數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)

數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：定積分 教者：莫海平 教學(xué)目的： 1．能從曲邊梯形的面積和變力所作的功這兩個(gè)實(shí)際問題闡述解決這類問題的思想方法，“分割，近似求和，取極限”，從而了解產(chǎn)生定積分的背景 2．正確理解和準(zhǔn)確敘述定積分的定義 3．會用定義求簡單函數(shù)的定積分 教學(xué)重點(diǎn)：定積分的定義及相關(guān)概念 教學(xué)難點(diǎn)：定積分的幾何意義 關(guān) 鍵：理解定積分概念中的兩個(gè)任意性，即對區(qū)間分割的任意性和取點(diǎn)的任意性 教 學(xué) 程 序 一、導(dǎo)言與回顧 1．導(dǎo)言：積分學(xué)中的兩大基本問題是不定積分和定積分。不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，即求原函數(shù)問題，定積分則是某種和式的極限，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，從本節(jié)開始研究定積分問題。 2．回顧 我國古代杰出數(shù)學(xué)家劉徽計(jì)算圓的周長所用的“割圓術(shù)”思想，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！? 二、新授 （一）問題提出 1．曲邊梯形的面積 設(shè)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)， 且，由曲線，直線， 以及軸所圍成的平面圖形，（如圖）， 稱為曲邊梯形 如圖，求曲邊梯形面積，教師引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生 思考，分割區(qū)間 從而曲邊梯形被分割成個(gè)小曲邊梯形。 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，，作以為高，為底的小矩形。 用這些小矩形的面積近似替代相應(yīng)小曲邊梯形的面積。 則曲邊梯形面積S近似為 （） （1） 當(dāng)分點(diǎn)無限增多，且對無限細(xì)分時(shí)，如果此和式與某一常數(shù)無限接近，而且與分點(diǎn)和中間點(diǎn)的選取無關(guān)，則就把此常數(shù)定義作為曲邊梯形的面積S。 2．變力所作的功 設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿軸由點(diǎn)移動到點(diǎn)，并設(shè)F處處平行于軸，F(xiàn)連續(xù)依賴于質(zhì)點(diǎn)所在的位置坐標(biāo)，即，為一連續(xù)函數(shù)，求力F所作的功W。 解決的方法同曲邊梯形，把細(xì)分為個(gè)小區(qū)間，，，并在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，就有，，，這樣，質(zhì)點(diǎn)從位移到時(shí)，力F所作的功就近似等于，從而 （2） （二）定積分的定義 1．定義：設(shè)閉區(qū)間內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，依次為。 它們把分成個(gè)小區(qū)間，，這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對的一個(gè)分割，記為 或 小區(qū)間的的長度為，并記稱為分割的模。 2．定義：設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)。一個(gè)分割，任取點(diǎn)，，并作和式 稱此和式為函數(shù)在上的一個(gè)積分和，也稱黎曼和。 3．定義，設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對的任向分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有 則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積，數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積分，記作 稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，、分別稱為這個(gè)定積分的下限和上限。 注1：常用極限符號來表達(dá)定積分 注2：連續(xù)函數(shù)是可積的。 注3：定積分的幾何意義。 注4：定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量所用的符號無關(guān)，即 =… 三、鞏固練習(xí) 例 求在區(qū)間上，以拋物線為曲邊的曲邊三角形的面積。 解 在連續(xù)，所以可積 由于定積分存在，選取特殊分割： ， 取，則 四、總結(jié)歸納 五、布置作業(yè)：P204 1． 2． 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：洛比達(dá)法則 教者：韓 超 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握用洛比達(dá)法則求不定式極限的方法 教學(xué)重點(diǎn)：洛比達(dá)法則的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：洛比達(dá)法則的證明 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、復(fù)習(xí)與提問 1．什么是“”型和“”型極限？ 2．到目前為止，學(xué)習(xí)了哪些求“”型和“”型極限的方法？ 二、新課 1．導(dǎo)入：研究極限 “”型：與； “”型：與的關(guān)系。 2．洛比達(dá)法則（求極限法） 定理1（洛比達(dá)法則1） 若函數(shù)與滿足下列條件： （1）在的某去心鄰域可導(dǎo)，且； （2）與； （3）。 則 分析：要找到兩個(gè)函數(shù)之比與這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之比的關(guān)系，可利用柯西中值定理。為了使函數(shù)與在滿足柯西中值定理的條件，可將與在作連續(xù)開 拓，即令，即可。 證明 令，，則，在以與為端點(diǎn)的區(qū)間上函數(shù)與滿足柯西中值定理的條件，因此在與之間至少存在一點(diǎn)C，使 已知，時(shí)，，所以根據(jù)歸結(jié)原則， 。 （證畢） 定理1是（為有限常數(shù)）時(shí)“”型極限的洛比達(dá)法則。對于其它的極限過程如時(shí)有 定理2（洛比達(dá)法則2） 若函數(shù)與滿足下列條件： （1），在時(shí)可導(dǎo)，且； （2）與； （3）。 則 證法：啟發(fā)學(xué)生使用換元法，將極限過程變?yōu)?，即轉(zhuǎn)為洛比達(dá)法則1進(jìn)行證明。 證明：由學(xué)生完成。 3．例題與練習(xí)（洛比達(dá)法則之應(yīng)用） 例1 求； 例2 求（）。 練習(xí)：求下列極限 1）； 2）。 4．總結(jié) （1）應(yīng)用洛比達(dá)法求極限要注意函數(shù)及極限類型是否滿足洛比達(dá)法則的條件； （2）洛比達(dá)法則中的條件3）僅是充分條件，當(dāng)不存在時(shí)，仍可能存在。 三、作業(yè) P225 1．（1）—（6） P225 2． 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：泰勒公式 教者：韓 超 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握泰勒定理的條件和結(jié)論，了解泰勒公式的理論意義及初步應(yīng)用 教學(xué)重點(diǎn)：泰勒定理 教學(xué)難點(diǎn)：泰勒公式中的余項(xiàng) 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、復(fù)習(xí)與提問 用微分近似表示函數(shù)的公式？。 二、新課 1．導(dǎo)入：用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)的理論意義和實(shí)際意義及其可能性。 2．泰勒公式。 定義 若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù) ， 稱為在的次泰勒多項(xiàng)式。 定理1（泰勒定理） 若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù)，則，有 其中 分析：證等于證明，它是一個(gè)“”型極限，可考慮用洛比達(dá)法則計(jì)算此極限。 證明： 當(dāng)時(shí)，都是無窮小，由洛比達(dá)法則及導(dǎo)數(shù)的定義，有 （證畢） 特別地，當(dāng)時(shí)，有 稱為馬克勞林公式。 3．例題與練習(xí) 例1 將展成馬克勞林公式。 例2 將展成馬克勞林公式。 練習(xí)1 將在展成泰勒公式。 2 用無窮小替換求。 4．總結(jié) 注意展成泰勒公式的條件，注意幾個(gè)基本初等函數(shù)的馬克勞林公式中項(xiàng)的規(guī)律性。 三、作業(yè) P234 1．（1）（3） P235 5． 6． 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：不定積分的分部積分法 教者：韓 超 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握用分部積分的方法求某些函數(shù)的不定積分 教學(xué)重點(diǎn)：分部積分公式 教學(xué)難點(diǎn)：分部積分的應(yīng)用 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、復(fù)習(xí)與提問 1．不定積分的概念？ 2．不定積分與原函數(shù)的關(guān)系？ 3．換元法能否計(jì)算所有函數(shù)的不定積分？考慮 二、新課 1．導(dǎo)入 形如，，等積分需考慮新的積分法。 2．不定積分的分部積分法 定理（分部積分公式） 若函數(shù)，在區(qū)間I上可微，則有 稱之為分部積分公式。 證法：應(yīng)用不定積分的法則及不定積分的定義證明公式成立。 證明：已知，都是的可導(dǎo)函數(shù)，由乘積函數(shù)的求導(dǎo)法則，有 或 因此 （證畢） 3．例題與練習(xí) 不定積分的分部積分法適于被積函數(shù)為下列函數(shù)的不定積分： ，，， 等，積分的方法是將其中的某一個(gè)函數(shù)恒等移至微分符號后。 例1 求 解 將移至微分符號后，有 問題（提問）：在例1中為什么不將移至微分符號后變？ 例2 求 解 由分部積分公式有 例3 求 解 將微分符號后的看成一個(gè)函數(shù)，由分部積分公式有 練習(xí)：求下列不定積分 （1） （2） （3） 4．總結(jié) 在應(yīng)用分部積分公式計(jì)算不定積分時(shí)，要注意微分公式的恒等變形。 三、作業(yè) PP195 1．（1）—（6） 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：定積分基本公式 教者：韓 超 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握定積分基本公式，并能利用定積分基本公式計(jì)算定積分 教學(xué)重點(diǎn)：定積分基本公式（牛頓—萊布尼茲公式） 教學(xué)難點(diǎn)：定積分基本公式的證明 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、復(fù)習(xí)與提問 1．什么是原函數(shù)？ 2．定積分的值與哪些因素有關(guān)？ 二、新課 1．導(dǎo)入 用定積分定義求定積分沒有實(shí)際意義，需要研究定積分計(jì)算的新途徑。 2．定積分基本公式（牛頓—萊布尼茲公式） 定理1 若函數(shù)在上連續(xù)，是的原函數(shù)，則 稱之為定積分的基本公式，亦稱牛頓—萊布尼茲公式。 證明 已知是的原函數(shù)，即，有 已知積分上限函數(shù)也是的原函數(shù)，即 所以 －= （為常數(shù)） 令，有 －= 但=0，知，所以 （證畢） 定積分基本公式是用被積函數(shù)的原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)（邊界）的值表示定積分，給定積分的計(jì)算提供了一個(gè)實(shí)用的計(jì)算方法，牛頓—萊布尼茲公式也表為 3．例題與練習(xí) 例1 求。 解 已知，所以 例2 求。 解 已知，所以 練習(xí)1 求 練習(xí)2 求 4．總結(jié) 應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算定積分的關(guān)鍵問題是解決被積函數(shù)的原函數(shù)問題，因此熟練地掌握不定積分的計(jì)算方法是十分必要的。 三、作業(yè)：P361 2．（1）—（6） 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：不定積分 教者：韓 超 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握不定積分的概念及基本積分公式 教學(xué)重點(diǎn)：不定積分的概念 教學(xué)難點(diǎn)：不定積分的微分、導(dǎo)函數(shù)的不定積分 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、復(fù)習(xí)與提問 1．已知函數(shù)可導(dǎo)，試表述微分的概念及微分公式。 2．的充要條件是什么？ 二、新課 1．導(dǎo)入 例1 已知，求，使。 2．不定積分 定義（原函數(shù)） 設(shè)函數(shù)工區(qū)間上有定義，存在函數(shù)，若，有 則稱是在區(qū)間上的原函數(shù)，或簡稱是的原函數(shù)。 定義（不定積分） 函數(shù)的所有原函數(shù)稱為函數(shù)的不定積分，表為 （） 其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，為積分常數(shù)。 例2 求。 解 因?yàn)椋? 不定積分的基本性質(zhì) （1） （2） （3） （為常數(shù)） （4） 不定積分的基本積分公式 （1） （2） （） （3） （） （4） （5） （6） （7） 3．例題與練習(xí) 例3 求下列不定積分 （1） （2） 練習(xí)：求不定積分 （1） （2） 4．總結(jié) 求不定積分關(guān)鍵是要熟悉導(dǎo)數(shù)公式從而可以掌握積分公式，并利用積分運(yùn)算法則求不定積分。 三、作業(yè) P280 1．（1）—（8） 2．（2）（3） 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：二元函數(shù)的連續(xù)性 教者：王繼成 教學(xué)目的：掌握二元函數(shù)連續(xù)的定義，理解多元函數(shù)的性質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)難點(diǎn)：一致連續(xù)性 教 學(xué) 內(nèi) 容 仿照一元函數(shù)連續(xù)的定義，給出二元函數(shù)連續(xù)的定義。 定義：設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義，且。 若，即，，：||||，有，則稱二元函數(shù)在連續(xù)。 若二元函數(shù)在不連續(xù)，則稱是二元函數(shù)的間斷點(diǎn)。 定義：若二元函數(shù)在區(qū)域D任意點(diǎn)都連續(xù)，則稱二元函數(shù)在區(qū)域 D連續(xù)。 注：二元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)是， 即，，：，，有。 如：在（2，1）連續(xù) 定理2 若二元函數(shù)與在點(diǎn)連續(xù)，則、、在點(diǎn)都連續(xù)。 由上冊一元函數(shù)微分學(xué)知，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有四個(gè)重要性質(zhì)，這些性質(zhì)也可推廣到有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)上來。 定理3：（有界性） 若函數(shù)在有界閉區(qū)域連續(xù)，則函數(shù)在D有界。 即，有。 定理4：若函數(shù)在有界閉區(qū)域 D連續(xù)，則函數(shù)在取到最小值與最大值M。 即、，使，，且，有 定理5：（介值性） 若二元函數(shù)在有界閉區(qū)域連續(xù)，且與分別是函數(shù)在D的最小值與最大值，是與之間的任意數(shù)（），則，有。 定義：設(shè)在區(qū)域有定義，若，：，有 則稱函數(shù)在D一致連續(xù)。 定理6：（一致連續(xù)性） 若函數(shù)在有界閉區(qū)域連續(xù)，則函數(shù)在D一致連續(xù)。 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：二元函數(shù)的極限 教者：王繼成 教學(xué)目的：熟練書寫二元函數(shù)的極限定義，弄清二重極限與累次極限的關(guān)系 教學(xué)重點(diǎn)：二重極限的概念 教學(xué)難點(diǎn)：用定義證明二重極限 提問：一元函數(shù)的極限定義？ 在此基礎(chǔ)上抽象出二元函數(shù)的極限。 定義：設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義，是D的聚點(diǎn)。 若（或）有，則稱函數(shù)在點(diǎn)存在極限，極限是A。 表為 。 注：如果二元函數(shù)用坐標(biāo)表示，即，那么二元函數(shù)在點(diǎn)的極限是A就是： ， 且，有 也表為 這個(gè)極限也之叫做二重極限。 舉例 例1 證明： 引導(dǎo)學(xué)生由定義一起證明。 講清限定條件取的方法。 例2 證明：函數(shù) 在原點(diǎn)仍然存在極限。 但必須要指出：在二重極限的定義中，動點(diǎn)在中趨向于點(diǎn)與一 元函數(shù)的自變量在數(shù)軸上的變化不同，它可以在區(qū)域內(nèi)沿著不同的道路（如曲線或直線）和不同的方式（連續(xù)或離散等）從四面八方趨近于點(diǎn)，二元函數(shù)在點(diǎn)的極限都是A，反之：動點(diǎn)沿著某兩條不同的曲線（或點(diǎn)到）無限趨近于點(diǎn)，二元函數(shù)有不同的“極限”，則二元函數(shù)在點(diǎn)不存在極限。 例3 證明：函數(shù)在原點(diǎn)不存在極限。 分析：如何選擇兩條不同的路線，推而廣之。 二元函數(shù)也有各種類型點(diǎn)趨于無窮點(diǎn)的極限和無窮大，逐一討論其形式和種類。 下面僅列舉其中兩例： 與 ： 與 有 ： 與，有 二元函數(shù)還有一種極限 定義：若當(dāng)時(shí)（看作常數(shù)），函數(shù)存在極限， 設(shè) 當(dāng)時(shí)，也存在極限。 設(shè) 則稱B是函數(shù)在點(diǎn)的累次極限。 問題：二重極限與累次極限的關(guān)系？ 由教師引導(dǎo)穿插實(shí)例介紹相關(guān)一些內(nèi)容。 思考： 1．當(dāng)動點(diǎn)沿著任意一條直線無限趨近于點(diǎn)時(shí)，函數(shù)存在極限，且相等，能否說函數(shù)在點(diǎn)存在（二重）極限？為什么？ 2．怎樣判別二元函數(shù)在點(diǎn)不存在極限。 作業(yè)：P153 1．（1）（3） 3． 5． 反饋： 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：同號級數(shù) 教者：王繼成 教學(xué)目的：掌握同號級數(shù)定義，會判定正項(xiàng)級數(shù)的斂散性 教學(xué)重點(diǎn)：正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法 教學(xué)難點(diǎn)：正項(xiàng)級數(shù)判別法的理論基礎(chǔ) 問題：什么是同號級數(shù)？它包括哪兩類？ 定義：同號級數(shù)是指級數(shù)的每一項(xiàng)的符號都是非負(fù)或都是非正。 若稱級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù)。 若稱級數(shù)是負(fù)項(xiàng)級數(shù)。 根據(jù)數(shù)列極限存在的單調(diào)有界原理，不難得到正項(xiàng)級數(shù)收斂性的定理。 定理5 正項(xiàng)級數(shù)收斂 它的部分和數(shù)列有上界。 例5 證明：正項(xiàng)級數(shù) 是收斂的 定理6（比較判別法） 有兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)與，且，有（C是正常數(shù)） （1）若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂。 （2）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。 討論： 正項(xiàng)級數(shù)的斂散性。 此級數(shù)稱為廣義調(diào)和級數(shù)/P一級數(shù)。 例6 判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性 （1） （2） （由學(xué)生自己完成） 定理7（柯西判別法）有正項(xiàng)級數(shù) （1）若，有 （常數(shù)）<1 則級數(shù)收斂。 （2）若存在無限個(gè)，有，則級數(shù)發(fā)散。 例7 判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性： （1） （2） （3） （找學(xué)生到黑板上做） 定理8（達(dá)朗貝爾判別法） 有正項(xiàng)級數(shù) （1）若，有 （常數(shù)）<1 則級數(shù)收斂。 （2）若，有 則級數(shù)發(fā)散。 例8 判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性： （1） （2） （3） 思考： 1．正項(xiàng)（同號）級數(shù)有哪些斂散性的判別法？它的理論基礎(chǔ)是什么？判別法之間有什么關(guān)系？ 2．何謂一個(gè)收斂正項(xiàng)級數(shù)比另一個(gè)收斂快，正項(xiàng)級數(shù)收斂的較慢？是否存在收斂最快的正項(xiàng)級數(shù)？ 作業(yè)： P31 1．（1）（3）（5）（7） 3． 5． 反饋： 綏化師專數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課教案 課 題：數(shù)值級數(shù)收斂與發(fā)散的概念 教者：王繼成 教學(xué)目的：掌握級數(shù)收斂與發(fā)散的概念，能熟練地應(yīng)用幾種常用的判別法 教學(xué)重點(diǎn)：級數(shù)收斂的概念 教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列與數(shù)值級數(shù)的轉(zhuǎn)化 問題：在實(shí)際中存在著無限和嗎？若存在，如何計(jì)算呢？ 定義1 對于無窮數(shù)列，將各項(xiàng)依次用加號連接起來，即稱為數(shù)值級數(shù)，簡稱級數(shù)。 其中稱為級數(shù)的第項(xiàng)或通項(xiàng)。 可見，級數(shù)是無限的，我們只會計(jì)算有限個(gè)數(shù)的和，不僅不會計(jì)算無限個(gè)數(shù)的和，甚至都不知道何謂無限多個(gè)數(shù)的和。 因此，無限多個(gè)數(shù)的和是一個(gè)未知的新概念，這個(gè)新概念也不是孤立的，它與我們已知的有限個(gè)數(shù)的和聯(lián)系著。 定義2 若級數(shù)的部分和數(shù)列收斂（） 設(shè) 或 ，則稱級數(shù)收斂，S是其和。 表為： 定義3 若級數(shù)收斂，其和是S，則表為，即 稱為收斂級數(shù)的項(xiàng)余和，簡稱余和。 顯然：級數(shù)收斂總有 討論：級數(shù)的斂散性是否可歸結(jié)為數(shù)列的斂散性？教師應(yīng)借助級數(shù)定義引導(dǎo)學(xué)生回答問題。 思考：為什么要學(xué)習(xí)級數(shù)？ 前八章，所討論的函數(shù)主要是初等函數(shù)，雖然初等函數(shù)能夠描述許多自然現(xiàn)象和工程技術(shù)中的客觀規(guī)律，但是，只有初等函數(shù)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足描述客觀規(guī)律的需要，為了使數(shù)學(xué)分析的討論的函數(shù)能廣泛地服務(wù)于科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)理論本身，人們借助于極限、函數(shù)方程、微分方程等工具表述了更多的非初等函數(shù)，函數(shù)級數(shù)就是表述非初等函數(shù)的一個(gè)重要工具。 舉例： 例1 討論幾何級數(shù)的斂散性，其中，是公比。 要求學(xué)生會根據(jù)定義解出結(jié)果，記住會用。 例2 證明：級數(shù)收斂，并求其和。 例3 證明：調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。 回顧：由上冊練習(xí)題2．2第19題知 是歐拉常數(shù)，或 即當(dāng)時(shí)，調(diào)和級數(shù)的部分和與是等價(jià)無窮大，亦即：部分和發(fā)散到正無窮大的速度十分緩慢，與相等。 歐拉曾計(jì)算過 作業(yè)：P9 1．（1）（3） 3． 5． 反饋： 附9： 黃岡師范學(xué)院期末考試雙向細(xì)目表（考試時(shí)間為100分鐘） 科目：數(shù)學(xué)分析 班級：數(shù)教200401-05 教學(xué)目標(biāo) 學(xué)習(xí)水平（教學(xué)目標(biāo)） 合計(jì) 教學(xué)內(nèi)容 識記 理解 應(yīng)用 分析 綜合 評價(jià) 微分中值定理及其應(yīng)用 10 8 18 實(shí)數(shù)的完備性 5 5 不定積分 15 15 定積分 8 10 25 6 5 54 反常積分 3 5 8 合計(jì) 13 13 55 6 5 100 出卷教師：鐘紹軍 填表人：鐘紹軍 2005年6月23日 黃岡師范學(xué)院 2004－2005學(xué)年度第二學(xué)期期中試卷 考試課程：數(shù)學(xué)分析 考核類型：考試A卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數(shù)學(xué)教育 考試班級：數(shù)教200401-05班 一．判斷題．（3分×7＝21分） 1．若是函數(shù)在上的最值點(diǎn)，則一定是函數(shù)的極值點(diǎn)． （ ） 2．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，若在內(nèi)嚴(yán)格遞減，則必有． （ ） 3．是函數(shù)的極大值點(diǎn)． （ ） 4．直線上的無限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)． （ ） 5．是在上的原函數(shù)． （ ） 6．方程（為常數(shù)）在區(qū)間[0,1]內(nèi)不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根． （ ） 7．若均是區(qū)間上的凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的凸函數(shù)．（ ） 二．填空題．（每空4分，共28分） 1．若函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則為上常量函數(shù)的充要條件是__________________________． 2．函數(shù)的帶皮亞諾型余項(xiàng)的馬克勞林公式為：____________________________________________________________． 3．＝__________，＝__________． 4．函數(shù)的最小值為___________． 5．＝___________． 6．極值的第二充分條件是：____________________． 三．解答題．（每小題7分，共21分） 1．求極限：． 2．求函數(shù)在處帶拉各朗日型余項(xiàng)的泰勒公式． 3．求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值． 四．證明題．（ 10’×3＝30’） （說明：數(shù)教5班第1題必做，第2、3兩題任選一題，若兩題都做則只按第2題計(jì)算。其他四個(gè)班三題全做） 1．證明：， 2．證明：若在有限開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使． 3．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明： ． 第 2 頁 共 2 頁 黃岡師范學(xué)院 2004－2005學(xué)年度第二學(xué)期期中試卷參考答案 考試課程：數(shù)學(xué)分析 考核類型：考試A卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數(shù)學(xué)教育 考試班級：數(shù)教200401-05班 一．判斷題．（3分×7＝21分） √×√×√√√ 二．填空題．（每空4分，共28分） 1．在上恒為0 2． 3．0，2， 4．28 5． 6．， 三．解答題．（每小題7分，共21分） 1．解 ，.（3分） 于是.（2分） 故 .（2分） 2．解：， （3分） 所以有 ，，，…，， ，在與之間， （2分） 從而有 ， （2分） 3．解： （2分） 故在區(qū)間上有的穩(wěn)定點(diǎn)為，， （2分） 因?yàn)?，，，， （2分） 推得 ， （1分） 四．證明題．（ 10’×3＝30’） （說明：數(shù)教5班第1題必做，第2、3兩題任選一題，若兩題都做則只按第2題計(jì)算。其他四個(gè)班三題全做） 1．證：設(shè)，，則， ， ， （3分） 從而 在上嚴(yán)格遞增。（2分） 即對有 ，從而在上嚴(yán)格遞增。（3分） 即對有 ， 從而推得 ， （2分） 2．證：引入輔助函數(shù) （3分） 則由在有限開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，及的定義可知：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，（3分）且 （2分） 由羅爾中值定理得：，使，得證。（2分） 3．證：設(shè)，（2分） 因?yàn)樵邳c(diǎn)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，所以，在的某空心鄰域內(nèi)有二階連續(xù)的倒數(shù)，且，，（3分） （2分） 故由Th6.6知 。證畢（3分） 第 3 頁 共 3 頁 黃岡師范學(xué)院 2004－2005學(xué)年度第二學(xué)期期末試卷 考試課程：數(shù)學(xué)分析 考核類型：考試A卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數(shù)學(xué)教育 考試班級：數(shù)教200401-05班 一．填空：（每空4分，共24分） 1．函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)是它在該區(qū)間上可積的_________條件。 2．函數(shù)的遞減區(qū)間為____________，該函數(shù)在區(qū)間_________上為凸函數(shù)。 3．設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是，則__________________。 4．_______________________。 5．設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，，則時(shí)，_____________。 二．計(jì)算：（每小題6分，共30分） 1． 2． 3． 4． 5． 三．解答題：（每小題7分，共14分） 1．求函數(shù)在上的最大值和最小值。 2．討論的收斂性。 四．證明：（每小題8分，共32分） 1．設(shè)函數(shù) 求證：函數(shù)在上不可積，而在上可積。 2．證明：若在有限開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使． 3．設(shè)為上以為周期的連續(xù)周期函數(shù)，證明對任何實(shí)數(shù)，恒有 4．證明：設(shè)為上的非負(fù)可積函數(shù)，但在點(diǎn)處連續(xù)，且，則 數(shù)學(xué)分析期末A卷 第 2 頁 共 2 頁 黃岡師范學(xué)院 2004－2005學(xué)年度第二學(xué)期期末試卷 評分標(biāo)準(zhǔn)及參考答案 考試課程：數(shù)學(xué)分析 考核類型：考試A卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數(shù)學(xué)教育 考試班級：數(shù)教200401-05班 一．填空：（每空4分，共24分） 1．充分 2．， 3． 4．0 5． 二．計(jì)算：（每小題6分，共30分） 1．（3分） （3分） 2．令，，， （3分） （3分） 3．（3分） （3分） 4．（6分） 5．記，，則在上連續(xù)，所以可積，取分割，分點(diǎn)，，則（3分） （3分） 三．解答題：（每小題7分，共14分） 1．由微積分學(xué)基本定理知在上連續(xù)且可導(dǎo)，且有 它在上也連續(xù)可導(dǎo)。 令，解得的穩(wěn)定點(diǎn)為，（3分） 而 ，，，（3分） 故當(dāng)時(shí)在上取得最大值0； 當(dāng)時(shí)在上取得最小值（1分） 2．（1）當(dāng) 時(shí)， 絕對收斂。這是因?yàn)? 而當(dāng)時(shí)收斂，故由比較判別法可知收斂，從而原積分絕對收斂。（3分） （2）當(dāng)時(shí)，條件收斂，這是因?yàn)? 而在上單調(diào)趨于零（），故由狄利克雷判別法推知雖收斂，但因是發(fā)散的，從而導(dǎo)致亦發(fā)散。于是由比較原則可知當(dāng)時(shí)是發(fā)散的。（2分） 另一方面，對任意的有而在上當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于零（），故由狄利克雷判別法推知當(dāng)時(shí)收斂。所以，當(dāng)時(shí)上述無窮限積分是條件收斂的。（2分） 四．證明：（每小題8分，共32分） 1．證：，使得對于上的任何分割，都有 （4分） 由可積準(zhǔn)則可知，函數(shù)在不可積。（2分） 而，為常量函數(shù)，必然可積。（2分） 2．證：引入輔助函數(shù) （3分） 則由在有限開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，及的定義可知：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，（3分）且 由羅爾中值定理得：，使，得證。（2分） 3．證：因?yàn)? （2分） 而 （3分） 故（3分） 4．證：因?yàn)樵邳c(diǎn)處連續(xù)，所以由連續(xù)的局部保號性，，記 （2分） 使得對，都有 ，從而 （3分） 那么 （3分） 第 4 頁 共 4 頁 A卷 黃岡師范學(xué)院 2004－2005學(xué)年度第二學(xué)期期末試卷 考試課程：數(shù)學(xué)分析 考核類型：考試B卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數(shù)學(xué)教育 考試班級：數(shù)教200401-05班 一．填空：（每空4分，共24分） 1．函數(shù)在區(qū)間上可積是它在該區(qū)間上連續(xù)的_________條件。 2．有界函數(shù)在區(qū)間上可積的充要條件是__________________________。 3．設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是，則__________________。 4．_______________________。 5．無窮積分是____________的。（判斷散斂性。若為收斂，進(jìn)一步判斷是條件收斂還是絕對收斂） 二．計(jì)算：（每小題6分，共30分） 1． 2． 3． 4． 5． 三．解答題：（每小題7分，共14分） 1．有一個(gè)無蓋的圓柱形容器，當(dāng)給定體積為時(shí)，要使容器的表面積為最小，問底的半徑與容器高的比例應(yīng)該如何設(shè)計(jì)。 2．已知函數(shù)在上連續(xù)，且，求。 四．證明：（每小題8分，共32分） 1．證明有限閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)一定可積。 2．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，證明：存在，使得 3．設(shè)為上以為周期的連續(xù)周期函數(shù)，證明對任何實(shí)數(shù)，恒有 4．證明：設(shè)為上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且，則，。 數(shù)學(xué)分析期末B卷 第 2 頁 共 2 頁 黃岡師范學(xué)院 2004－2005學(xué)年度第二學(xué)期期末試卷 評分標(biāo)準(zhǔn)及參考答案 考試課程：數(shù)學(xué)分析 考核類型：考試B卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數(shù)學(xué)教育 考試班級：數(shù)教200401-05班 一．填空：（每空4分，共24分） 1．必要 2．，必存在一個(gè)分割，使得 3． 4．0 5．條件收斂 二．計(jì)算：（每小題6分，共30分） 1．（3分） （3分） 2．（6分） 3．（3分） （3分） 4．（6分） 5．記，，則在上連續(xù)，所以可積，取分割，分點(diǎn)，，（3分）則 （3分） 三．解答題：（每小題7分，共14分） 1．設(shè)容器的底半徑為，高為，側(cè)面積與底面積之和為，則按題意可得 那么 （3分） 令 ，解得穩(wěn)定點(diǎn)為（2分） 而，所以是在上的唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，它也應(yīng)是在上的最小值點(diǎn)。（2分） 2．設(shè)，，則由在上連續(xù)知在可導(dǎo)，且 它也在可導(dǎo)，且 （3分） ，（1分） 所以 （3分） 四．證明：（每小題8分，共32分） 1．設(shè)為上的遞增函數(shù)（遞減情形可類似證明），為上的一個(gè)分割.由的單調(diào)性知道，在所屬的每個(gè)小區(qū)間上的上、下確界必在端點(diǎn)處取得，即,.因而有（2分） 。（3分） 由此可見，對于任給正數(shù)，只要，這時(shí)就有，由可積準(zhǔn)則的推論知，在上可積. （3分） 2．（1）若，則取結(jié)論成立； （2）若，但是內(nèi)點(diǎn)，且，則同樣取結(jié)論成立；（3分） （3）若，但不是內(nèi)點(diǎn)，或即使是內(nèi)點(diǎn)，但，則取，推得滿足柯西中值定理的條件，所以，使得 （2分） 即 從而 （3分） 3．證：因?yàn)? （2分） 而 （3分） 故（3分） 4．證：用反證法.倘若有某，使，則由連續(xù)函數(shù)局部保號性，必存在的某領(lǐng)域（當(dāng)或時(shí)，則為右領(lǐng)域或左領(lǐng)域）使在其中.由定理10.10有（3分） 又由定理10.11知道，上式右端第一，第三兩個(gè)積分皆非負(fù)，而第二個(gè)積分滿足 從而，這與假設(shè)矛盾. 第 4 頁 共 4 頁 B卷 數(shù) 學(xué) 分 析 教 案 教材：《數(shù)學(xué)分析》（第二版）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 主講：黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)系鐘紹軍 黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)系鐘紹軍印制 ２００２年１０月１４日 黃 岡 師 范 學(xué) 院 2004 至2005 學(xué)年度第一學(xué)期 授 課 計(jì) 劃 系 別 數(shù)學(xué)系 班2004專01～專05 課程名稱 競賽數(shù)學(xué) 主講教師 鐘紹軍 教師 鐘紹軍 實(shí)際授課 16 周 總學(xué)時(shí)（不包括期終考試） 64學(xué) 時(shí) 講 授 64 學(xué) 時(shí) 實(shí) 驗(yàn) 學(xué) 時(shí) 校外教學(xué)（教學(xué)參觀） 學(xué) 時(shí) 習(xí)題課 10 學(xué) 時(shí) 機(jī) 動 學(xué) 時(shí) 其 它 學(xué) 時(shí) 教研室主任 庫在強(qiáng) 系 主 任 程崇高 2004 年 8月 25日 授 課 計(jì) 劃 說 明 （填寫：①教學(xué)大綱和教材名稱；②本學(xué)期本課程教學(xué)目的、要求、包括基礎(chǔ)理論、基本知識、基本技能訓(xùn)練和培養(yǎng)提高學(xué)生的能力等；③提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)改革的主要措施） 教材：《數(shù)學(xué)分析》（上冊，第三版），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社出版 教學(xué)目的與要求： 開設(shè)本課程的目的： 數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)教育專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一。通過教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生理解和掌握確界原理，函數(shù)性質(zhì)，數(shù)列極限的概念、性質(zhì)和存在條件，函數(shù)極限的概念、性質(zhì)和存在條件，兩個(gè)重要極限的使用，函數(shù)連續(xù)性的概念、性質(zhì)和一致連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)的概念、計(jì)算，微分等的基本理論和研究方法；培養(yǎng)和提高學(xué)生用分析法研究和處理數(shù)學(xué)分析問題的能力；學(xué)會使用語言描述數(shù)學(xué)理論的基本功；通過學(xué)習(xí)，加深學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)理論和方法的理解，使學(xué)生能在較高的理論水平上處理初等數(shù)學(xué)問題，為他們學(xué)好后續(xù)課程、提高日后的從教能力奠定基礎(chǔ)。 教改措施： 1．在教學(xué)中注重聯(lián)系并知道初等數(shù)學(xué)的教學(xué)，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)分析觀點(diǎn)和方法分析和處理初等數(shù)學(xué)問題的能力。 2．教學(xué)方式力求靈活多樣，對不同教學(xué)內(nèi)容，分別采用精講、自學(xué)、討論、指導(dǎo)研究等不同形式，并盡可能采用多媒體教學(xué)。 3．在教學(xué)中力求充分融合我院系在數(shù)學(xué)分析教改研究方面的最新成果。 周次 日期 講授的簡要內(nèi)容（大綱章節(jié)名稱、教學(xué)重點(diǎn)） 學(xué)時(shí) 測驗(yàn)及作業(yè)數(shù) 1 8.30—9.3 2 9.6—9.10 3 9.13—9.17 第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù) §1.1 實(shí)數(shù) §1.2 數(shù)集·確界原理 4 10 4 9.20—9.24 §1.2數(shù)集·確界原理（續(xù)） §1.3 函數(shù)概念 4 15 5 9.27—10.1 §1.4 具有某些特性的函數(shù) 第一章習(xí)題課 4 11 6 10.4—10.8 第二章 數(shù)列極限 §2.1 數(shù)列極限概念 §2.1 數(shù)列極限概念（續(xù)） 4 7 7 10.11—10.15 §2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì) §2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)（續(xù)） 4 8 8 10.18—10.22 §2.3 數(shù)列極限存在的條件 第二章習(xí)題課 4 15 9 10.25—10.29 第三章 函數(shù)極限 §3.1 函數(shù)極限概念 §3.1 函數(shù)極限概念（續(xù)） 4 7 10 11.1—11.5 §3.2 函數(shù)極限的性質(zhì) §3.3 函數(shù)極限的存在條件 4 13 11 11.8—11.12 §3.4 兩個(gè)重要極限 §3.5 無窮小量與無窮大量 4 17 12 11.15—11.19 第三章習(xí)題課 第四章 函數(shù)的連續(xù)性 §4.1 連續(xù)性概念 4 17 13 11.22—11.26 §4.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) §4.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)） 4 10 14 11.29—12.3 §4.3 初等函數(shù)的連續(xù)性 第四章習(xí)題課 4 7 15 12.6—12.10 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分 §5.1 導(dǎo)數(shù)的概念 §5.1 導(dǎo)函數(shù)、§5.2 求導(dǎo)法則 4 12 16 12.13—12.17 §5.2 求導(dǎo)法則（續(xù)） §5.3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4 12 17 12.20—12.24 §5.4 高階導(dǎo)數(shù) §5.5 微分 4 11 18 12.27—12.31 §5.5 微分（續(xù)） 第五章習(xí)題課 4 11 19 20 21 檢查日期 檢查人 一式三份：一份交教務(wù)處，一份存教學(xué)系部，一份由本人保存。