高考數(shù)學基礎(chǔ)突破 導數(shù)與積分 第7講 導數(shù)與函數(shù)的零點

2017年高考數(shù)學基礎(chǔ)突破導數(shù)與積分第7講 導數(shù)與函數(shù)的零點【知識梳理】研究方程根或函數(shù)的零點的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)【基礎(chǔ)考點突破】考點1. 利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題【例1】(2014課標全國)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2，曲線yf(x)在點(0，2)處的切線與x軸交點的橫坐標為2.(1)求a；(2)證明：當k<1時，曲線yf(x)與直線ykx2只有一個交點【例2】（2016年北京高考）設(shè)函數(shù).（I）求曲線在點處的切線方程；（II）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；（III）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.變式訓練2.（2016年全國I卷高考）已知函數(shù).(I)討論的單調(diào)性；(II)若有兩個零點，求的取值范圍.【基礎(chǔ)練習鞏固】1若函數(shù)f(x)2x39x212xa恰好有兩個不同的零點，則a可能的值為()A4 B6 C7 D82(2015廣東，19)設(shè)a>1，函數(shù)f(x)(1x2)exa. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：f(x)在(，)上僅有一個零點； (3)若曲線yf(x)在點P處的切線與x軸平行，且在點M(m，n)處的切線與直線OP平行(O是坐標原點)， 3(2015課標全國)設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當a>0時，f(x)2aaln.4已知函數(shù)f(x).(1)若f(x)在區(qū)間(，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若a0，x0<1，設(shè)直線yg(x)為函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線，求證：f(x)g(x)2017年高考數(shù)學基礎(chǔ)突破導數(shù)與積分第7講 導數(shù)與函數(shù)的零點（學生版，后附教師版）【知識梳理】研究方程根或函數(shù)的零點的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)【基礎(chǔ)考點突破】考點1. 利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題【例1】(2014課標全國)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2，曲線yf(x)在點(0，2)處的切線與x軸交點的橫坐標為2.(1)求a；(2)證明：當k<1時，曲線yf(x)與直線ykx2只有一個交點解析：f(x)3x26xa，f(0)a.曲線yf(x)在點(0，2)處的切線方程為yax2，由題設(shè)得2，所以a1.(2)證明由(1)知，f(x)x33x2x2，設(shè)g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由題設(shè)知1k>0.當x0時，g(x)3x26x1k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(1)k1<0，g(0)4，所以g(x)0在(，0有唯一實根當x>0時，令h(x)x33x24，則g(x)h(x)(1k)x>h(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，)單調(diào)遞增，所以g(x)>h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)沒有實根綜上，g(x)0在R有唯一實根，即曲線yf(x)與直線ykx2只有一個交點【例2】（2016年北京高考）設(shè)函數(shù).（I）求曲線在點處的切線方程；（II）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；（III）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.解：（I）由，得因為，所以曲線在點處的切線方程為（II）當時，所以令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：所以，當且時，存在，使得由的單調(diào)性知，當且僅當時，函數(shù)有三個不同零點（III）當時，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個不同零點當時，只有一個零點，記作當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以不可能有三個不同零點綜上所述，若函數(shù)有三個不同零點，則必有故是有三個不同零點的必要條件當，時，只有兩個不同點， 所以不是有三個不同零點的充分條件因此是有三個不同零點的必要而不充分條件變式訓練2.（2016年全國I卷高考）已知函數(shù).(I)討論的單調(diào)性；(II)若有兩個零點，求的取值范圍.【解析】（）（ i ）當時，則當時，；當時，故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（ ii ）當時，由，解得：或若，即，則，故在單調(diào)遞增若，即，則當時，；當時，故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減若，即，則當時，；當時，；故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減（）（i）當時，由（）知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，取實數(shù)滿足且，則有兩個零點（ii）若，則，故只有一個零點（iii）若，由（I）知，當，則在單調(diào)遞增，又當時，故不存在兩個零點；當，則函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減又當時，故不存在兩個零點綜上所述，的取值范圍是【基礎(chǔ)練習鞏固】1若函數(shù)f(x)2x39x212xa恰好有兩個不同的零點，則a可能的值為()A4 B6 C7 D8答案A解析由題意得f(x)6x218x126(x1)(x2)，由f(x)>0得x<1或x>2，由f(x)<0得1<x<2，所以函數(shù)f(x)在(，1)，(2，)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，從而可知f(x)的極大值和極小值分別為f(1)，f(2)，若欲使函數(shù)f(x)恰好有兩個不同的零點，則需使f(1)0或f(2)0，解得a5或a4，而選項中只給出了4，所以選A.2(2015廣東，19)設(shè)a>1，函數(shù)f(x)(1x2)exa. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：f(x)在(，)上僅有一個零點； (3)若曲線yf(x)在點P處的切線與x軸平行，且在點M(m，n)處的切線與直線OP平行(O是坐標原點)，證明：m1.解析：（1）f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2exxR，f(x)0恒成立.f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，).(2)證明f(0)1a，f(a)(1a2)eaa，a>1，f(0)<0，f(a)>2aeaa>2aaa>0，f(0)f(a)<0，f(x)在(0，a)上有一零點，又f(x)在(，)上遞增，f(x)在(0，a)上僅有一個零點，f(x)在(，)上僅有一個零點.(3)證明f(x)(x1)2ex，設(shè)P(x0，y0)，則f(x0)ex0(x01)20，x01，把x0-1，代入yf(x)得y0-a，kOPa.f(m)em(m1)2a，令g(m)em(m1)，g(m)em1.令g(x)>0，則m>0，g(m)在(0，)上增.令g(x)<0，則m<0，g(m)在(，0)上減.g(m)ming(0)0.em(m1)0，即emm1.em(m1)2(m1)3，即a(m1)3.m1，即m1.3(2015課標全國)設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當a>0時，f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2x(x>0)當a0時，f(x)>0，f(x)沒有零點當a>0時，因為ye2x單調(diào)遞增，y單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(a)>0，當b滿足0<b<且b<時，f(b)<0，故當a>0時，f(x)存在唯一零點(2)證明由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)的唯一零點為x0，當x(0，x0)時，f(x)<0；當x(x0，)時，f(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當xx0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故當a>0時，f(x)2aaln.4已知函數(shù)f(x).(1)若f(x)在區(qū)間(，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若a0，x0<1，設(shè)直線yg(x)為函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線，求證：f(x)g(x)(1)解易得f(x)，由已知得f(x)0對x(，2)恒成立，故x1a對x(，2)恒成立，1a2，a1.(2)證明a0，則f(x).函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線方程為yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，則h(x)f(x)f(x0).設(shè)(x)(1x)ex0(1x0)ex，xR，則(x)ex0(1x0)ex，x0<1，(x)<0，(x)在R上單調(diào)遞減，而(x0)0，當x<x0時，(x)>0，當x>x0時，(x)<0，當x<x0時，h(x)>0，當x>x0時，h(x)<0，h(x)在區(qū)間(，x0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，)上為減函數(shù)，xR時，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)