高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第7講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)
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2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破導(dǎo)數(shù)與積分第7講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)【知識梳理】研究方程根或函數(shù)的零點(diǎn)的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律,標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置,通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】考點(diǎn)1. 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題【例1】(2014課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2,曲線yf(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求a;(2)證明:當(dāng)k1,函數(shù)f(x)(1x2)exa. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:f(x)在(,)上僅有一個(gè)零點(diǎn); (3)若曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行,且在點(diǎn)M(m,n)處的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn)), 3(2015課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)證明:當(dāng)a0時(shí),f(x)2aaln.4已知函數(shù)f(x).(1)若f(x)在區(qū)間(,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若a0,x01,設(shè)直線yg(x)為函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線,求證:f(x)g(x)2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破導(dǎo)數(shù)與積分第7講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)(學(xué)生版,后附教師版)【知識梳理】研究方程根或函數(shù)的零點(diǎn)的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律,標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置,通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】考點(diǎn)1. 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題【例1】(2014課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2,曲線yf(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求a;(2)證明:當(dāng)k0.當(dāng)x0時(shí),g(x)3x26x1k0,g(x)單調(diào)遞增,g(1)k10時(shí),令h(x)x33x24,則g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2),h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,)單調(diào)遞增,所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0,)沒有實(shí)根綜上,g(x)0在R有唯一實(shí)根,即曲線yf(x)與直線ykx2只有一個(gè)交點(diǎn)【例2】(2016年北京高考)設(shè)函數(shù).(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(II)設(shè),若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),求c的取值范圍;(III)求證:是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.解:(I)由,得因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為(II)當(dāng)時(shí),所以令,得,解得或與在區(qū)間上的情況如下:所以,當(dāng)且時(shí),存在,使得由的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)(III)當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)當(dāng)時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn),記作當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)綜上所述,若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),則必有故是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件當(dāng),時(shí),只有兩個(gè)不同點(diǎn), 所以不是有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件因此是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件變式訓(xùn)練2.(2016年全國I卷高考)已知函數(shù).(I)討論的單調(diào)性;(II)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.【解析】()( i )當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增( ii )當(dāng)時(shí),由,解得:或若,即,則,故在單調(diào)遞增若,即,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故函數(shù)在,單調(diào)遞增;在單調(diào)遞減若,即,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;故函數(shù)在,單調(diào)遞增;在單調(diào)遞減()(i)當(dāng)時(shí),由()知,函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增又,取實(shí)數(shù)滿足且,則有兩個(gè)零點(diǎn)(ii)若,則,故只有一個(gè)零點(diǎn)(iii)若,由(I)知,當(dāng),則在單調(diào)遞增,又當(dāng)時(shí),故不存在兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng),則函數(shù)在單調(diào)遞增;在單調(diào)遞減又當(dāng)時(shí),故不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上所述,的取值范圍是【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】1若函數(shù)f(x)2x39x212xa恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則a可能的值為()A4 B6 C7 D8答案A解析由題意得f(x)6x218x126(x1)(x2),由f(x)0得x2,由f(x)0得1x1,函數(shù)f(x)(1x2)exa. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:f(x)在(,)上僅有一個(gè)零點(diǎn); (3)若曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行,且在點(diǎn)M(m,n)處的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),證明:m1.解析:(1)f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2exxR,f(x)0恒成立.f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,).(2)證明f(0)1a,f(a)(1a2)eaa,a1,f(0)2aeaa2aaa0,f(0)f(a)0,則m0,g(m)在(0,)上增.令g(x)0,則m0時(shí),f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)2e2x(x0)當(dāng)a0時(shí),f(x)0,f(x)沒有零點(diǎn)當(dāng)a0時(shí),因?yàn)閥e2x單調(diào)遞增,y單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞增又f(a)0,當(dāng)b滿足0b且b時(shí),f(b)0時(shí),f(x)存在唯一零點(diǎn)(2)證明由(1),可設(shè)f(x)在(0,)的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x(0,x0)時(shí),f(x)0.故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)xx0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0)由于2e2x00,所以f(x0)2ax0aln2aaln.故當(dāng)a0時(shí),f(x)2aaln.4已知函數(shù)f(x).(1)若f(x)在區(qū)間(,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若a0,x01,設(shè)直線yg(x)為函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線,求證:f(x)g(x)(1)解易得f(x),由已知得f(x)0對x(,2)恒成立,故x1a對x(,2)恒成立,1a2,a1.(2)證明a0,則f(x).函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線方程為yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0),xR,則h(x)f(x)f(x0).設(shè)(x)(1x)ex0(1x0)ex,xR,則(x)ex0(1x0)ex,x01,(x)0,(x)在R上單調(diào)遞減,而(x0)0,當(dāng)x0,當(dāng)xx0時(shí),(x)0,當(dāng)x0,當(dāng)xx0時(shí),h(x)0,h(x)在區(qū)間(,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,)上為減函數(shù),xR時(shí),h(x)h(x0)0,f(x)g(x)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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