數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)

數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20 第二十二章 曲線積分與曲面積分 一．教材說明 定積分與重積分是討論定義在直線段、平面圖形或空間區(qū)域上的函數(shù)的積分問題。本章則是研究定義在曲線段或曲面塊上函數(shù)的積分。因此，我們可以說本章的內(nèi)容是定積分、重積分的一種延拓。而這種延拓僅是函數(shù)的定義域的延拓，它們的計(jì)算仍要化為定積分或二重積分去解決。因此，在學(xué)習(xí)本章時(shí)應(yīng)注意曲線積分與曲面積分是如何轉(zhuǎn)化為定積分或二重積分加以解決的這個(gè)極其關(guān)鍵而又重要的步驟。 1．目的與要求 本章的教學(xué)目的是： （1）理解第一、二型曲線、曲面積分的有關(guān)概念，并掌握其計(jì)算方法，同時(shí)明確它們的關(guān)系； （2）掌握高斯公式與斯托克斯公式。 本章的教學(xué)要求是： （1）理解并掌握第一型曲線、曲面積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算； （2）理解并掌握第二型曲線積分及其性質(zhì)、計(jì)算方法； （3）了解兩類曲線積分之間的聯(lián)系； （4）理解并掌握格林公式及曲線積分與路線的無關(guān)性，并能解決有關(guān)計(jì)算問題； （5）理解并掌握曲面的側(cè)的概念，第二型曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法； （6）了解兩類曲面積分之間的聯(lián)系； （7）理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式，能應(yīng)用它們解決某些計(jì)算問題； 2．重點(diǎn)與難點(diǎn) 本章的重點(diǎn)是曲線積分、曲面積分的概念、計(jì)算和格林公式；難點(diǎn)是第二型曲面積分。 §1 第一型曲線積分與第一型曲面積分 第27次課 教學(xué)內(nèi)容 §1 第一型曲線積分與第一型曲面積分的概念 目的要求 理解并掌握第一型曲線積分與第一型曲面積分的概念和性質(zhì). 教學(xué)過程 一 第一性曲線積分與第一型曲面積分的定義 1．非均勻物質(zhì)曲線的質(zhì)量 設(shè)是平面或空間可求長(zhǎng)的曲線，密度函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)。試計(jì)算物質(zhì)曲線的質(zhì)量。 （1）分割：將分成個(gè)小曲線段 ，在上任取一點(diǎn)，由的連續(xù)性，當(dāng)很小時(shí)，其質(zhì)量近似為（為的長(zhǎng)度） （2）作和：的質(zhì)量可由以下和式近似表示： （3）取極限：記，則定義的質(zhì)量為極限 2．第一型曲線積分的定義 Def 設(shè)是平面或空間的一個(gè)可度量的幾何體，為定義在上的函數(shù)。對(duì)作分割，它把分成個(gè)可度量的小幾何體，其度量記為，分割細(xì)度為，在上任取一點(diǎn)。若存在極限 且的值與分割及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱可積，極限為在上的積分，記作 ⑴ 注意：1°若為平面上的曲線段，則為二元函數(shù)；若是空間中的曲線段，則為三元函數(shù)。這時(shí)通稱⑴為在上的第一型曲線積分，特別記做 或 這里為曲線的弧微分。 2°若為空間曲面塊，則稱⑴為在上的第一型曲線積分，特別記做 我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)是直線段時(shí)，⑴式就是定積分；當(dāng)為平面區(qū)域時(shí)，⑴式就是二重積分；當(dāng)時(shí)三維空間區(qū)域時(shí)，⑴式就是三重積分。因此我們可以說，定積分是第一型曲線積分的一個(gè)特例；二重積分是第一型曲面積分的一個(gè)特例。這里我們用在上的積分把定積分和多重積分統(tǒng)一起來了。 二 第一性曲線積分與第一型曲面積分的性質(zhì) 我們可以把定積分、二重積分、三重積分和上面的定義放到一起來比較一下，我們發(fā)現(xiàn)，除了函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)和定義的點(diǎn)集之外，其它的地方都相同。因此它們從數(shù)學(xué)本質(zhì)上講是相通的。也是相同的。因此我們前面所學(xué)習(xí)的定積分和二重積分的性質(zhì)，可以很方便的遞推到這里的第一型曲線積分和第一型曲面積分。第一型曲線積分與第一型曲面積分的可積條件也可以由定積分的可積條件類似的給出，我們這里就不再重復(fù)。同樣的，我們還可以得到這樣的性質(zhì)：若為可度量幾何體上的連續(xù)函數(shù)，則在上可積。此外，還有下述一些重要性質(zhì)，其中都是相應(yīng)空間指可度量的幾何體，是上的可積函數(shù)。 1．（線性運(yùn)算法則）若在上可積，為常數(shù)，則在上可積，且 （注意：這里不能推廣為無窮求和，即必須是有限數(shù)） 2．（積分區(qū)域的可加性）設(shè)可被劃分成有限個(gè)相連接的可度量小段（塊）。若在上可積，則也在上可積，且 3．（保序性）若，在上可積，且，則 4．（不等式性質(zhì)）若在上可積，則也在上可積，且 5．（中值定律）若在上可積，則存在常數(shù)，使得 三 第一性曲線積分與第一型曲面積分的計(jì)算 第一型曲線積分與第一型曲面積分可分別將它們化為定積分與二重積分來計(jì)算。 定理22.1 設(shè)有光滑曲線 ： 函數(shù)為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則 ⑵ 證：顯然是可求長(zhǎng)的，且在上由到的弧長(zhǎng) 由的連續(xù)性與積分中值定理，有 ，（） 所以 這里，設(shè) 則有 （*） 令 現(xiàn)在證明 因?yàn)閺?fù)合函數(shù)關(guān)于連續(xù)，所以在閉區(qū)間上有界，即存在，對(duì)一切有 再由在上連續(xù)，所以它在上一致連續(xù)。即當(dāng)，，當(dāng)時(shí)有 從而 所以 再?gòu)亩ǚe分定義得 所以當(dāng)（*）式兩邊去極限后，即得所要證的結(jié)論。 ▌ 注： 1°若曲線有方程 ， 表示，且在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則定理1中的⑵式可寫成 ⑶ 2°若曲線有方程 ， 表示，且在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則有 ⑷ 作業(yè)：P362.T1(5). T2 第28次課 教學(xué)內(nèi)容 §1 第一型曲線積分與第一型曲面積分的計(jì)算 目的要求 通過例題掌握第一型曲線積分與第一型曲面積分的計(jì)算方法. 教學(xué)過程 復(fù)習(xí)上節(jié)所講的定理： ⑵ ⑶ ⑷ 例1 設(shè)是半圓周，，試計(jì)算第一型曲線積分 解：由公式⑵可得 例2 設(shè)是從到的一段，計(jì)算第一型曲線積分 解：由公式⑷可得 例3計(jì)算，其中L為球面被平面所截得圓周。 解 由對(duì)稱性知 所以 . 例4 求螺旋線，，（）對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，設(shè)曲線的密度為1。 解 應(yīng)用公式（9）計(jì)算對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ＝ ＝＝. 對(duì)于第一型曲面積分的計(jì)算有下述定理. 定理22.2 設(shè)有光滑曲面 ： ， ， 為上的連續(xù)函數(shù)，則 ＝ （10） 定理22.2的證法與定理22.1相仿，這里不再重復(fù)了. 例5 計(jì)算，其中是球面被平面所截得的頂部 解 曲面的方程為，定義域?yàn)閳A域：. 由于 所以由公式（10）求得 ＝ 例6（P362.T1）（1）計(jì)算，其中是以，，為頂點(diǎn)的三角形。 解： （3）計(jì)算，其中為橢圓在第一象限中的部分。 解：∵，，從而有 例7（P362.T4(1)）計(jì)算第一型曲面積分，其中是上半球面，且. 解：因?yàn)?，，，從? 故有 作業(yè)：P362.T4(2)(3) 第29次課 教學(xué)內(nèi)容 §2第二型曲線積分 目的要求 理解并掌握第二型曲線積分及其性質(zhì)、計(jì)算方法. 教學(xué)過程 一 第二型曲線積分的概念 在物理學(xué)中還碰到另一種類型的曲線積分問題.例如一質(zhì)點(diǎn)受變力的作用沿平面曲線運(yùn)動(dòng).當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從的一端移動(dòng)到另一端時(shí)，求力所作的功（如右圖）. 為此，我們對(duì)有向曲線作分割，即在內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)與一起把曲線分成個(gè)有向線段若以記小曲線段的弧長(zhǎng)，則分割的細(xì)度為. 設(shè)力在軸和軸方向的投影分別為與，即 . 由于，，記，和 從而力在小曲線段上所作的功 其中為小曲線段上任一點(diǎn).于是力沿所作的功可近似地表示為 當(dāng)細(xì)度時(shí)，右端和式的極限就是所求的功.這種和式極限就是下面所要討論的第二型曲線積分。 定義 設(shè)為定義在光滑或按段光滑平面有向曲線的函數(shù)，對(duì)任一分割分成個(gè)小弧段 ， 記各弧段長(zhǎng)為，分割的細(xì)度＝，記，又設(shè)為上任一點(diǎn).若極限 存在且與分割與介點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)沿有向曲線上的第二型曲線積分，記為 或 （1） 或者 ， . 若為封閉有向曲線，則記為 （2） 若記，則（1）式可寫成向量形式 或 （3） 于是，力沿曲線對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功 倘若為光滑或按段光滑的空間有向連續(xù)曲線，為定義在上的函數(shù)，則可按上述辦法定義沿空間有向曲線的第二型曲線積分，并記為 （4） 當(dāng)把與看作三維向量時(shí)，公式（4）也能表示成（3）的形式。 第二型曲線積分與曲線的方向有關(guān)。對(duì)同一曲線，方向由到改為由到時(shí)，每一小弧段的方向都改變，從而所得的，也隨之改變一個(gè)符號(hào)，故有 （5） 而第一型曲線積分的被積表達(dá)式只是函數(shù)與弧長(zhǎng)的乘積，它與曲線的方向無關(guān)。這是兩種類型曲線積分的一個(gè)重要差別。 類似于第一型曲線積分，第二型曲線積分也有相應(yīng)的性質(zhì)，如： 1．若（）存在，則 也存在，且 其中（）為常數(shù)。 2．若有向曲線是由有向曲線首尾相銜接而成，且 （） 存在，則也存在，且 二 第二型曲線積分的計(jì)算 與第一型曲線積分一樣，第二型曲線積分也是把它化為定積分來計(jì)算的。 設(shè) 為上光滑或按段光滑平面曲線。又設(shè)與為上的連續(xù)函數(shù)，則沿從到的第二型曲線積分 （6） 讀者可仿照定理22.1的方法分別證明 與 由此便可得公式（6）。 例1．計(jì)算，其中分別沿右圖中路線： （i）（直線） （ii）（拋物線：）； （iii）（三角形）。 解：（i）直線由參數(shù)方程 表示。故由公式（6）可得 （ii）曲線可由拋物線方程表示.所以 ＝ （iii）這里是一條封閉曲線，它的計(jì)算可從上任選一點(diǎn)為起點(diǎn)， 沿所指定的的方向前進(jìn)，最后回到這一點(diǎn). 本題不妨從點(diǎn)開始，應(yīng)用上段的性質(zhì)2，分別求沿，和上的線積分然后相加，即可得所求之曲線積分. 由于沿直線的線積分為 . 沿直線的線積分為 沿直線的線積分可由（1）及公式（5）得 . 所以 . 例2 計(jì)算這里：（i）沿拋物線，從到的一段（圖22－6）；（ii）沿直線段（iii）沿封閉路線 解 （i） （ii） （iii）在一段上，在一段上，在一段上與（ii）一樣是從到的一段. 所以 ， 因此 對(duì)于沿空間有向曲線的第二型曲線積分的計(jì)算公式也與（6）式相仿。設(shè)空間有向光滑曲線的參數(shù)方程為 起點(diǎn)為終點(diǎn)為，則 ⑺ 這里要注意曲線方向與積分上下限的確定應(yīng)該一致. 例3 計(jì)算 第二型曲線積分 ， 是螺旋線： 從到上的一段. 解 由公式⑺ 例4 求在力作用下， （i） 質(zhì)點(diǎn)由沿螺旋線到所作的功（圖22－7），其中 ： （ii）質(zhì)點(diǎn)沿直線到所作的功. 解 如本節(jié)開頭提出的，在空間曲線上受力所作的功 （i）由于所以 （ii）的參量方程為 ， ， （） 由于，，，所以 . 作業(yè)：P371.T1(2)(3)(4) 第30次課 教學(xué)內(nèi)容 §3 格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性 目的要求 理解并掌握格林公式及曲線積分與路線的無關(guān)性，并能解決有關(guān)計(jì)算問題. 教學(xué)過程 一 格林公式 本節(jié)要討論的格林（Green）公式，它將建立起平面區(qū)域的邊界線上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系。 設(shè)區(qū)域的邊界是由一條或幾條光滑曲線所圍成。邊界曲線的正方向規(guī)定為：當(dāng)人沿邊界行走時(shí)，區(qū)域總在它的左邊，如圖所示。若沿與上述所規(guī)定的方向相反，則稱為負(fù)方向，并記為。 定理22.3 若函數(shù)，在閉區(qū)域上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 ⑴ 這里為區(qū)域的邊界曲線，并取正方向。 稱公式⑴為格林公式。 證：根據(jù)區(qū)域的不同形狀，分三種情形來證明： （i）若區(qū)域既是-型區(qū)域又是-型區(qū)域，即平行于坐標(biāo)軸的直線和至多交于兩點(diǎn)。這時(shí)區(qū)域可表示為 ， 或 ， 這里和分別為曲線和的方程，而和則分別時(shí)曲線和的方程。于是有 同理可以證得 將上述兩個(gè)結(jié)果相加即得⑴式。 （ii）若區(qū)域是由一條按段光滑的閉曲線圍成，則先用幾段光滑曲線將分成有限個(gè)既是-型又是-型的子區(qū)域，然后逐塊按（i）方法推得它的格林公式，再相加即得⑴式。其中相鄰兩個(gè)小子區(qū)域的共同邊界，則因取向相反，它們的積分值正好互相抵消。 如右圖所示，可將分成三個(gè)既是-型又是-型的區(qū)域，，。于是有 （iii）若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成，如右圖所示，這時(shí)可適當(dāng)添加直線段，，把區(qū)域轉(zhuǎn)化為（ii）的情形來處理。 在右圖這連接了，后，則的邊界曲線由，，，，，，及構(gòu)成。由（ii）已知 . 證畢. 為了便于記憶，格林公式⑴也可寫成下述形式 格林公式溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間的聯(lián)系，從而可應(yīng)用它來簡(jiǎn)化某些曲線積分或二重積分的計(jì)算。 例1 計(jì)算，其中曲線半徑為的圓在第一象限部分（如右圖所示）。 解：對(duì)半徑為的四分之一圓域，應(yīng)用格林公式有 由于，，所以 . 例2 計(jì)算，其中為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域的邊界線。 解：因?yàn)? ， 在上述區(qū)域上連續(xù)且相等，于是有 所以由格林公式⑴立即可得. 在格林公式中，令，，可得到計(jì)算平面面積的公式： ⑵ 例3 計(jì)算由星形線，（）所界的面積。 解：由公式⑵得 作業(yè)：P381.T1(1)(2). T2(1) 第31次課 教學(xué)內(nèi)容 §3 格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性（續(xù)） 目的要求 理解并掌握曲線積分與路線的無關(guān)性，并能解決有關(guān)計(jì)算問題. 教學(xué)過程 二 曲線積分與路徑的無關(guān)性 回顧§2中計(jì)算第二型曲線積分的頭兩個(gè)例子，我們可能已經(jīng)看到，在例1中，以為起點(diǎn)為終點(diǎn)的曲線積分，若所沿的路線不同，則其積分值也不同。但在例2中的曲線積分值只與起終點(diǎn)有關(guān)，與路線的選取無關(guān)。本段將討論曲線積分在什么條件下，它的值與所沿路線的無關(guān)性。 首先，介紹單連通區(qū)域的概念。 若對(duì)于平面區(qū)域內(nèi)任一封閉曲線，皆可不經(jīng)過以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于的某一點(diǎn)，則稱此平面區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域；否則稱為復(fù)連通區(qū)域。如下面的圖形中、是單連通區(qū)域，而、是復(fù)連通區(qū)域。單連通區(qū)域也可這樣說：內(nèi)任一封閉曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)只含有中的點(diǎn)。更通俗的說，單連通區(qū)域是沒有“洞”的區(qū)域，復(fù)連通區(qū)域是有“洞”的區(qū)域。 定理22.4 設(shè)是單連通閉區(qū)域。若函數(shù)在閉區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件等價(jià)： （i）沿中任一按段光滑的閉曲線，有 ； （ii）對(duì)中任一按段光滑曲線，曲線積分與路線無關(guān)，只與起點(diǎn)終點(diǎn)有關(guān)； （iii）是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即在內(nèi)有 ； （iv）在內(nèi)每一點(diǎn)處有. 證：（i）（ii） 設(shè)與為聯(lián)結(jié)點(diǎn)的任意兩條光滑曲線（如右圖所示）。由（i）推得 （ii）（iii） 設(shè)為內(nèi)某定點(diǎn)，為內(nèi)任意一點(diǎn)。由（ii），曲線積分與路徑的選擇無關(guān)，故當(dāng)在內(nèi)變動(dòng)時(shí)，其積分值是點(diǎn)的函數(shù)，即有 取充分小，使，則函數(shù)對(duì)于的偏增量 因?yàn)樵趦?nèi)曲線積分與路徑無關(guān)，所以 由于直線段平行于軸，所以：，，（常數(shù)），因而，且 對(duì)上式右端用積分中值定理，得 ， 再依在上的連續(xù)性，推得 同理可證. 于是有 . （iii）（iv） 設(shè)存在函數(shù)使得 故 ，. 因此有 ， 因?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以，從而在內(nèi)每一點(diǎn)處都有 （iv）（i） 設(shè)為中任一按段光滑閉曲線，記所圍的區(qū)域?yàn)? 由于為單連通區(qū)域，所以區(qū)域含在內(nèi). 應(yīng)用格林公式及在內(nèi)恒有，就得到 . 證畢. 應(yīng)用定理22.4中的條件（iv）考察§2的例1與例2，在例1中，，由于與不相等，故積分與路線有關(guān)。在例2中，，由于，所以積分與路線無關(guān)。 定理22.4中要求為單連通區(qū)域是重要的。如本節(jié)例2，對(duì)任何不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域，已證得在這個(gè)內(nèi)任何閉曲線上，皆有 ⑶ 倘若為繞原點(diǎn)一周的閉曲線，則，只在剔除原點(diǎn)外的任何區(qū)域上有定義，所以必含在某個(gè)復(fù)連通區(qū)域內(nèi)。這時(shí)它不滿足定理22.4的條件，因而就不能保證成立⑶式的結(jié)果。事實(shí)上，設(shè)為繞原點(diǎn)一周的圓 ：，，（） 則有 . 若，滿足定理22.4的條件，則由上述證明中已經(jīng)看到二元函數(shù) 具有性質(zhì) ， 它與一元函數(shù)的原函數(shù)相仿。所以我們也稱為的一個(gè)原函數(shù)。 例4 試應(yīng)用曲線積分求的原函數(shù)。 解：這里，，所以 ， 并在整個(gè)平面上有 由定理22.4，平面上任一光滑曲線的曲線積分 只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與路線的選擇無關(guān)。為此，取，，求沿折線段（如右圖所示）的曲線積分得 . 作業(yè)：P382.T3(1)(3). T4. T6. 第32次課 教學(xué)內(nèi)容 §4 第二型曲面積分 目的要求 理解并掌握曲面的側(cè)的概念，第二型曲面積分的概念、性質(zhì). 教學(xué)過程 一 曲面的側(cè)的概念 設(shè)連通曲面上到處都有連續(xù)變動(dòng)的切平面（或法線），為曲面上的點(diǎn)，曲面在處的法線有兩個(gè)方向：當(dāng)取定其中一個(gè)指向?yàn)檎较驎r(shí)，則另一個(gè)指向就是負(fù)方向。設(shè)為上任一點(diǎn)，為上任一經(jīng)過點(diǎn)，且不超出邊界的閉曲線。又設(shè)為動(dòng)點(diǎn)，它在處與有相同的法線方向，且有如下特性：當(dāng)從出發(fā)沿連續(xù)移動(dòng)，這時(shí)作為曲面上的點(diǎn)，它的法線方向也連續(xù)的變動(dòng)。最后當(dāng)沿回到時(shí)，若這時(shí)的法線方向仍與的法線方向相一致，則說這曲面是雙側(cè)曲面；若與的法線方向相反，則說是單側(cè)曲面。 通常由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面，當(dāng)以其法線正方向與軸正向的夾角成銳角的一側(cè)（也稱為上側(cè)）為正側(cè)時(shí)，則另一側(cè)（也稱下側(cè)）為負(fù)側(cè)。當(dāng)為封閉曲面時(shí)，通常規(guī)定曲面的外側(cè)為正側(cè)，內(nèi)側(cè)為負(fù)側(cè)。 二 第二型曲面積分的概念 先觀察一個(gè)計(jì)算流量問題。設(shè)某流體以一定的流速 從給定的曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)（如右圖），其中，，為所討論范圍上的連續(xù)函數(shù)，求單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)曲面的總流量. 設(shè)在曲面的正側(cè)上任一點(diǎn)處的單位法向量為 ， 這里，，是，，的函數(shù)。則單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)小曲面的流量近似的等于 其中是上任意取定的一點(diǎn)，，，是的正側(cè)上法線的方向余弦，又，，分別是的正側(cè)在坐標(biāo)面，和上投影區(qū)域的面積的近似值，并分別記作，和. 于是單位時(shí)間內(nèi)由小曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的流量也近似的等于 故單位時(shí)間內(nèi)由曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量 這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討論的第二型曲面積分。 定義 設(shè)，，為定義在雙側(cè)曲面上的函數(shù)，在所指定的一側(cè)作分割，它把分為個(gè)小曲面，分割的細(xì)度，以，，分別表示在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影區(qū)域的面積，它們的符號(hào)由的方向來確定。如的法線正向與軸正向成銳角時(shí)，在平面的投影區(qū)域的面積為正。反之，若的法線正向與軸正向成鈍角時(shí)，它在平面的投影區(qū)域的面積為負(fù)。在各個(gè)小曲面人任取一點(diǎn)。若 存在，且與曲面的分割和在上的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)，，在曲面所指定的一側(cè)上的第二型曲面積分，記作 ⑴ 或 據(jù)此定義，某流體以速度從曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量 又若，空間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為，則通過曲面的磁通量（磁力線總數(shù)）為 若以表示曲面的另一側(cè)，由定義易得 與第二型曲線積分一樣，第二型曲面積分也有如下一些性質(zhì)： 1．若，（）存在，則有 其中（）是常數(shù)。 2．若曲面是由兩兩無公共內(nèi)點(diǎn)的曲面塊所組成，且 （） 存在，則有 第33次課 教學(xué)內(nèi)容 §4 第二型曲面積分（續(xù)） 目的要求 掌握第二型曲面積分的計(jì)算方法；了解兩類曲面積分的聯(lián)系. 教學(xué)過程 三 第二型曲面積分的計(jì)算 第二型曲面積分也是把它化為二重積分來計(jì)算。 定理22.5 設(shè)是定義在光滑曲面 ：， 上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)（這時(shí)的法線方向與軸正向成銳角），則有 ⑵ 證：由第二型曲面積分定義 上式中。顯然由立刻可推得. 由于在上連續(xù)，在上連續(xù)（曲面光滑），據(jù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，也是上的連續(xù)函數(shù)。由二重積分的定義 所以 . ▌ 類似的，當(dāng)在光滑曲面 ：， 上連續(xù)時(shí)，有 ⑶ 這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)。 當(dāng)在光滑曲面 ：， 上連續(xù)時(shí)，有 ⑷ 這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)。 例1．計(jì)算，其中是球面在，部分并取球面外側(cè)。 解：曲面在第一、五卦限部分的方程分別為 ： ： 它們?cè)诿嫔系耐队皡^(qū)域都是單位圓在第一象限部分。依題意，積分是沿的上側(cè)和的下側(cè)進(jìn)行，所以 . 如果光滑曲面由參數(shù)方程給出： 若在上各點(diǎn)它們的函數(shù)行列式 ，， 不同時(shí)為零，則分別有 ⑹ ⑺ 注：⑸⑹⑺三式中的正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)曲面的兩個(gè)側(cè)，特別當(dāng)平面的正方向?qū)?yīng)于曲面所選定的正向一側(cè)時(shí)，則取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。 例2．計(jì)算，其中為橢球面的上半部并選取外側(cè)。 解：把曲面表示為參量方程： ，，（，） 由⑸式有 ⑻ 其中 積分是在的正側(cè)進(jìn)行。由上述的⑻式右端取正號(hào)，即 例3．（P391.T1）計(jì)算下列第二型曲面積分： （1），其中為，六個(gè)平面所圍的正立方體并取外側(cè)為正向； 解：因?yàn)? 所以原積分 （3），其中是由平面，所圍的四面體表面并取外側(cè)為正向； 解：由對(duì)稱性知 作業(yè)：P391.T1(2) 第34次課 教學(xué)內(nèi)容 §5 高斯公式與斯托克斯公式 目的要求 理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式，掌握空間曲線積分與路徑的無關(guān)性定理，并能應(yīng)用它們解決某些計(jì)算問題. 教學(xué)過程 一 高斯公式 格林公式建立了沿封閉曲線的線積分與二重積分的關(guān)系.類似地，沿空間閉曲面的曲面積分和三重積分之間也有類似的關(guān)系，這就是本段所要討論的高斯公式. 定理22.6 設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成.若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ⑴ 其中取外側(cè)，⑴式稱為高斯公式. 證 下面證 讀者可類似地證明 ， 這些結(jié)果相加便得到了高斯公式⑴. 先設(shè)是一個(gè)型區(qū)域，即其邊界曲面由曲面 及以垂直于的邊界的柱面組成（圖22－21），其中. 于是按三重積分的計(jì)算方法有 其中都取上側(cè). 又由于在面上投影區(qū)域的面積為零，所以 因此 對(duì)于不是型區(qū)域的情形，則用有限個(gè)光滑曲面將它分割成若干個(gè)型區(qū)域來討論. 詳細(xì)的推導(dǎo)與格林公式相似，這里不再細(xì)說了。 高斯公式可用來簡(jiǎn)化某些曲面積分的計(jì)算. 例1 計(jì)算 其中是邊長(zhǎng)為的正立方體表面并取外側(cè)（即上節(jié)習(xí)題1（1））. 解 應(yīng)用高斯公式，所求曲面積分等于 若高斯公式中，則有 于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)域的體積公式 二 斯托克斯公式 斯托克斯公式是建立沿空間雙側(cè)曲面的積分與沿的邊界曲線的積分之間的聯(lián)系. 在講下述定理之前，先對(duì)雙側(cè)曲面的側(cè)與其邊界曲線的方向作如下規(guī)定：設(shè)有人站在上指定的一側(cè)，若沿行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人的前進(jìn)方向?yàn)檫吔缜€的正向；若沿行走，指定的側(cè)總在人的右方，則人的前進(jìn)方向?yàn)檫吔缜€的負(fù)向，這個(gè)規(guī)定方法也稱為右手法則，如圖22－22所示. 定理22.7 設(shè)光滑曲面的邊界是按段光滑的連續(xù)曲線. 若函數(shù)在（連同）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ⑵ 其中的側(cè)與的方向按右手法則確定. 公式⑵稱為斯托克斯公式. 證 先證 ⑶ 其中曲面由方程確定，它的正側(cè)法線方向數(shù)為方向余弦為，所以 若在平面上投影區(qū)域?yàn)?，在平面上的投影曲線記為.現(xiàn)由第二型曲線積分定義及格林公式有 因?yàn)? 所以. 由于，從而 綜合上述結(jié)果，便得所要證明的⑶式. 同樣對(duì)于曲面表示為和時(shí)，可證得 ⑷ 和 ⑸ 將⑶、⑷、⑸三式相加即得斯托克斯公式⑵. 如果曲面不能以的形式給出，則用一些光滑曲線把分割成若干小塊，使每一小塊能用這種形式來表示. 因而這時(shí)斯托克斯公式也能成立. 為了便于記憶，斯托克斯公式也常寫成如下形式： 例2 計(jì)算，其中為平面與各坐標(biāo)面的交線，取逆時(shí)針方向?yàn)檎颍▓D22－23）. 解 應(yīng)用斯托克斯公式推得 由斯托克斯公式，可導(dǎo)出空間曲線積分與路線無關(guān)的條件. 為此先介紹一下空間單連通區(qū)域的概念. 區(qū)域稱為單連通區(qū)域，如果內(nèi)任一封閉曲線皆可以不經(jīng)過的一點(diǎn)，如球體是單連通區(qū)域. 非單連通區(qū)域稱為復(fù)連通區(qū)域，如環(huán)狀區(qū)域不是單連通區(qū)域，而是復(fù)連通區(qū)域. 與平面曲線積分相仿，空間曲線積分與路線的無關(guān)性也有下述相應(yīng)的定理. 定理22.8 設(shè)為空間單連通區(qū)域. 若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下三；四個(gè)條件是等價(jià)的： （i）對(duì)于 內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線有 （ii）對(duì)于 內(nèi)任一按段光滑的曲線，曲線積分 與路線無關(guān)； （iii）是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即 ； ⑹ （iv）在內(nèi)處處成立. 這個(gè)定理的證明與定理22.4相仿，這里不再重復(fù)了. 例3 驗(yàn)證曲線積分與路線無關(guān)，并求被積表達(dá)式的原函數(shù). 解 由于 所以線積分與路線無關(guān). 現(xiàn)在求. 取如圖22－24，從沿平行于軸的直線到，再沿平行于軸到直線，最后沿平行于軸的直線到.于是 其中是一個(gè)常數(shù)。若取為原點(diǎn)，則得 作業(yè)：P399.T1(1)(3). T2. T3(1) — 121 —