圓
。
所以截面面積函數(shù)（§1習(xí)題4）。于是
。▌
例4 求橢圓柱面及平面所圍成立體（）（如右圖所示）的體積。
解 如圖所示，為軸上的任意一點，用過點，且垂直于軸的平面截立體，截面是直角三角形。因為點在橢圓上，所以
又因為點在平面上，所以
截面的面積，即直角三角形的面積
于是，此立體的體積
。▌
將區(qū)間的連續(xù)曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到旋轉(zhuǎn)體。，過點作垂直于軸的平面，與旋轉(zhuǎn)體相截，截面是半徑為的圓，其面積是。于是，在的連續(xù)曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積
。 （2）
類似有，將在區(qū)間的連續(xù)曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積
。 （3）
例5 求直線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的錐體體積（如右圖）。
解 應(yīng)用公式（2）
。 ▌
這就是初等數(shù)學(xué)常見的底半徑為的圓錐體積公式。
例6 求由圓（）繞軸一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積。
解 所得到的旋轉(zhuǎn)體是一個圓環(huán)體（如右圖）。由于圓的上半圓與下半圓曲線可分別表示為
，
所以旋轉(zhuǎn)體的截面面積函數(shù)
利用圖形關(guān)于軸的對稱性及公式（1）便有
。 ▌
例7 祖桓定理 “夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。”（見高中《立體幾何》第100頁）
證明：在空間直角坐標(biāo)系中，將兩個平行平面中的一個作為平面，另一個放在平面之上，如右圖。設(shè)兩個平行平面之間的距離是。，過點垂直于軸的平面與這兩個幾何體相截，設(shè)截面的面積分別是與。設(shè)這兩個幾何體的體積分別是與。已知，有＝。于是
＝＝＝，
即兩個幾何體的體積相等。 ▌
高中《立體幾何》正是應(yīng)用祖桓定理給出了棱柱、圓柱、棱錐、圓錐、球的體積公式。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，祖桓定理是不能證明的。為此在那里只好將它作為不證自明的公理。在數(shù)學(xué)分析中，它不是公理，而是極易證明的定理。
作業(yè)：
·173·
收藏
編號：20313630
類型：共享資源
大小：19.50MB
格式：RAR
上傳時間：2021-03-06
25
積分
- 關(guān) 鍵 詞：
-
數(shù)學(xué)分析
全套
教案
附有
答案
謎底
試卷
20
- 資源描述：
-
數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20
展開閱讀全文
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽，若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理，對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
裝配圖網(wǎng)所有資源均是用戶自行上傳分享，僅供網(wǎng)友學(xué)習(xí)交流，未經(jīng)上傳用戶書面授權(quán)，請勿作他用。