2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理）精講深剖學(xué)案.doc

第2講 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用本專題將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述。【知識(shí)梳理】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）一元二次方程的兩個(gè)根為：所以：，定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”上述定理成立的前提是【典例解析】1.已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值【分析】由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個(gè)根但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值【解析】解法一：2是方程的一個(gè)根，522k260，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得k7所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7【解題反思】本題兩種解法進(jìn)行比較，解法一將已知的根代入方程求解出k的值，再求另一個(gè)根；而解法二直接運(yùn)用韋達(dá)定理，建立二元一次方程求解更加高效。2. 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求的值； （2）求的值；（3）x13x23【解析】x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x26， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()【解題反思】為了解題簡(jiǎn)便，我們探討出一般規(guī)律：設(shè)分別是一元二次方程ax2bxc0（a0）的根，則運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系以下變形需掌握；或【變式訓(xùn)練】1.若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值；（1）； （2）；（3）； （4）；【分析】本題若運(yùn)用求根公式先求解，運(yùn)算量太大，借助韋達(dá)定理是一條更加高效的解題思路；【點(diǎn)評(píng)】掌握韋達(dá)定理的常見變形可幫助我們提升解題速度。2.已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm240有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值【分析】本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零【解析】設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得； x1x22(m2)，x1x2m24x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即 2(m2) 23(m24)21，化簡(jiǎn)，得 m216m170， 解得； m1，或m17當(dāng)m1時(shí)，方程為x26x50，0，滿足題意；當(dāng)m17時(shí)，方程為x230x2930，302412930，不合題意，舍去綜上，m17【點(diǎn)評(píng)】（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可（2）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根3.已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為12，求這兩個(gè)數(shù)【分析】我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程；x24x120的兩個(gè)根解這個(gè)方程，得；x12，x26所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6【點(diǎn)評(píng)】從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）要比解法一簡(jiǎn)捷