數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)
教材說(shuō)明
本章內(nèi)容分為實(shí)數(shù)及其性質(zhì)、絕對(duì)值不等式、實(shí)數(shù)集的確界與確界原理合函數(shù)的概念以及具有某些特殊性質(zhì)的函數(shù)，函數(shù)是本課程研究的基本對(duì)象，確界原理是理論研究的基本立足點(diǎn)，絕對(duì)值不等式則是分析論證的重要工具。
1． 教學(xué)目的與要求
本章的教學(xué)目的是：
(1) 使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)和確界原理，建立起實(shí)數(shù)集確界的清晰概念；
(2) 使學(xué)生深刻理解函數(shù)的概念，熟悉與函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)。
本章的教學(xué)要求是：
（1）理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性與封閉性。掌握鄰域的概念；
（2）牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見(jiàn)的不等式；
（3）理解實(shí)數(shù)集確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題證明中正確地加以運(yùn)用；
（4）深刻理解函數(shù)地定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示方法；
（5）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象。會(huì)求初等函數(shù)的存在域，會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。
2． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
本章的重點(diǎn)是實(shí)數(shù)集、函數(shù)、確界的概念及其有關(guān)子性質(zhì)。難點(diǎn)是確界的定義及應(yīng)用。
第1次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題)： §1.1 實(shí)數(shù)
目的要求：復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)的概念和實(shí)數(shù)的性質(zhì)，復(fù)習(xí)絕對(duì)值的性質(zhì)及絕對(duì)值的三角形不等式，認(rèn)識(shí)并掌握伯努利不等式和平均值不等式.
教學(xué)過(guò)程：
一 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)
實(shí)數(shù).
正有限小數(shù)（包括正整數(shù)）即正有理數(shù)可以表示為..,
其中為零或正整數(shù),,,,均為中的整數(shù);
正無(wú)理數(shù)可以表示為
.,
其中為正整數(shù),,,,均為中的整數(shù);
正數(shù)的前面帶上負(fù)號(hào)就是負(fù)數(shù).因此一切實(shí)數(shù)均可表示為
.,
其中為正負(fù)整數(shù), ,,,均為中的正負(fù)整數(shù).
定義1 給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)
., .,
其中,為非負(fù)整數(shù),為整數(shù),, . 若有 , 則稱與相等,記為;若或存在非負(fù)整數(shù), 使得而,則稱大于或小于,記為或.
對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)和, 若按上規(guī)定分別有與,則分別稱與(或). 規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).
定義2 設(shè).為非負(fù)實(shí)數(shù), 稱有理數(shù)
.
為實(shí)數(shù)的位不足近似值, 而有理數(shù)
稱為的位過(guò)剩近似值,.
對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù).,其位不足近似值與位過(guò)剩近似值分別規(guī)定為
.與..
附注 實(shí)數(shù)的不足近似值數(shù)列單調(diào)不減, 過(guò)剩近似值數(shù)列單調(diào)不增.
命題 設(shè).與.為兩個(gè)實(shí)數(shù),則存在非負(fù)整數(shù), 使得
,
其中表示的位不足近似值, 表示的位過(guò)剩近似值.
證明 見(jiàn)附錄II第八節(jié).
例1 設(shè)為實(shí)數(shù), ,證明:存在有理數(shù)滿足
證 由于, 故存在非負(fù)整數(shù), 使得. 令
,
則為有理數(shù),且有
,
即得.
全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合記為，即 .
實(shí)數(shù)有如下一些主要性質(zhì):
1. 實(shí)數(shù)對(duì)加、減、乘、除(除數(shù)不為0)四則運(yùn)算是封閉的.
2. 實(shí)數(shù)是有序的，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和，必滿足下述三個(gè)關(guān)系之一：
， =， .
3. 實(shí)數(shù)具有阿基米德(Archimedes)性，即即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)
和，若0，則存在自然數(shù)，使得.
4. 實(shí)數(shù)的全體具有稠密性，即任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù) (而且既有有理數(shù)，又有無(wú)理數(shù)).
5. 如果在一直線(通常畫(huà)成水平直線)上確定一點(diǎn)O作為原點(diǎn)，指定一個(gè)方向?yàn)檎?通常把指向右方的方向規(guī)定為正向),并規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度，則稱此直線為數(shù)軸. 于是，任一實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上唯一一點(diǎn)，反之?dāng)?shù)軸上每一點(diǎn)都唯一地代表一個(gè)實(shí)數(shù)，于是全體實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng). 往后常把“實(shí)數(shù)”與“數(shù)軸上點(diǎn)”兩種說(shuō)法視為相同而不加區(qū)別.
全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合記為，即 .
二 絕對(duì)值與不等式
實(shí)數(shù)的絕對(duì)值定義為
從數(shù)軸上看，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值就是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離. 絕對(duì)值有如下一些性質(zhì)：
1. =，當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)有=0.
2. .
3. 關(guān)系式和分別等價(jià)于不等式和
4. 對(duì)任何實(shí)數(shù)和有三角形不等式 .
5. . 6. .
證明 只證4. 由性質(zhì)2有 ， ,兩式相加后得 –(+)++. 由性質(zhì)3，等價(jià)于 (1)
將上述換成-后，(1)式仍然成立.這就證明了性質(zhì)4的右半部. 又由=. 由(1)式有. 于是
-. (2)
將換成-后，(2)式仍然成立.這又證明了性質(zhì)4的左半部.故性質(zhì)4成立.
伯努利(Bernoulli)不等式 設(shè)，為自然數(shù)，則有
.
證明 用數(shù)學(xué)歸納法證，
當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
設(shè)n－1時(shí)成立，即 ≥1＋
那么 ＝
≥
＝1＋＋
≥1＋
證畢. ▌
推廣：1.…＝≥1＋＋＋…＋＝1＋ （＞0）
2. 為任何不小于1的實(shí)數(shù)，上述不等式仍然成立，仍然稱他為伯努利(至少可謂伯努利型的)不等式.
平均值不等式 設(shè)為個(gè)正實(shí)數(shù)，則有
.
證明 見(jiàn)史濟(jì)懷《平均》，略.
三 習(xí)題選講
1.(P4.4.(2).) 證明：對(duì)任何，有 ++2.
證明 因?yàn)? +=1，+， +=2，三式相加后除以2，得 ++2.
又證 ++
2.(P4.5.) 設(shè)為任意三個(gè)正數(shù)，求證.
證明: =
= 2. (柯西不等式)
故 .
幾何意義見(jiàn)上圖.（三角形兩邊之差小于第三邊）
4.(P4.10.) 證明柯西(Cauchy)不等式：設(shè),，為兩組實(shí)數(shù)，則有
.
證明 ∵ ≥0 即 ≥0
≥0 即 ≥0
…………………
≥0 即 ≥0
上述個(gè)式子相加得到
≥0
所以判別式. 移項(xiàng)并除以4立得柯西不等式. ▌
5.(P26.1.) 設(shè)為實(shí)數(shù)，證明：
(1) =，
(2) =.
證明 當(dāng)時(shí)，=，=，==. 所以當(dāng)時(shí)，(1)、(2)兩式成立.
當(dāng)時(shí)，=，=，
=，=. 所以當(dāng)時(shí)，(1)、(2)兩式成立. 證畢. ▌
作業(yè) P4. 1(1)(2). 3. 5(1). 7. 8. 9.
作業(yè)提示 P3. 1. 用反證法.
P4. 3. 分和兩場(chǎng)合運(yùn)用平均值不等式即可.
P4. 8. 證明 , .
第2次課
教學(xué)內(nèi)容或課題： §1.2 數(shù)集 確界原理
目的要求：掌握區(qū)間、鄰域、數(shù)集的上界、下界、有界數(shù)集、上確界、下確界等概念，特別要弄明白上確界即為最小上界，下確界即為最小的下界.
教學(xué)過(guò)程：
一 區(qū)間與鄰域
設(shè)，且，則稱數(shù)集為開(kāi)區(qū)間，記作;數(shù)集稱為閉區(qū)間，記作;數(shù)集和都稱為半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記作和.它們統(tǒng)稱為有限區(qū)間.
以下是無(wú)限區(qū)間：
=， =， =，= ，=. 這里符號(hào)讀作“正無(wú)窮大”，符號(hào)讀作“負(fù)無(wú)窮大”，符號(hào)讀作“無(wú)窮大”.
滿足不等式的全體實(shí)數(shù)稱為點(diǎn)的鄰域，記作
=，
簡(jiǎn)記為. 滿足不等式的全體實(shí)數(shù)稱為點(diǎn)的空心鄰域，記作 =，簡(jiǎn)記為.
附注 以上兩鄰域的中心是，半徑是. 與的差別是，而. 此外又有
點(diǎn)的右鄰域==，簡(jiǎn)記為;
點(diǎn)的左鄰域==，簡(jiǎn)記為;
點(diǎn)的去心右鄰域==，記為簡(jiǎn)記為;
點(diǎn)的去心左鄰域==，簡(jiǎn)記為.
二 有界集
Def1. 設(shè)為中的一個(gè)數(shù)集,若∈,s.t. 都有
≥,則稱為有上界的數(shù)集. 數(shù)稱為的一個(gè)上界.
≤,則稱為有下界的數(shù)集. 數(shù)稱為的一個(gè)下界.
顯然任何大(小)于的數(shù)也都是的上(下)界.
若數(shù)集既有上界又有下界，則稱為有界集. 若不是有界集，稱它為無(wú)界集. 無(wú)界集包括只無(wú)上界而有下界、只無(wú)下界而有上界、既無(wú)上界又無(wú)下界這三種情形.
自然數(shù)全體構(gòu)成的數(shù)集，是個(gè)有下界但無(wú)上界的無(wú)界數(shù)集. 任何有限區(qū)間都是有界集. 任何無(wú)限區(qū)間都是無(wú)界集.
若一個(gè)數(shù)集有上界，則它有無(wú)數(shù)多個(gè)上界. 這些上界中最小的一個(gè)(如果存在的話)稱它為數(shù)集的上確界. 同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為數(shù)集的下確界. 例如數(shù)集=的上確界為，下確界為. 實(shí)因?qū)σ磺?，都?，因此是一個(gè)下界，是一個(gè)上界. 若把稍微變小成，則不再是的一個(gè)上界，理由是對(duì)不成立，可見(jiàn)為上界中的最小者. 同理為下界中的最大者.
Def2. 對(duì)于給定的數(shù)集，若數(shù)滿足條件：
(i) 是的上界，即對(duì)一切，有 ;
(ii) 對(duì)任何小于的數(shù)，一定存在中的某一個(gè)數(shù)，使得.
則稱數(shù)為數(shù)集的上確界，記為=或=.
Def3. 對(duì)于給定的數(shù)集，若數(shù)滿足條件：
(i) 是的下界，即對(duì)一切，有 ;
(ii) 對(duì)任何大于的數(shù)，一定存在中的某一個(gè)數(shù)，使得.
則稱數(shù)為數(shù)集的下確界，記為=infS或=.
例如，，
.
注：（1）S的上（下）確界可能屬于S，也可能不屬于S；supS＝M∈S maxS＝M,
infS＝M∈S minS＝M
（2）若數(shù)集S有上（下）確界，則上（下）確界唯一.
證：設(shè)與都是S的上確界，且有＞.
由于為S的上確界，＜,由上確界的定義知不是S的上界，當(dāng)然也就不是S的上確界，這與假設(shè)矛盾，∴必有≤.同理可得 ≤.
由此知，必有＝. 證畢. ▌
（3）若數(shù)集S有界，即S既有上界又有下界，則M＞0，對(duì)∈S都有≤M.
證：設(shè)S既有上界T，又有下界L，則對(duì)∈S都有L≤≤T；
取 M＝，則－M≤≤M，即≤M. ▌
例1.(P9.3.) 設(shè)為非空數(shù)集，試對(duì)下述概念給出定義：
(1) 數(shù)集沒(méi)有上界，(2) 數(shù)集無(wú)界.
解 (1) 任給無(wú)論多大正數(shù)，相應(yīng)地總存在，使.
(2)任給無(wú)論多大正數(shù)，相應(yīng)地總存在，使||.
例2.(P9.4.) 求下列數(shù)集的上、下確界，并依定義加以驗(yàn)證：
(2) =，
(4) =.
解 (2) . 實(shí)因任何，都有, 又任給，存在=1，成立，所以 . 數(shù)集無(wú)上界，自然無(wú)最小上界.
(4)=1, =.實(shí)因任何，都有 . 對(duì)任何1由 可解得. 取，則存在=，使得. 故=1. 對(duì)任何，存在=，使得.故=.
作業(yè) P9.1(1)(4).4(1)(3).
第3次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題)： §1.2 數(shù)集 確界原理(續(xù))
目的要求： 掌握確界原理及推廣的確界原理，掌握應(yīng)用確界原理處理有關(guān)數(shù)集上確界、下確界的一般常用方法.
教學(xué)過(guò)程：
一 復(fù)習(xí)：
有上界的數(shù)集上界有無(wú)窮之多最小的上界嚴(yán)格的定義.
有下界的數(shù)集下界有無(wú)窮之多最大的上界嚴(yán)格的定義.
二 確界原理和推廣的確界原理
定理1.1（確界原理） 設(shè)為非空數(shù)集. 若有上界，則必有上確界；若有下界，則必有下確界.
證 只證上確界的結(jié)論. 不妨設(shè)含有非負(fù)數(shù). 由于有上界，則可找到非負(fù)整數(shù)，使得
1）對(duì)任何有；2）存在，使.
對(duì)半開(kāi)區(qū)間作10等分，分點(diǎn)為，，. 則存在，1，2，中的一個(gè)數(shù)，使得
1） 對(duì)任何有；2）存在，使.
再對(duì)半開(kāi)區(qū)間作10等分，則存，1，2，中的一個(gè)數(shù)，使得
1）對(duì)任何有；2）存在，使.
繼續(xù)不斷地等分前一個(gè)區(qū)間, 對(duì)任何, 存在中的一個(gè)數(shù),使得
1) 對(duì)任何有； (1)
2）存在，使.
將上許不走無(wú)限地進(jìn)行下去,得到實(shí)數(shù). 往證
. 只須證明:
①對(duì)一切有; ②對(duì)任何,存在使.
若結(jié)論(1)不成立, 即存在使, 則可找到的位不足近似值, 使 , 從而, 但這與不等式(1)矛盾, 于是①得證.
現(xiàn)設(shè), 則存在使的位不足近似值, 即
.
根據(jù)數(shù)的構(gòu)造, 存在使, 從而有, 即得
. 這就證明了②. 證畢.
確界原理是極限理論的基礎(chǔ), 應(yīng)充分重視.
若把和補(bǔ)充到實(shí)數(shù)集中，并規(guī)定任一實(shí)數(shù)與和的關(guān)系如后： ，，.
若數(shù)集沒(méi)有上界，則定義為的非正常上確界，記作. 若數(shù)集沒(méi)有下界，則定義為的非正常下確界，記作.
推廣的確界原理 任一非空數(shù)集必有上(下)確界(正常的或非正常的).
對(duì)自然數(shù)集，有 =1， =. 對(duì)于數(shù)集
= (3)
有=，=2.
三 問(wèn)題舉例
例1 設(shè)為非空數(shù)集，若對(duì)一切和一切， 都有則.
證明 由于中任一元素都是的上界，中任一元素都是的下界，而皆為非空數(shù)集，由確界原理知，數(shù)集有上確界，數(shù)集有下確界 .
若 ，則令=(-)0. 于是由確界定義(ii)必分別存在和，使得 -=(+)，+=(+). 因而有.與題設(shè)矛盾，故只能成立
又證 因?yàn)閷?duì)一切和一切，都有，所以數(shù)集有上界，因而存在有限的上確界 . 又一切都是數(shù)集的上界，而上確界是最小的上界，所以 ()
且該不等式對(duì)一切都成立. 由()知是數(shù)集的一個(gè)下界，而下確界是最大的下界，所以. 證畢.
例5 設(shè)、皆為非空有界數(shù)集，記=.證明：(1)=. (2). =
證 不妨設(shè). 再設(shè).
(1) 因?yàn)閷?duì)一切，一切，都有和，所以對(duì)一切=，都有=. 又對(duì)任何，存在==，使. 所以=.
(2) 證法類似, 略.
（以下例題可以不講）
例2.(P9.5(1).) 證明：=的充要條件是=.
證明 “” 因?yàn)?，所以對(duì)一切，都有.又，所以是的最大值.
“” 因?yàn)槭堑淖畲笾担詫?duì)一切，都有，且. 對(duì)任何，存在=，有. 所以=.
例3(P9.6(1).) 設(shè)為非空數(shù)集，定義=，證明：=-.
證明 先設(shè). 由上確界定義，一方面對(duì)任何，都有 (1)
另一方面對(duì)任何，存在，使 . (2)
由的定義及(1)式，得到對(duì)一切， 都有 .由(2)式，對(duì)任何，存在 -，使 . 所以 =-.
例4(P9.7(1).(3).) 設(shè)、皆為非空集合，記=，=≠.證明：(1)=.
(3).
證明 不妨設(shè). 再設(shè).
(1) 因?yàn)閷?duì)一切，一切，都有和，所以對(duì)一切=，都有=. 又對(duì)任何，存在==，使. 所以=.
(3) 因?yàn)閷?duì)一切，一切，都有和，所以對(duì)一切=，都有. 這就是說(shuō)，實(shí)數(shù)是數(shù)集的一個(gè)上界. 又?jǐn)?shù)集的上確界也是數(shù)集的一個(gè)上界，而且是最小的上界，所以 . ▌
當(dāng)時(shí)，由學(xué)生補(bǔ)證.
例5(P9.8(1).) 設(shè)、皆為非空有界數(shù)集，定義數(shù)集
＝.
證明：=+.
證明 i：對(duì)∈，有≤；對(duì)∈，有≤
∴有 ＝＋≤＋
∴＋是的一個(gè)上界；
ii：對(duì)ε＞0，－ε不是的上界，
∴∈，s.t. ＞－ε,
同理∈，s.t. ＞－ε,
∴＝＋＞＋－ε；
綜合i，ii可知：＝＋. ▌
例6(P10.9(2).) 設(shè)、皆為非空有界數(shù)集，若對(duì)任何，，都有，定義數(shù)集：
.
證明：.
證明 對(duì)任何，相應(yīng)存在和，使得= . 即是數(shù)集的一個(gè)上界. 對(duì)任何＜，總可將分為=，使＜，＜，于是存在和，使，.從而存在=，有=++.所以=.
例7(P10.10.) 設(shè)為有理數(shù)，證明
證明 對(duì)于給定的，令=. 當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有 ，即是數(shù)集的一個(gè)上界. 又對(duì)的，由不等式，可得 . 在開(kāi)區(qū)間(，)內(nèi)存在有理數(shù)，因此存在 ，使. 所以=，即=.
當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有 ，即是數(shù)集的一個(gè)下界. 又對(duì)的，由不等式，可得. 在開(kāi)區(qū)間(，)內(nèi)存在有理數(shù)，因此存在 ，使. 所以=，也就是=. 證畢.
作業(yè) P9-10. 5. 6. 7. 8.
第4次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題)： §1.3 函數(shù)概念
目的要求：掌握函數(shù)的定義、表示法、四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算、反函數(shù)及初等函數(shù).
教學(xué)過(guò)程：
一 函數(shù)的定義
Def1. 給定兩個(gè)實(shí)數(shù)集和，若有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使內(nèi)每一個(gè)數(shù)，都有唯一的一個(gè)數(shù)與它相對(duì)應(yīng)，則稱是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作 ：，. (1)
數(shù)集稱為函數(shù)的定義域. 對(duì)于中每一個(gè)，根據(jù)法則所對(duì)應(yīng)的中的數(shù)，稱為在點(diǎn)的函數(shù)值. 常記為. 全體函數(shù)值的集合 = 稱為函數(shù)的值域.
(1)中第一式“”表示按法則建立到的函數(shù)關(guān)系，第二式“”表示這兩個(gè)數(shù)集中元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也可以記為“”. 習(xí)慣上，稱函數(shù)關(guān)系中的為自變量，為因變量.
關(guān)于函數(shù)概念的幾點(diǎn)說(shuō)明:
1. 定義域和對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩要素. 只有定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同的諸函數(shù)才是相同函數(shù).
2. 記號(hào)“函數(shù)”與“函數(shù)”省略定義域，而省略的定義域是指用公式法表示函數(shù)時(shí)使該式子有意義的自變量值的全體，即函數(shù)的存在域.
3. 函數(shù)給出了軸上的點(diǎn)集到軸上的點(diǎn)集之間的單值對(duì)應(yīng)也稱映射.
4. 對(duì)每一個(gè)，只能有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)稱為單值函數(shù). 若允許同一個(gè)值可以和多于一個(gè)的值相對(duì)應(yīng)，則稱為多值函數(shù). 本書(shū)只討論單值函數(shù).
二 函數(shù)的表示法
常用的函數(shù)的表示法主要有:
幾個(gè)特殊的函數(shù):
1. 符號(hào)函數(shù): ＝
顯然有 =.
2. “∈R,對(duì)應(yīng)的是不超過(guò)的最大整數(shù).”顯然, ∈R都對(duì)應(yīng)唯一一個(gè),這是一個(gè)函數(shù),表示為＝[].
3. “∈R,對(duì)應(yīng)的＝－[].”這是一個(gè)函數(shù),表為＝{}.即數(shù)的小數(shù)部分.
4. 定義在R上的狄利克雷(Dirichlet)函數(shù):
＝
5. 定義在[0,1]上的黎曼(Riemann)函數(shù):
＝
三 函數(shù)的四則運(yùn)算
函數(shù)定義包含兩個(gè)要素:對(duì)應(yīng)關(guān)系與定義域.因此,定義兩個(gè)函數(shù)相等和四則運(yùn)算需要同時(shí)考慮這兩個(gè)要素.
Def2.設(shè)兩個(gè)函數(shù)和分別定義在數(shù)集和.
1. 若＝,且∈,有＝,則稱函數(shù)與相等,表示為＝.
2. 若∩≠則函數(shù)與的和＋、差－、積分別定義為:
(＋)()＝＋, ∈∩
(－)()＝－, ∈∩
()()＝·, ∈∩
3. 若(∩)－≠,則函數(shù)與的商定義為:
()()＝, ∈(∩)－
四 復(fù)合函數(shù)
設(shè)有兩個(gè)函數(shù)=， 和=，，若=，，則對(duì)每個(gè)，可先由函數(shù)對(duì)應(yīng)中唯一一個(gè)值，而又由函數(shù)對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)值. 這就確定了一個(gè)定義在上，以為自變量，為因變量的函數(shù)，記作=， 或 =，,稱為由函數(shù)與經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算得到的復(fù)合函數(shù). 稱數(shù)，稱為內(nèi)函數(shù)，稱為中間變量.
例1函數(shù)==，=，==1-，=經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算后得=，=
.值域=.
附注: 復(fù)合函數(shù)也可以由多個(gè)函數(shù)相繼復(fù)合而成，例如：=，，=，，， 相繼復(fù)合運(yùn)算得=，.
例：＝ 由三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成:,,
附注: 當(dāng)外函數(shù)的定義域和內(nèi)函數(shù)的值域不相交時(shí)，不能進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算. 例如，，; ，.
五 反函數(shù)
Def4. 設(shè)已知函數(shù) , ∈D
若對(duì)于值域中每一個(gè)值,D中有且只有一個(gè)值,使得,則按此對(duì)應(yīng)法則能得到一個(gè)定義在上的函數(shù),稱這個(gè)函數(shù)為的反函數(shù),記作
: 或 或 ＝,∈.
注:函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)在定義域內(nèi)是一一對(duì)應(yīng)的.
設(shè)已知函數(shù)=，. 若對(duì)值域中每一個(gè)值，中有且只有一個(gè)值，使得 ， 則按此對(duì)應(yīng)法則得到一個(gè)定義在上的函數(shù)，稱為的反函數(shù)，記作
：， 或 ，.
附注 函數(shù)=，存在反函數(shù) 與通過(guò)一一對(duì)應(yīng).函數(shù)=，的反函數(shù)習(xí)慣上記為
，.
例如：按習(xí)慣記法，函數(shù)，，的反函數(shù)分別是，，，.
六 初等函數(shù)
基本初等函數(shù)有：
常量函數(shù) (是常數(shù)); 冪函數(shù) (為實(shí)數(shù));
指數(shù)函數(shù) (); 對(duì)數(shù)函數(shù) ();
三角函數(shù) ，，，;
反三角函數(shù) ，，，.
由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù). 例如：多項(xiàng)式函數(shù) =是常量函數(shù)與正整數(shù)冪函數(shù)經(jīng)過(guò)若干次乘法與加法運(yùn)算得到的. 有理(分式)函數(shù)=，這里、均為多項(xiàng)式函數(shù)，其定義域是中剔除使=0的根之后的數(shù)集.
不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù). 狄利克雷函數(shù)、黎曼函數(shù)都是非初等函數(shù).
作業(yè) P15. 1(4)(5). 3. 4(3)(4). 7(1)(4). P20. 8.
第5次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題)： §1.4 具有某些特性的函數(shù)
目的要求：掌握有界函數(shù)、上界、下界、無(wú)界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)、基本周期等概念，學(xué)會(huì)靈活正確使用這些概念.
教學(xué)過(guò)程：
首先區(qū)別:“函數(shù)定義在數(shù)集上”和“函數(shù)在數(shù)集上有定義”.
一 有界函數(shù)
Def1.設(shè)函數(shù)在數(shù)集A有定義.若函數(shù)值的集合
＝
有上界(有下界、有界),則稱函數(shù)在A有上界(有下界、有界).
(請(qǐng)注意本定義與課本上的定義的不同之處)
若在上有上界，則數(shù)集有上界，其上界不止一個(gè). 若在上有下界，則有下界，其下界不止一個(gè).
Def2.設(shè)為定義在上的函數(shù)，若存在正數(shù)，對(duì)每一個(gè)，都有 ，則稱為上有界函數(shù).
由已知的數(shù)集有上界、有下界和有界的定義,不難寫(xiě)出函數(shù)在A有上界、有下界和有界的肯定敘述,同時(shí)也容易寫(xiě)出它們的否定(即無(wú)上界、無(wú)下界和無(wú)界)敘述:
函數(shù)在A有上界
b∈R,∈A,有≤b
函數(shù)在A無(wú)上界
b∈R, ∈A,有＞b
函數(shù)在A有下界
b∈R,∈A,有≥b
函數(shù)在A無(wú)下界
b∈R, ∈A,有＜b
函數(shù)在A有界
M＞0,∈A,有≤M
函數(shù)在A無(wú)界
M＞0, ∈A,有＞M
由上述定義我們不難發(fā)現(xiàn)：把一個(gè)定義中“存在”改為“任意”,把“任意”改為“存在”就得到與其相反概念的另一個(gè)定義.
為上有界函數(shù) 在上既有上界又有下界. 即數(shù)集有界.
的幾何意義是：的圖象完全落在直線=-和直線=之間. 例如=和=的圖象.
例1．證明：=為上的無(wú)上界函數(shù).
證 對(duì)任何正數(shù)，取中的=，則有
=+1.
故為上無(wú)上界函數(shù).
例2．設(shè)、為上的有界函數(shù)，證明：
① ；
②
證 ①因，故是的一個(gè)下界. 而下確界是最大的下界，所以①成立.
② 因，故是的一個(gè)上界. 而上確界是最小的上界，所以②成立.
二 單調(diào)函數(shù)
Def3.設(shè)函數(shù)在數(shù)集D上有定義,若,∈D,且＜,總有
1°≤,則稱在D上單調(diào)遞增,特別地,當(dāng)＜時(shí)稱在D上嚴(yán)格單調(diào)遞增;
2°≥,則稱在D上單調(diào)遞減,特別地,當(dāng)＞時(shí)稱在D上嚴(yán)格單調(diào)遞減.
函數(shù)在D上嚴(yán)格遞增、嚴(yán)格遞減與單調(diào)遞增、單調(diào)遞減統(tǒng)稱為函數(shù)在D上單調(diào).嚴(yán)格遞增與嚴(yán)格遞減稱為嚴(yán)格單調(diào).若D為區(qū)間,則此區(qū)間為函數(shù)地單調(diào)區(qū)間.
例3. 函數(shù)＝[]與＝sgn在R都是單調(diào)遞增函數(shù).
事實(shí)上, ,∈R,且＜,有[]≤[], sgn≤sgn.
Th1.2 嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且嚴(yán)格遞增(減)函數(shù)地反函數(shù)也必是嚴(yán)格遞增(減)的.
證明: 設(shè)在D上是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù),則對(duì)∈,都∈D,使.
∵,∈D,若＜,就有＜;若＞,就有＞,
∴一個(gè)只能與一個(gè)對(duì)應(yīng).
∴存在反函數(shù),設(shè)反函數(shù)為＝, ∈
設(shè),∈,且＜,有＝,＝,那么必有＜,即＜.(若不然,若≥必有≥矛盾)
∴ 的反函數(shù)存在且也嚴(yán)格遞增.
同理可證嚴(yán)格遞減函數(shù)的反函數(shù)也必是嚴(yán)格遞減的.▌
★思考: 該定理的逆命題是否成立?(不成立)
例5．函數(shù)在是嚴(yán)格遞減的，存在反函數(shù)；在是嚴(yán)格遞增的，存在反函數(shù)；而在不是單調(diào)的.
例6．證明：當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)增；當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)減.
證 設(shè)，對(duì)任意給定，. 由有理數(shù)集的稠密性，存在有理數(shù)，使(參見(jiàn)§1例1)，故有
,
這就證明了當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)增.
同理可證當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)減.
三 奇函數(shù)和偶函數(shù)
Def4.設(shè)是定義在數(shù)集D上的函數(shù).若∈A,有-∈A,且
＝－ (＝)
則稱為D上的奇(偶)函數(shù).
注: 1.奇、偶函數(shù)的定定義域D必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
2.從函數(shù)圖象上看,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)稱中心對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于縱軸稱軸對(duì)稱.
正弦函數(shù)、正切函數(shù)、符號(hào)函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，而函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
四 周期函數(shù)
Def5.設(shè)函數(shù)是定義在數(shù)集D上的函數(shù).若＞0, s.t. 對(duì)∈D,都有±∈D
且＝成立,則稱函數(shù)為周期函數(shù), 稱為的一個(gè)周期.
若是函數(shù)的周期,則2也是它的周期,事實(shí)上
＝＝＝＝＝＝
不難用歸納法證明,若是函數(shù)的周期,則(∈N)也是它的周期.若函數(shù)有最小的正周期,則稱這個(gè)最小周期為的基本周期,簡(jiǎn)稱為周期.
函數(shù)的周期為2，的周期為.常量函數(shù)是以任何正數(shù)為周期的周期函數(shù)，但不存在基本周期.
例3. 狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)是周期函數(shù),但無(wú)基本周期.
事實(shí)上 ＝
存在有理數(shù), s.t. ,∴為周期函數(shù).
同時(shí),對(duì)任意的有理數(shù),都有,故無(wú)基本周期.
例4. 證明: ＝{}＝－[]是周期函數(shù),并求其基本周期.
證: 先證 [＋]＝[]＋ (為整數(shù))
設(shè) ≤＜＋1,則＋≤＋＜＋＋1,
故[＋]＝＋,[]＝
∴[＋]＝[]＋ (為整數(shù)).
∵＝＋1－[＋1]＝＋1－([]＋1)＝－[]＝
∴T＝1是的一個(gè)周期.
設(shè)T為的一個(gè)周期,則
＝
即 ＋T－[＋T] ＝－[]
∴T＝[＋T]－[] (為整數(shù))
∴若有周期,那么周期必為整數(shù),而T＝1為的周期
∴T＝1為的基本周期.▌
作業(yè) P20. 1. 2(1)(3). 4(1)(4). 5(1)(2). 6(3).
第6次課
教學(xué)內(nèi)容(或課題)： 習(xí)題課
目的要求：處理課本上幾個(gè)難題以及作業(yè)中出現(xiàn)的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)處理初等函數(shù)的性質(zhì)、處理確界、處理極大極小問(wèn)題的方法能達(dá)到靈活自如的程度，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)有關(guān)確界的證明過(guò)程.
教學(xué)過(guò)程：
1(P21.3.). 設(shè)=，求：，，，，，，，.
解 =1，=，=，=，=，，=， ==.
2(P22.14.(2)). 延拓定義在上的函數(shù)到整個(gè)實(shí)數(shù)軸上，使所得之函數(shù)為：(1)奇函數(shù)，(2)偶函數(shù). 設(shè)
解 (1) 令 令
3(P22.15.) 設(shè)為定義在上的以為周期的函數(shù)，為實(shí)數(shù). 證明：若在上有界，則在上有界.
證 任取，由于實(shí)數(shù)具有阿基米德性，存在整數(shù)，使 ，因而 .由此存在，使 . 再由函數(shù)的周期性，得. 設(shè)在上，. 則.證畢
4(P21.9.) 設(shè)為區(qū)間上遞增函數(shù)，證明：和 都是上的增函數(shù).
證 設(shè)，且. 因?yàn)闉閰^(qū)間上遞增函數(shù)，所以，. 所從，，從而. 即.
，. 因而. 即. 證畢.
5(P20.7.) 設(shè)為定義在上有界函數(shù)，且，.求證：
(1) ， (2) .
證 因?yàn)闉槎x在上有界函數(shù)，所以它們?cè)谏隙即嬖谟邢薜纳?、下確界.
(1)由，. 得 ，.亦即，. 由于上確界是最小的上界，得.
（2）由，. 得 ,.亦即，. 由于下確界是最大的下界，得.
6(P22.16.) 設(shè)在區(qū)間上有界，記
, .
證明： .
證 對(duì)于任意的，有和，從而有 . 即. 這就是說(shuō)是數(shù)集的一個(gè)上界. 數(shù)集的上確界也是一個(gè)上界，而且是最小的上界，故
. (1)
對(duì)于任意的，有，從而，
有 .
對(duì)每個(gè)固定，常數(shù)是數(shù)集的一個(gè)上界，數(shù)集的上確界也是一個(gè)上界，而且是最小的上界，故
.
從而 .
常數(shù)是數(shù)集的一個(gè)下界，數(shù)集的下確界也是一個(gè)下界，而且是最大的下界，故
.
從而 . (2)
由(1)、(2)兩式立得 .
作業(yè)： P20. 8. P21. 8. 10. 11(3)(3)(3).
· 24 ·
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