2018高中數(shù)學 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關系韋達定理)精講深剖學案.doc
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第2講 根與系數(shù)的關系(韋達定理)現(xiàn)行初中數(shù)學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用,而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關系,在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應用本專題將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系等進行講述?!局R梳理】一元二次方程的根與系數(shù)的關系(韋達定理)一元二次方程的兩個根為:所以:,定理:如果一元二次方程的兩個根為,那么:說明:一元二次方程根與系數(shù)的關系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn),所以通常把此定理稱為”韋達定理”上述定理成立的前提是【典例解析】1.已知方程的一個根是2,求它的另一個根及k的值【分析】由于已知了方程的一個根,可以直接將這一根代入,求出k的值,再由方程解出另一個根但由于我們學習了韋達定理,又可以利用韋達定理來解題,即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項,于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根,再由兩根之和求出k的值【解析】解法一:2是方程的一個根,522k260,k7所以,方程就為5x27x60,解得x12,x2所以,方程的另一個根為,k的值為7解法二:設方程的另一個根為x1,則 2x1,x1由 ()2,得k7所以,方程的另一個根為,k的值為7【解題反思】本題兩種解法進行比較,解法一將已知的根代入方程求解出k的值,再求另一個根;而解法二直接運用韋達定理,建立二元一次方程求解更加高效。2. 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根(1)求的值; (2)求的值;(3)x13x23【解析】x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根, ,(1)| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x26, | x1x2|(2)(3)x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()【解題反思】為了解題簡便,我們探討出一般規(guī)律:設分別是一元二次方程ax2bxc0(a0)的根,則運用根與系數(shù)的關系以下變形需掌握;或【變式訓練】1.若是方程的兩個根,試求下列各式的值;(1); (2);(3); (4);【分析】本題若運用求根公式先求解,運算量太大,借助韋達定理是一條更加高效的解題思路;【點評】掌握韋達定理的常見變形可幫助我們提升解題速度。2.已知關于x的方程x22(m2)xm240有兩個實數(shù)根,并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21,求m的值【分析】本題可以利用韋達定理,由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關于m的方程,從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是,由于所給的方程有兩個實數(shù)根,因此,其根的判別式應大于零【解析】設x1,x2是方程的兩根,由韋達定理,得; x1x22(m2),x1x2m24x12x22x1x221,(x1x2)23 x1x221,即 2(m2) 23(m24)21,化簡,得 m216m170, 解得; m1,或m17當m1時,方程為x26x50,0,滿足題意;當m17時,方程為x230x2930,302412930,不合題意,舍去綜上,m17【點評】(1)在本題的解題過程中,也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應的m的范圍,然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值,取滿足條件的m的值即可(2)在今后的解題過程中,如果僅僅由韋達定理解題時,還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因為,韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根3.已知兩個數(shù)的和為4,積為12,求這兩個數(shù)【分析】我們可以設出這兩個數(shù)分別為x,y,利用二元方程求解出這兩個數(shù)也可以利用韋達定理轉化出一元二次方程來求解解法二:由韋達定理可知,這兩個數(shù)是方程;x24x120的兩個根解這個方程,得;x12,x26所以,這兩個數(shù)是2和6【點評】從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn),解法二(直接利用韋達定理來解題)要比解法一簡捷- 配套講稿:
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