數(shù)學分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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第十二章 數(shù)項級數(shù)
一．教材說明
級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具.本章的內容就是為進一步研究函數(shù)打基礎的.為此，我們首先展開對最簡單的級數(shù)——數(shù)項級數(shù)的有關問題進行討論.手法是將無窮級數(shù)的收斂問題化歸為部分何數(shù)列的收斂問題.從而使我們能夠運用已熟知的有關數(shù)列極限的若干性質來推得級數(shù)的若干性質，同時解決了如何用收斂數(shù)列或數(shù)項級數(shù)來表示一個數(shù)的問題.
1．目的與要求
本章的教學目的是：
（1）明確認識級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具；
（2）明確認識無窮級數(shù)的收斂問題是如何化歸為部分何數(shù)列收斂問題的；
（3）理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級數(shù)收斂判別法及斂散性.
本章的教學要求是：
（1）理解并掌握級數(shù)、部分何、收斂、發(fā)散的概念；
（2）理解級數(shù)的收斂準則和其性質；
（3）熟練掌握正項級數(shù)斂散性判別法的比較原則、比式、根式判別法；
（4）牢記并熟練掌握等比級數(shù)、調和級數(shù)、P級數(shù)的斂散性，且能靈活應用；
（5）理解交錯級數(shù)的概念，進而掌握其斂散性判別法；
（6）弄清絕對收斂的含義并掌握其有關的性質及一般項級數(shù)的斂散性判別法.
2．重點與難點
本章的重點是級數(shù)斂散性的概念何正項級數(shù)斂散性的判別；難點是一般級數(shù)斂散性的判別法.
§12.1 級數(shù)的收斂性
第1次課
教學內容：級數(shù)的收斂性
目的要求：理解并掌握級數(shù)、部分和、收斂、發(fā)散的概念；理解級數(shù)的收斂準則和其性質；重點掌握柯西準則.
討論無限個實數(shù)相加的情形及其特性
一． 收斂與發(fā)散的概念
定義1. 給定數(shù)列，將其各項依次相加
（1）
稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)，記為
-------------------------- 級數(shù)（1）的通項
-------------------級數(shù)（1）的部分和
定義2 若級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于 ，即，則稱級數(shù)收斂，為的和，記作 若發(fā)散，則稱發(fā)散.
例1 討論數(shù)項級數(shù)收斂性
1)
2)
3)
解：1) 收斂于1
2) 發(fā)散，發(fā)散
3)
收斂于1
由上可知
級數(shù)斂散性
對任意數(shù)列：級數(shù)（以為部分和數(shù)列）
收斂，則收斂.
二 收斂級數(shù)的性質
由上
定理1 （級數(shù)收斂的柯西準則）
可見
1
2 推論（級數(shù)收斂的必要條件）
由定理1的必要性，令即得證
注：對，
例2 討論調和級數(shù)
的斂散性
解 由于（取
則
故調和級數(shù)發(fā)散.
例3 證明 收斂
證明 由于
則：
故 收斂
定理2 若，收斂，則也收斂，且
=
定理3 去掉增加或改變級數(shù)的有限個項并不改變級數(shù)的收斂性.
注： 若收斂，其和是，則級數(shù) 稱為的第個余項，簡稱余項.它表示用部分和代替時所產(chǎn)生的誤差.
定理4 在收斂級數(shù)的項中任意加的括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變其和，即收斂級數(shù)（無限個數(shù)的和）滿足結合律
證明 設為收斂級數(shù)，其和為記
下證收斂于和
設為的部分和數(shù)列，則的部分和數(shù)列是的一個子列.由于收斂, 且,即收斂，且其和也為
注 由級數(shù)加括號后的收斂性不能推斷它收斂，如
作業(yè)： P6－7. T2(1)(4)(5)，T5, T6, T7(1)(3), T8(1)(4), T9
（可簡單講P6T1）
§12.2正項級數(shù)
第2次課
教學內容：正項級數(shù)
目的要求：熟練掌握正項級數(shù)收斂性的一般判別原則和比式判別法.
復習級數(shù)收斂性的概念及其性質和柯西準則。
一 正項級數(shù)收斂性的一般判別原則
若級數(shù)的各項的符號相同，則稱它為同號級數(shù)
若則稱為正項級數(shù)
定理5 正項級數(shù)收斂部分和數(shù)列有上界.（單調數(shù)列收斂數(shù)列有界）
例1 證明
收斂
證明：
則 （前項之和）
故收斂.
定理6 （比較原則） 設是兩個正項級數(shù)， 有
，則：
（1） 若收斂，則收斂;
（2） 若發(fā)散, 則發(fā)散.
證：由于改變級數(shù)的有限項不影響級數(shù)的收斂性，不妨設，記部分和分別為則 若收斂，則有界，
，從而，即有界，故收斂，（1）成立；（2）為（1）逆否命題.
例1 考察 的斂散性
解 而正項級數(shù)收斂（上節(jié)例3），故有收斂.
例2 討論廣義調和級數(shù)（級數(shù)）
的斂散性.
解 （1）時， 級數(shù)為發(fā)散；
（2）時， 有發(fā)散；由比較原則， 發(fā)散
（3）時， 有，于是有
即有界，故 收斂.
綜上級數(shù)在時收斂，在時發(fā)散.
推論（比較原則極限形式）設正項級數(shù)，，，則
（1）時，，同斂散性；
（2），且收斂時，收斂；
（3）且發(fā)散時，發(fā)散.
證：由于，即，，，有
，或 （*）
由比較原則，時，與同斂散性（1）成立；時，由（*）式右半部分知收斂，收斂，（2）成立；
對于（3），若，即，則，，，有或，由比較原則發(fā)散，則發(fā)散. ▌
例2．討論斂散性.
解：由于
而 收斂，則收斂.
例3．討論的斂散性.
解：由于 而 發(fā)散，故 發(fā)散.
二、比式判別法與根式判別法
Th7.（比式判別法/達朗貝爾判別法）設正項級數(shù)，及，
（1）若，，則收斂；
（2）若，，則發(fā)散.
證：（1）不妨設，，則有
或
而當時，幾何級數(shù)收斂，故收斂；
（2）由于，有，則，故發(fā)散.
推論（比式判別法的極限形式）設正項級數(shù)，
則 （1）時，收斂；
（2）或時，發(fā)散；
證：由于 ，則，，，有
（*）
當時，取使，由（*）式右半部分知收斂；
當時，取使，由（*）式左半部分知發(fā)散；
當時，則，有，發(fā)散.
注：推論中時的斂散性不能判別.如和.
例4．討論級數(shù)
的斂散性.
解：由于
故級數(shù)收斂.
例5．討論級數(shù)的斂散性.
解：，由于
故當時，級數(shù)收斂；當時級數(shù)發(fā)散；，級數(shù)是，它是發(fā)散的.
作業(yè)：
§12.2正項級數(shù)
第3次課
教學內容：比式判別法與根式判別法（續(xù)）
目的要求：熟練掌握正項級數(shù)收斂性的根式判別法和積分判別法.
二.比式判別法與根式判別法（續(xù)）
定理8 （根式判別法 柯西判別法）設正項級數(shù)且
（1）若,則收斂;
（2）若,則發(fā)散
證： (1)不妨設,則,而幾何級數(shù)時收斂,故收斂;
(2) 有,則,故發(fā)散
推論 (根式判別的極限形式)設正項級數(shù),，則
(1) 時, 收斂;
(2) 時, 發(fā)散
證： 由,則,,有,則由定理8知時, 收斂; 時, 發(fā)散
注: 推論中時不能判定收斂性.如.
例7 討論的斂散性
解: 由于 故級數(shù)收斂.此題用比式判別法:
則級數(shù)的收斂性無法判別.
注:凡能用比式判別法判別的必能同根式判別法判別,且后者比只前者更有效,事實上:
；
利用及結論 可得.
三. 積分判別法
定理9 設為上非負遞減函數(shù)，則正項級數(shù)與非正常積分同斂散性.
證：由于在上非負遞減函數(shù),則在可積(可積函數(shù)第三類:閉區(qū)間上單調函數(shù)可積),
從而
（1）若 收斂，則由式的左半部分有
即有界，故收斂；
（2）若收斂；則由則由式的右半部分，有
從而 ，即在上有界，故收斂
由1）2）及其逆命題得證結論
例2 討論級數(shù)的斂散性.
解 2）當時，，，它在是非負遞減函數(shù)，而在時收斂，在時發(fā)散.由積分判別法知在時收斂；在時發(fā)散
1） 當時，由，故發(fā)散.
例3 討論級數(shù)斂散性：
（1）
解：（1）考察非正常積分，由于
當時收斂， 時發(fā)散，由積分判別法知（1）在時收斂， 在時發(fā)散
（2）考察非正常積分同時可推出（2）在時收斂， 在時發(fā)散
作業(yè)：
習題課
第4次課
教學內容：習題課
目的要求：復習前兩節(jié)的主要內容，收斂掌握級數(shù)的收斂的性質，柯西準則；熟練掌握運用比式、根式、積分判別法判別正項級數(shù)的收斂性.
簡單復習級數(shù)收斂的概念性質、柯西準則以及正項級數(shù)的收斂性的判別法；
1.證明級數(shù)的收斂性，并求其和。
利用
2.設級數(shù)都發(fā)散，試問一定發(fā)散嗎？又若與，
都是非負數(shù)，則能得出什么結論？
解：1） 發(fā)散.如發(fā)散，而收斂.
2）一定發(fā)散.
3.應用柯西準則判別級數(shù)斂散性
（2） 發(fā)散
，
有
（3）
（不論為奇偶）
，
（4）發(fā)散
，有
4． 收斂，有
證明：收斂，則 ，有
取有
若，有
則對，有
即收斂
5（）設，為正項級數(shù)，且存在正數(shù)，對一切，有
證明：若級數(shù)收斂，則收斂；發(fā)散，則發(fā)散.
證：由已知 ，有
從而
而為正常數(shù)，故由比較原則知：收斂，則收斂；發(fā)散，則發(fā)散.
7設為遞減正項數(shù)列，證明：級數(shù)與同時收斂或同時發(fā)散。
證明：設的部分和分別為 由為遞減正項數(shù)列有
從而若發(fā)散（無上界），則也發(fā)散，又
從而，若收斂（有上界），則收斂.
8（）求極限
解 由于時，收斂，則有柯西準則有：
從而
9.（）設，證明數(shù)列與級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散.
證： 由于數(shù)列與級數(shù)有相同斂散性,只需證與的斂散性相同,易見二者之一收斂必有,且當時,由比較判別法的推論知與有相同的斂散性.
作業(yè)：P7.T7(2), P19.T4, P20.T14(2)
§12.3 一般項級數(shù)
第5次課
教學內容：交錯級數(shù)，絕對收斂級數(shù)及其性質
目的要求：理解交錯級數(shù)的概念，進而掌握其斂散性判別法；弄清絕對收斂的含義并掌握其有關的性質及一般項級數(shù)的斂散性判別法.
上節(jié)我們討論了正項級數(shù)的收斂性問題，關于一般數(shù)項級數(shù)的收斂性判別問題要比正項級數(shù)復雜，本節(jié)只討論某些特殊類型級數(shù)的收斂性問題。
一. 交錯級數(shù)
若級數(shù)的各項符號正負相間，即
則稱為交錯級數(shù).
定理11（萊布尼茲判別法）若交錯級數(shù)（1）滿足：
（1）數(shù)列單調遞減（）；
（2）
則級數(shù)（1）收斂.
證：設部分和數(shù)列，則
由條件（1）知遞減，遞增；由條件（2）知：
從而是一個區(qū)間套.由區(qū)間套定理，存在唯一數(shù)，使，即收斂；從而級數(shù)收斂.
或證（要點）：討論的偶子列：即單增；,有上界；故，，即得證.
推論：若交錯級數(shù)（1）滿足萊布尼茲判別法條件，則收斂級數(shù)（1）的余項估計式為：
證：由條件（1），則：
例：判別下列交錯級數(shù)的斂散性：
（1） (2) (3)
二．絕對收斂級數(shù)及其性質
1. 絕對收斂與條件收斂的概念
定義：對一般項級數(shù)，若正項級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；若級數(shù)收斂，而正項級數(shù)發(fā)散，則稱條件收斂.
如： 絕對收斂；絕對收斂；（例1）；條件收斂.
定理12：絕對收斂的級數(shù)一定收斂.
證：若收斂，由柯西準則： 有：
從而
由柯西準則知收斂.
例1： 討論下列一般項級數(shù)的絕對收斂性：
（1） （，絕對收斂）
(2) （萊布尼茲判別法，條件收斂）
2. 絕對收斂級數(shù)的兩個重要性質
（1） 級數(shù)的重排
自然數(shù)的重排：自然數(shù)列到自身的一一映射：
數(shù)列重排
級數(shù)的重排：
定理13 設絕對收斂，其和等于，則任意重排后所得級數(shù)也絕對收斂，并有相同的和數(shù).
證：（1）假設為正項級數(shù)，為其和第個部分和，以表示的任一重排的第個部分和：
由于每一個等于某一個（中的第項是中的第項），記，則對使.由于，則，，從而收斂，且其和.
由于也可視作的重排，從而也有，進而推得：
（2）若是一般級數(shù)且絕對收斂，則由上述證明可知收斂即絕對收斂
（3）的和也等于的證明略.
注：條件收斂級數(shù)適當重排后所得到的級數(shù)，可以發(fā)散，可以收斂于任何事先指定的數(shù)（黎曼定理）.
如：對交錯級數(shù)，設其和為，即
重排如下： （一項正兩項負重排）
假設此級數(shù)收斂，作如下結合：
.
說明：
1°收斂級數(shù)滿足結合律（前證），但一般不滿足交換律（下證）.
2°級數(shù)的條件收斂與絕對收斂都是收斂，但二者收斂的機制不同.
條件收斂：按原順序，正負項抵消，與項位置有關；
絕對收斂：項的絕對值趨于零的速度達到收斂的要求，與項位置無關；
（2）級數(shù)的乘積
設有收斂級數(shù)
把兩級數(shù)中每一項的所有可能乘積列表如下：
??????????????????
乘積級數(shù)按正方形順序排列為：
按對角線順序排列為：
其中
定理14（柯西定理）若，都絕對收斂，其和分別是與，則他們的乘積級數(shù)（按任意順序排列）也絕對收斂，其和為.
例2（，略）
作業(yè)：
§12.3 一般項級數(shù)
第6次課
教學內容：阿貝耳判別法與狄利克雷判別法，習題選講
目的要求：學會運用阿貝耳判別法與狄利克雷判別法判別一般項級數(shù)的斂散性；復習本章基本知識，牢記并熟練掌握等比級數(shù)、調和級數(shù)、P級數(shù)的斂散性，且能靈活應用
三．阿貝耳判別法與狄利克雷判別法
引理（阿貝耳交換）設，（）為兩組實數(shù)，若令
（）
則 .
證： 由，（）分別乘以（）整理后就得所要證的公式.
推論（阿貝耳引理）若
（i）是單調數(shù)組；
（ii）（），則
.
證：由（i）知同號，由引理及（ii）則有
. ▌
現(xiàn)在討論級數(shù)的收斂性的判別法.
定理15（阿貝耳判別法）若為單調有界數(shù)列，且級數(shù)收斂，則收斂.
證：由于收斂，依柯西準則，即有，
又有界，即，故由引理可得（單調，的部分和有界）
即收斂. ▌
定理16（狄利克雷判別法）若單調遞減且，又級數(shù)的部分和數(shù)列有界，在收斂.
證：記的部分和數(shù)列為，由已知有，有
從而有
由引理有
即收斂. ▌
注：判別交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法為狄利克雷判別法的特例.
例1．判別級數(shù)斂散性：（），（已知收斂）
由阿貝耳判別法知收斂.
例2．若：，，證明和對都收斂.
證：僅討論.
，的部分和
即有界，由狄利克雷判別法知收斂. ▌
習題選講
1．（P30.T1）（3）
解：先考察，，則
（i）當時，原級數(shù)絕對收斂；
（ii）當時，發(fā)散.對，記，由于，又單調遞減（這是因為，又，，故當充分大時，，從而，故，即.或令）.由萊布尼茲判別法知收斂，從而此時條件收斂.
（iii）當時，，故原級數(shù)發(fā)散.
（6）
解：由于，而發(fā)散，則發(fā)散，即原級數(shù)不絕對收斂；又單調遞減且，故原級數(shù)收斂.綜上：原級數(shù)條件收斂.
（9）
解：由于，而收斂，發(fā)散（這是因為），故原級數(shù)不絕對收斂，但由狄利克雷判別法，原級數(shù)條件收斂.
2．（P31.T3）設，，且，證明級數(shù)
是收斂的.
證明：由已知易得單調遞減且趨于零，由萊布尼茲判別法得原級數(shù)收斂.
3．（P31.總T1）證明：若正項級數(shù)收斂，且數(shù)列單調，則.
證明：由已知，必單調遞減，又收斂.由柯西準則知：對有
又當時，，從而時，
取，則，因而（），故.
提示：T2：由與收斂知，收斂，又
（）
由比較原則可知也收斂，于是由知也收斂.
提示T3、T4.
4．（P32.T6）證明級數(shù)是發(fā)散的.
證：（i）時，級數(shù)為，由級數(shù)收斂的必要性知其發(fā)散；（ii）時，只要充分打，為同號級數(shù)，不妨設其為正項級數(shù)，由知發(fā)散.
5．（P32.T7）討論級數(shù)的斂散性.
解：令，時，在上非負遞減，又在收斂，在時發(fā)散，故原級數(shù)在時發(fā)散，在時收斂.
6．（P32.T8）設，證明級數(shù)是收斂的.
由正項級數(shù)在部分和數(shù)列有上界而收斂.
作業(yè)：P30.T2（1）（2）
— 23 —
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