數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學(xué)分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20
第五章 導(dǎo)數(shù)與微分
第25次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題) §5.1 導(dǎo)數(shù)概念
目的要求 從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度引導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)概念, 要求掌握導(dǎo)數(shù)、左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)概念, 認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)存在的充要條件, 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.
教學(xué)過(guò)程
一. 導(dǎo)數(shù)的定義
已知自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為
, .
試討論落體在時(shí)刻()的速度.
取鄰近于的時(shí)刻, 落體在由時(shí)刻到時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為
.
它近似地反映了落體在時(shí)刻的快慢程度. 但當(dāng)越接近時(shí), 它則反映得越準(zhǔn)確. 若令, 得落體在時(shí)刻的速度
.
Def 1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義. 若極限
(4)
存在, 則稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo), 并稱其極限值為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù), 記作.
若令, , 則(4)式可改寫成
. (5)
導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比(也稱差商)的極限.
若(4)式或(5)式的極限不存在, 則稱函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo).
例1 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).
解 由(5)式,
.
例2 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).
解 由于 ,
, 所以
例3 常量函數(shù)在任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都等于零, 即. 略.
例4 證明函數(shù)在不可導(dǎo).
證 由于
時(shí), , 不存在, 所以在不可導(dǎo).
(5)式可寫作 , (7)
其中為時(shí)的無(wú)窮小量. 所以(7)式又可寫作
. (8)
稱(8)式為函數(shù)在點(diǎn)的有限增量公式. 由此公式得
Th 5.1 若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo), 則在點(diǎn)連續(xù).
注 可導(dǎo)只是連續(xù)的充分條件, 不是必要條件. 如例4中的函數(shù)在連續(xù), 但在不可導(dǎo).
Def 2 ①設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域上有定義, 若右極限 存在, 則稱這極限值為在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù), 記作.
②設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)左鄰域上有定義, 若左極限 存在, 則稱這極限值為在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù), 記作.
右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱單側(cè)導(dǎo)數(shù).
Th 5.2 若函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 則存在 、都存在且.
例5 設(shè), 討論在點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù).
解 由于
所以, . 即在點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)都存在, 但, 故在點(diǎn)處不可導(dǎo).
例6 證明: 若, 則存在, 對(duì)一切, 有 .
證 由于, 根據(jù)函數(shù)極限的保號(hào)性定理, , 對(duì), 有
又因, 故對(duì), 有.
二. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
是函數(shù)圖形在點(diǎn)處的切線的斜率. 曲線在點(diǎn)處的切線方程是
.
用表示切線與軸正向的夾角, 則. 若, 則; 若, 則; 若, 則.
例7 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.
解 由于 , 所以, 所以
切線方程為
法線方程為 .
對(duì)于曲線, 有. 因此為了作過(guò)點(diǎn)的切線, 只要在軸上取點(diǎn), , 過(guò)點(diǎn)、的直線即為所求作的切線.
作業(yè) P119-120. 1. 3. 4. 5(2). 6(1).
第26次課
教學(xué)內(nèi)容(或可題) §5.1導(dǎo)函數(shù) §5.2導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算
目的要求 掌握導(dǎo)函數(shù)概念, 掌握導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算, 學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)概念和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題.
教學(xué)過(guò)程
§5.1.三.導(dǎo)函數(shù)
若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都可導(dǎo)(對(duì)于區(qū)間的左(右)端點(diǎn)只要求存在右(左)導(dǎo)數(shù)), 則稱為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù). 這時(shí)對(duì)每一個(gè), 都有的一個(gè)導(dǎo)數(shù)(在區(qū)間左(右)端點(diǎn)是右(左)導(dǎo)數(shù))與之對(duì)應(yīng), 這就確定了一個(gè)定義在區(qū)間的函數(shù),稱為在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù), 也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù). 記作, , , 即
, .
相應(yīng)地有時(shí)寫作.
例8 求證: .
證 , ,
所以 .
例9 求證: ①, ②.
證 · . 所以.
②同上, 略.
例10 求證: , ().
證 . 所以.
特別 .
例11 設(shè), 求.
解 . 故當(dāng)時(shí), 由例8, . 當(dāng)時(shí), 由導(dǎo)數(shù)定義, . 當(dāng)時(shí), 分別求左、右導(dǎo)數(shù): , . 由Th 5.2得. 于是
.
§5.2. 一.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算
Th 5.3 若函數(shù)和在點(diǎn)都可導(dǎo), 則函數(shù)在點(diǎn)也可導(dǎo), 且.
證
所以函數(shù)在點(diǎn)也可導(dǎo), 且.
Th 5.4 若函數(shù)和在點(diǎn)都可導(dǎo), 則函數(shù)在點(diǎn)也可導(dǎo), 且.
證
.
. 所以函數(shù)在點(diǎn)也可導(dǎo), 且.
本定理可推廣到多個(gè)函數(shù), 如.
Cor 若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo), 為常數(shù), 則
.
例1 設(shè), 求.
解 .
例2 設(shè), 求
解 .
.
Th 5.5 若函數(shù)和在點(diǎn)都可導(dǎo), 且, 則函數(shù)在點(diǎn)也可導(dǎo), 且.
證 令, 其中. 先證在點(diǎn)可導(dǎo).
因在點(diǎn)可導(dǎo), 所以在點(diǎn)連續(xù). 當(dāng)時(shí), 上式右端極限是. 所以 . 由Th 5.4, 得
.
例3 設(shè), 求.
解 .
例4 證明 .
證 .
例5 證明 , .
證 略.
例6 證明 , .
證 略.
三. 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
Th 5.6 設(shè)為的反函數(shù), 若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù), 嚴(yán)格單調(diào)且, 則在點(diǎn)()可導(dǎo), 且
. (5)
證 設(shè) , . 由
的嚴(yán)格單調(diào)性, 當(dāng)時(shí), 也有, 從而有 .
因在點(diǎn)連續(xù), 故當(dāng)時(shí), 也有, 又因,所以 .
例7 求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
解 ,或 . 特例 .
例8 求證 , ,
, .
證 .
其余同理.
作業(yè) P131-132. 1(1)(2). 2(2)(4)(6)(8)(10)
第27次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題): 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及基本求導(dǎo)法則與公式
目的要求: 認(rèn)識(shí)和掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則, 掌握基本求導(dǎo)法則,掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式. 重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)和掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則, 難點(diǎn)也是認(rèn)識(shí)和掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.
教學(xué)過(guò)程:
四. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
Th 5.7 若在可導(dǎo), 在可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在可導(dǎo), 且
.
課本先介紹一個(gè)錯(cuò)誤證法, 留給學(xué)生自己閱讀.
證 設(shè), 則. 令
因在連續(xù), 故時(shí), . 由在可導(dǎo), 有. 即函數(shù)在時(shí)也. 所以
. 畢.
求函數(shù), 的復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的公式可寫為 (10)
類似地, 求函數(shù), , 的復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的公式可寫為 (11)
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式(10)、(11)等也稱為鏈?zhǔn)椒▌t.
例9. 設(shè), 求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
解 可看著函數(shù), 的復(fù)合函數(shù),由, , 故
. 即 .
例10. 設(shè), 求, .
解 可看著函數(shù), 的復(fù)合函數(shù).
由, , 得.
, .
例11. 設(shè), 求.
解 可看著函數(shù), 的復(fù)合函數(shù). 所以
.
例12. 設(shè), 求.
解 函數(shù)是, , 三個(gè)函數(shù)的復(fù)合. 故.
以下是對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的例子:
例13. 設(shè) , 求.
解
所以 . 從而
[].
例14. 設(shè), 其中和均可導(dǎo), 則有
.
證 , , 所以
四. 基本求導(dǎo)法則與公式
基本求導(dǎo)法則
1. .
2. , .
3. , .
4. 反函數(shù)導(dǎo)數(shù) .
5. 復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù) .
基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式
1. (為常數(shù)).
2. (為任何實(shí)數(shù)).
3. , , ,
, , .
4. .
.
5. , .
6. , .
作業(yè) P132-133. 3(1)(3)(5)(7)(8)(15)(16)(25). 6.
第28次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題): §5.3 微分
目的要求: 掌握微分的概念、函數(shù)可微的充要條件、微分的幾何意義、微分的運(yùn)算法則、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用. 重點(diǎn)是微分的概念和函數(shù)可微的充要條件.
教學(xué)過(guò)程:
一.微分概念
設(shè)一邊長(zhǎng)的正方形, 面積為 . 若邊長(zhǎng)由增加, 面積增加了 .
是的線性函數(shù), 是較高階的無(wú)窮小.
Def 若函數(shù)在的增量可以表為的線性函數(shù)(是常數(shù))與較高階的無(wú)窮小之和:
, (1)
則稱函數(shù)在點(diǎn)可微, 稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分, 記作
或 .
當(dāng)時(shí), 微分是增量的線性主部.
Th 5.8 函數(shù)在點(diǎn)可微 函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo), 這時(shí)(1)式中的等于
證 “” 若在點(diǎn)可微, 由(1)式,得.
故().
“” 若在點(diǎn)可導(dǎo), 則有 . 所以在可微, 且 . 證畢.
對(duì)一元函數(shù)而言, 有 可微可導(dǎo).
微分的幾何意義見右圖.
若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都可微, 則稱為上的可微函數(shù).函數(shù)在上的微分記作
(3)
它不僅依賴于, 而且也依賴于.
設(shè), 則 , 所以.
所以. 于是(3)式可改寫為
(4)
即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積. 例如
, , .
(4)式可改寫為 , 因此導(dǎo)數(shù)又稱作微商. 在此之前, 將當(dāng)作一個(gè)完整的記號(hào)用來(lái)表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 有了微分概念后, 也不妨把它當(dāng)作一個(gè)分式.
二. 微分的運(yùn)算法則
由導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系立得
1.;
2.;
3.;
4., 其中.
在法則4中, 令, 則有 . 又由于, 故又有. 即既有, 又有. 這個(gè)性質(zhì)稱為一階微分形式的不變性.
例1 求 的微分.
解 .
例9 求 的微分.
解
.
三. 近似計(jì)算與誤差估計(jì)
由 , 得到當(dāng)很小時(shí), 有
,
或 . (5)
例如, , , 由(5)式, 得.
同理 , , 等等.
(5)式又可改寫為 . ()
例10 已知, 求精確度更高的近似值.
解 .
令, 取, 由()式, 得. 所以
, 而真值是.
例11 求的近似值.
解 令, 取, 由()式,
得 .
可用公式進(jìn)行誤差估計(jì). 的絕對(duì)誤差, 相對(duì)誤差.
課本的例5交給學(xué)生閱讀.
作業(yè) P139. 1. 2(3)(4)(5)(6). 3(2)(4). 4.
第29次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題): §5.4 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分
目的要求: 使用不完全歸納法認(rèn)識(shí)高階導(dǎo)數(shù), 掌握幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的公式, 掌握函數(shù)乘積的階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式, 掌握函數(shù)的高階微分.
教學(xué)過(guò)程:
一. 高階導(dǎo)數(shù)
設(shè)已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為 , 則物體的運(yùn)動(dòng)速度,在時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)的加速度.
Def. 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo), 則稱函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù), 記作, 即
,
同時(shí)稱在點(diǎn)二階可導(dǎo).
若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都是二階可導(dǎo), 則得到一個(gè)定義在上的二階導(dǎo)函數(shù), 記作,, 或簡(jiǎn)記作.
仿照上述定義, 可由二階導(dǎo)函數(shù)定義在點(diǎn)的三階導(dǎo)數(shù). 一般地, 可由的階導(dǎo)函數(shù)定義在點(diǎn)的階導(dǎo)數(shù).
二階以及二階以上的導(dǎo)數(shù)都稱為高階導(dǎo)數(shù). 函數(shù)在點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)記作 , , . 相應(yīng)地階導(dǎo)函數(shù)記作 , ,. 理解為.
例1 求冪函數(shù)(為正整數(shù))的各階導(dǎo)數(shù).
解 , ,
, ,,
().
.
例2 求和的各階導(dǎo)數(shù).
解 , ,
, , 一般地, 有
.
同理 .
例3 求的各階導(dǎo)數(shù).
解 由 , 可知 .
例4 求的各階導(dǎo)數(shù).
解 , , , ,一般地, 有
.
例5 求的各階導(dǎo)數(shù).
解 由上例, 有 .
思考: ① ? ② ?
③ 與有何聯(lián)系?
設(shè)、均為的階可導(dǎo)函數(shù), 則函數(shù)也階可導(dǎo), 且有 .
Th 設(shè), 而、均為的階可導(dǎo)函數(shù), 則函數(shù)也階可導(dǎo), 且有(萊布尼茲公式)
.
證 用數(shù)學(xué)歸納法, 略.
例6 求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù).
解 由萊布尼茲公式, 有
.
例7 研究函數(shù) 的高階導(dǎo)數(shù).
解 由§5.1例11, 已知. 以下討論二階導(dǎo)數(shù). 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí),
,
.
故在不可導(dǎo), 即在處不是二階可導(dǎo)的. 因而
.
繼續(xù)研究的高階導(dǎo)數(shù), 可得 , 而都不存在.
注意 對(duì)于分段函數(shù)在各段分界點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)(包括高階導(dǎo)數(shù))都應(yīng)由導(dǎo)數(shù)定義直接考察它的可導(dǎo)性.
二. 高階微分
設(shè), 其一階微分是 , 其中變量和是互相獨(dú)立的. 把一階微分只看作是自變量的函數(shù), 它對(duì)的微分是, 或?qū)懽?
稱它為函數(shù)的二階微分.
一般地說(shuō), 階微分是階微分的微分, 記作,即
.
當(dāng)把它改寫為 時(shí), 就和階導(dǎo)數(shù)的記法一致了.
對(duì)的階微分均稱為高階微分.
一階微分具有微分形式不變性, 高階微分不具有微分形式不變性. 以二階微分為例, 設(shè) , 當(dāng)為自變量時(shí), 有
. (3)
當(dāng)時(shí), 有, 從而有
.(4)
式和(4)式不同, 這說(shuō)明二階微分不具有微分形式不變性.
例8設(shè), , 求.
解 由, , 得
求得 , .
又解 ,
.
下面的解法是錯(cuò)誤的:
.
作業(yè) P145-146. 1(1). 2. 3(2)(4). 5(3)(4)(5). 6(2).
第30次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題): §5.參量方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
目的要求: 學(xué)會(huì)使用參量方程所確定的函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)公式, 掌握光滑曲線的概念.
教學(xué)過(guò)程:
設(shè)曲線用參量方程
(1)
表示. 設(shè)函數(shù)和在點(diǎn)可導(dǎo), 且, 則因曲線在點(diǎn)的割線的斜率為 , 而有曲線在點(diǎn)的切線的斜率為
(2)
其中為切線與軸正向的夾角. 如果, 只要, 則
. (3)
若函數(shù)和在上都存在連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),且, 則稱曲線為光滑曲線. 其特點(diǎn)是曲線上不僅每一點(diǎn)都有切線, 而且切線的斜率(或)是的連續(xù)函數(shù).
若函數(shù)有反函數(shù), 則它與形成復(fù)合函數(shù)是
. (4)
只要函數(shù)和可導(dǎo), 嚴(yán)格單調(diào), 且(因而當(dāng)時(shí), 也有和), 則由復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)公式, 得
. (5)
如果嚴(yán)格單調(diào), 且, 則由方程(1)可確定函數(shù) , 且.
若函數(shù)和在上都是二階可導(dǎo), 則由參量方程
及公式(5)可得由參量方程(1)所確定的函數(shù)(4)的二階導(dǎo)數(shù)
. (6)
例1試求由橢圓參量方程 所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù).
解 .
由于, 所以橢圓在點(diǎn)處有水平切線.
.
若曲線由極坐標(biāo)方程表示, 則轉(zhuǎn)化為極角的參量方程是
由公式(5), 得
. (8)
在公式(8)中,的幾何意義是. 即.
例2對(duì)數(shù)螺線上所有點(diǎn)的切線與向徑的夾角為常量.
解 , 所以為常量.
作業(yè) P150-151. 1(2). 2. 3(1). 4(1). 8.
第31次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題): 習(xí)題課
目的要求: 復(fù)習(xí)第5章主要內(nèi)容, 處理第5章難題, 使學(xué)生掌握處理問(wèn)題的常用方法和技巧.
教學(xué)過(guò)程:
一. 復(fù)習(xí)
1.導(dǎo)數(shù)
左導(dǎo)數(shù)
右導(dǎo)數(shù)
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 3.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 4.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 6.求導(dǎo)公式 7.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法
8.參量方程求導(dǎo)法 9.高階導(dǎo)數(shù) 10.微分
二.習(xí)題講解
例1 求 .
解 .
例2 (P120.10)設(shè), 求.
解
. 因, 故當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小, 而當(dāng)時(shí)是有界量,所以. 即.
例3 (P120.15)在曲線上任取一點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)的切線與該曲線交于點(diǎn). 證明: 曲線在點(diǎn)處的切線斜率正好是點(diǎn)處的切線斜率的四倍.
證 設(shè)點(diǎn), 則過(guò)點(diǎn)的切線方程是
.
即 .
將代入其中, 得點(diǎn). 過(guò)點(diǎn)的切線方程是
.
例4 (P146.12)設(shè).
(1) 證明它滿足方程
(2) 求 .
解 (1) , ,
, , ,
,
. ()
(2)由()式有 . 又因?yàn)? , 所以有, .
例5 (P150.5)證明: 曲線 上任一點(diǎn)的法線到原點(diǎn)的距離恒等于.
證
法線方程為 .
法線到原點(diǎn)的距離
.
例6 (P151.3)請(qǐng)舉出一個(gè)連續(xù)函數(shù)的例子, 它在已知點(diǎn)上不可導(dǎo).
解 由于在處連續(xù)但不可導(dǎo), 故舉出的函數(shù)可以為 .
例7 (P151.4(2))證明可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).
證 因?yàn)? 所以 . 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則, 有, 即. 所以是偶函數(shù).
例8 (P151.5(1))設(shè), 若在點(diǎn)可導(dǎo), 則和在點(diǎn)都一定可導(dǎo)嗎?
解 不一定可導(dǎo). 例如, 在點(diǎn)都不可導(dǎo),而在點(diǎn)可導(dǎo).
例9 (P151.7)設(shè)為多項(xiàng)式, , 且在上. 證明: (1) , (2) 存在, s.t..
證 (1)若, 則或, 與在上矛盾. 若, 則存在, s.t. , 仍與在上矛盾. 故.
(2) 在上連續(xù),, , . 對(duì)連續(xù)函數(shù)使用零點(diǎn)定理即得證明.
作業(yè) P151-152. 2(1). 4(1)(3). 5(2)(4). 6. 8.
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