2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題15 利用導(dǎo)數(shù)證明多元不等式.doc

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專題15 利用導(dǎo)數(shù)證明多元不等式【熱點聚焦與擴展】利用函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)證明不等式，是導(dǎo)數(shù)綜合題常涉及的問題，多元不等式的證明則是導(dǎo)數(shù)綜合題的一個難點，其困難之處是如何構(gòu)造、轉(zhuǎn)化合適的一元函數(shù)，本專題擬通過一些典型模擬習(xí)題為例介紹常用的處理方法.1、在處理多元不等式時起碼要做好以下準(zhǔn)備工作：（1）利用條件粗略確定變量的取值范圍（2）處理好相關(guān)函數(shù)的分析（單調(diào)性，奇偶性等），以備使用2、若多元不等式是一個輪換對稱式（輪換對稱式：一個元代數(shù)式，如果交換任意兩個字母的位置后，代數(shù)式不變，則稱這個代數(shù)式為輪換對稱式），則可對變量進行定序3、證明多元不等式通常的方法有兩個 （1）消元： 利用條件代入消元 不等式變形后對某多元表達式進行整體換元（2）變量分離后若結(jié)構(gòu)相同，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個函數(shù)，進而通過函數(shù)的單調(diào)性與自變量大小來證明不等式（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將自變量的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等關(guān)系，再尋找方法.【經(jīng)典例題】例1【2018屆四川省資陽市高三4月模擬（三診）】已知函數(shù)（其中）（1）當(dāng)時，判斷零點的個數(shù)k；（2）在（1）的條件下，記這些零點分別為，求證： 【答案】(1)見解析;(2)見解析.【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，根據(jù)零點列表分析導(dǎo)函數(shù)符號，進而確定函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)零點存在定理確定函數(shù)零點個數(shù)，（2）先根據(jù)零點條件化簡得，令則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得，即證得結(jié)論.試題解析：（1）由題知x0， ，所以，由得，當(dāng)x時， ， 為增函數(shù)；當(dāng)0x0).（1）如圖，設(shè)直線x=-12,y=-x將坐標(biāo)平面分成、四個區(qū)域（不含邊界），若函數(shù)y=fx的圖象恰好位于其中一個區(qū)域內(nèi)，判斷其所在的區(qū)域并求對應(yīng)的a的取值范圍；（2）當(dāng)a 12時，求證：x1,x20,+且x1x2，有fx1+fx21e；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義域確定只能在3，4區(qū)域，再根據(jù)f(0)=-a0確定只能在4，轉(zhuǎn)化為不等式f(x)ln(2x+1)2x+1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)h(x)=ln(2x+1)2x+1單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得a的取值范圍；（2）作差函數(shù)g(x)=f(x)+f(x1)-2f(x+x12)，再利用二次求導(dǎo)確定g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，最后根據(jù)x2x1，得g(x2)g(x1)=0，即得結(jié)論.試題解析：（1）函數(shù)的定義域為(-12,+)，且當(dāng)x=0時，f(0)=-a0又直線y=-x恰好通過原點，函數(shù)y=f(x)的圖象應(yīng)位于區(qū)域內(nèi)， 于是可得f(x)-x， 即(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x0，aln(2x+1)2x+1 a的取值范圍是a1e （2）f(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1， 設(shè)u(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1,則u(x)=42x+1-8a，x0時,42x+112時,8a4，u(x)=42x+1-8a0時 f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，不妨設(shè)x2x10，令g(x)=f(x)+f(x1)-2f(x+x12)（xx1），可得g(x1)=0， g(x)=f(x)-f(x+x12)，xx+x12且f(x)單調(diào)遞減函數(shù)，g(x)x1，g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)， g(x2)g(x1)=0，即f(x1)+f(x2)2f(x1+x22) 例8【2018屆遼寧省大連市高三一模】已知函數(shù)fx=lnx，gx=x+m.若fxgx恒成立，求m的取值范圍；已知x1，x2是函數(shù)Fx=fx-gx的兩個零點，且x1x2，求證：x1x21.【答案】（1）m-1（2）見解析0x0，所以F(x)在(1,+)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)在x=1處取得最大值，為-1-m， 若f(x)g(x)恒成立，則-1-m0即m-1. 2方法一：0x11，lnx1-x1-m=0lnx2-x2-m=0,lnx2-x2=lnx1-x1，即lnx2-lnx1=x2-x1x2-x1lnx2-lnx1=1， 欲證：x1x21，只需證明x1x21=x2-x1lnx2-lnx1，只需證明lnx2-lnx1x2-x1x1x2，只需證明lnx2x11，則只需證明2lnt1)，即證：2lnt-t+1t1). 設(shè)H(t)=2lnt-t+1t(t1)，H(t)=2t-1-1t2=-(t-1)2t20，H(t)在(1,+)單調(diào)遞減，H(t)H(1)=2ln1-1+1=0，只需證F(1x1)=ln1x1-1x1-m0， 又F(x1)=lnx1-x1-m=0，m=lnx1-x1即證ln1x1-1x1-m=ln1x1-1x1+x1-lnx10即證-1x1+x1-2lnx10，(0x11).令h(x)=-1x+x-2lnx(0x0，有h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，h(x)h(1)=0，h(x1)=-1x1+x1-2lnx10.所以原不等式x1x2b，證明：ab+1ba+1.【答案】（I）見解析；（II）見解析.【解析】試題分析：（）函數(shù)求導(dǎo)得f(x)=m(1-lnx)(mx)2，分m0和mba+1，只需證：b+1lnaa+1lnb，即證：lnaa+1lnbb+1，從而可構(gòu)造g(x)=lnxx+1，求導(dǎo)由函數(shù)單調(diào)性可證得.對x(e,+)，有f(x)0，函數(shù)f(x)在x(e,+)單調(diào)遞增（II）對a,b(1,e)且ab，欲證：ab+1ba+1只需證：（b+1）lna（a+1）lnb即證：lnaa+1lnbb+1.設(shè)g(x)=lnxx+1，則g(x)=1+1x-lnx(x+1)2令M(x)=1+1x-lnx，則M(x)=-1x2-1x=-1+xx2當(dāng)x(1,e)時，有M(x)0，則當(dāng)x(1,e)時，g(x)0，所以g(x)在x(1,e)單調(diào)遞增當(dāng)ab且a,b(1,e)時，有g(shù)(a)g(b)，即lnaa+1lnbb+1 lnaa+1lnbb+1成立故原不等式成立2【2018屆重慶市（非市直屬校）高三第二次質(zhì)量調(diào)研】已知函數(shù).（）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（）當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，證明： 【答案】（1）（2）見解析得，令,，解得在單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減, 所以, 所以.(2)函數(shù)有兩個極值點,即 有兩個不同的零點,且均為正，令,由可知在是增函數(shù)，在是減函數(shù)， 且，構(gòu)造， 構(gòu)造函數(shù)， 則,故在區(qū)間上單調(diào)減，點睛：本題的難點在多次構(gòu)造函數(shù).第一次求導(dǎo)得到 ，由于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不是很方便，所以需要再次求導(dǎo)，所以要構(gòu)造，再研究新函數(shù)的圖像和性質(zhì)，后面又要構(gòu)造函數(shù)m(x).為什么要構(gòu)造，這是大家需要理解掌握并靈活運用.3【2018屆四川省資陽市高三4月模擬（三診）】已知函數(shù)（其中）（1）當(dāng)時，求零點的個數(shù)k的值；（2）在（1）的條件下，記這些零點分別為，求證： 【答案】（1）見解析；（2）見解析. ，只需利用導(dǎo)數(shù)證明即可得結(jié)論.試題解析：（1）由題x0， ，則，由得，當(dāng)x時， ， 為增函數(shù)；當(dāng)0x 時， ， 為減函數(shù)，所以因為，所以，而，又，所以當(dāng)時， 零點的個數(shù)為2 （2）由（1）知的兩個零點為，不妨設(shè)，于是且，兩式相減得（*）， 令，則將代入（*）得，進而，所以，下面證明，其中，即證明，設(shè)，則，令 ，則，所以，得證4【2018屆四川省攀枝花市高三第三次（4月）統(tǒng)考】已知函數(shù)， .(I)若函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)且單調(diào)性相反,求實數(shù)的取值范圍；()若,證明: 【答案】（）；（）見解析【解析】試題分析：（）求得，得到在上單調(diào)遞增，得在上均單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參數(shù)，令得到在上單調(diào)遞增， ，即可求解的取值范圍；（）由（）在上單調(diào)遞增，得，即，令得，所以在上單調(diào)遞增， ，所以即.（）由（）在上單調(diào)遞增，即，令得， 在（）中，令由在上均單調(diào)遞減得： 所以，即，取得，即，由得： 綜上： 5【2018屆吉林省吉林市高三第三次調(diào)研】已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)，若函數(shù)在內(nèi)有兩個極值點，求證： .【答案】（1）極大值，極小值 （2）見解析【解析】試題分析：（1）當(dāng)時， ，求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值（2）由題意得，設(shè)，結(jié)合題意可試題解析：（1）當(dāng)時， . 當(dāng)時， 單調(diào)遞增；當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減 所以在上有極大值，極小值 （2）由題意得，設(shè)，函數(shù)在內(nèi)有兩個極值點，方程在上有兩個不相等的實根，且1不能是方程的根，6【2018屆高三第一次全國大聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)=2-ax+xlnx有兩個零點x1,x2（x14.【答案】（1）(1+ln2,+)；（2）見解析【解析】試題分析：（1）利用分離參數(shù)思想可將題意轉(zhuǎn)化為g(x)=2x+lnx（x0）和y=a有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性得到函數(shù)g(x)的大致圖象，結(jié)合圖像即可得結(jié)果；（2）結(jié)合零點定義化簡整理可得2(x2-x1)x1x2=lnx2x1，設(shè)x2x1=t，則t1，故x1+x2-4=2(t-1t-2lnt)lnt，記函數(shù)h(t)=t-1t-2lnt（t1），利用導(dǎo)數(shù)判斷h(t)的單調(diào)性，得h(t)0，故而可得結(jié)果.試題解析：（1）由題知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+).所以函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示，作出直線y=a，由圖可知，實數(shù)a的取值范圍為(1+ln2,+).（2）由題意f(x1)=f(x2)=0，即2-ax1+x1lnx1=02-ax2+x2lnx2=0，所以a=2+x1lnx1x1a=2+x2lnx2x2.故2+x1lnx1x1=2+x2lnx2x2，即2x1+lnx1=2x2+lnx2，整理得2x1-2x2=lnx2-lnx1，即2(x2-x1)x1x2=lnx2x1，不妨設(shè)x2x1=t，由題意得t1.則lnt=lnx2x1=2(x2-x1)x1x2=2(tx1-x1)x1tx1=2(t-1)tx1，所以x1=2(t-1)tlnt.所以x1+x2=2(t-1)tlnt+t2(t-1)tlnt=2(t2-1)tlnt，故x1+x2-4=2(t2-1)tlnt-4=2(t2-1)-4tlnttlnt=2(t-1t-2lnt)lnt 7【2018屆吉林省長春市高三質(zhì)量監(jiān)測（三）】已知函數(shù)f(x)=x2-4x+5-aex.（1）若f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍； （2）設(shè)g(x)=exf(x)，當(dāng)m1時，若g(x1)+g(x2)=2g(m)，其中x1mx2，求證：x1+x22m.【答案】(1) a2e,+) (2)見解析【解析】試題分析：（1）f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)等價于在xR上，f(x)=2x-4+aex0恒成立，即：a(4-2x)ex，構(gòu)造新函數(shù)求最值即可；（2）要證x1+x2x2，記x=x2-4x+5ex，易證x在xR上遞增，轉(zhuǎn)證2m-x1x2.試題解析：（1） fx的定義域為xR且單調(diào)遞增，在xR上，f(x)=2x-4+aex0恒成立，即：a(4-2x)ex設(shè)h(x)=(4-2x)ex xR ， h(x)=(2-2x)ex， 當(dāng)x(-,1)時h(x)0， h(x)在x(-,1)上為增函數(shù)，當(dāng)x1,+)時h(x)0， h(x)在x1,+)上為減函數(shù)， h(x)max=h(1)=2e a(4-2x)exmax， a2e，即a2e,+) . （2） gx=exfx=x2-4x+5ex-a gx1+gx2=2gm m1,+， 設(shè)Fx=m+x+m-x，x0,+ Fx=m+x-12em+x-m-x-12em-x x0 em+xem-x0，m+x-12-m-x-12=2m-22x0 Fx0，F(xiàn)x在x0,+上遞增， FxF0=2m， m+x+m-x2m，x0,+，令x=m-x1 m+m-x1+m-m+x12m即：2m-x1+x12m又 (x1)+(x2)=2(m)， 2m-x1+2m-x22m即：2m-x1x2 x1m 2m-x1m， x在xR上遞增 2m-x1x2，即：x1+x22m，得證. 8【2018屆四川省廣元市高第二次統(tǒng)考】已知函數(shù) .（）當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；（）若函數(shù)有兩個不同零點， ，且，求證： ，其中是的導(dǎo)函數(shù).【答案】（）y2x1；（）證明見解析.試題解析：（）當(dāng)時， ， ，切點坐標(biāo)為，切線的斜率，切線方程為，即（）的圖象與軸交于兩個不同的點， ，方程的兩個根為， ，則，兩式相減得，又， ，則，下證（*），即證明，令，即證明在上恒成立，又，在上是增函數(shù)，則，從而知，故（*）式，即成立.9【2018屆江蘇省蘇北六市高三第二次調(diào)研】設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)a， (， )， 是的導(dǎo)函數(shù)若對任意的x0， 0，求證：存在，使0；若，求證： 【答案】（1）；（2）見解析因為，所以對恒成立，因為，所以，從而 （2），所以若，則存在，使，不合題意，所以取，則此時所以 下面證明，即證明，只要證明設(shè)，所以在恒成立所以在單調(diào)遞減，故，從而得證所以， 即點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運用，尤其在證明不等式的過程中，運用了放縮的方法將結(jié)果求證出來，在證明時，也是利用了不等式關(guān)系構(gòu)得到，然后構(gòu)造新函數(shù)證明出結(jié)果，綜合能力較強，本題較難.10【2018屆山東省棗莊市高三二模】已知曲線與軸有唯一公共點.（）求實數(shù)的取值范圍；（）曲線在點處的切線斜率為.若兩個不相等的正實數(shù)， 滿足，求證： .【答案】() ；()證明見解析.【解析】試題分析： 求導(dǎo)得，討論、時兩種情況，由函數(shù)與軸有唯一公共點，借助零點存在定理和極限求出的取值范圍由（）的結(jié)論，求導(dǎo)結(jié)合題意解得，由，不妨設(shè)， ，構(gòu)造即可證明解析：（）解：函數(shù)的定義域為. .由題意，函數(shù)有唯一零點. .（1）若，則.顯然恒成立，所以在上是增函數(shù).又，所以符合題意.（2）若， . ； .令，則 .； .所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以， ，且.取正數(shù)，則 ；因為，所以 .又在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則由零點存在性定理， 在、上各有一個零點.可見， ，或不符合題意.注： 時，若利用， ， ，說明在、上各有一個零點.若，顯然，即.符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.（）由題意， .所以，即.由（）的結(jié)論，得.， 在上是增函數(shù).； .由，不妨設(shè)，則.從而有，即.所以 .令，顯然在上是增函數(shù)，且.所以.從而由，得.點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的零點問題和不等式問題，在求解零點問題時注意分類討論，利用零點存在定理和極限來確定零點個數(shù)，在不確定的情況下需要再次利用導(dǎo)數(shù)來解答，證明不等式時需要構(gòu)造新函數(shù)，本題難度較大.11【2018屆河南省豫北豫南名校高三上學(xué)期精英聯(lián)賽】已知函數(shù)（， ）有兩個不同的零點， （1）求的最值；（2）證明： 【答案】（1）見解析；（2）見解析試題解析：（1）， 有兩個不同的零點，在內(nèi)必不單調(diào)，故，此時，解得，在上單增， 上單減，無最小值（2）由題知兩式相減得，即，故要證，即證，即證，不妨設(shè)，令，則只需證，設(shè)，則，設(shè)，則，在上單減，在上單增，即在時恒成立，原不等式得證12【2018屆山東省濟南市高三一?！恳阎瘮?shù) 有兩個不同的零點.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)， 是的兩個零點，證明： .【答案】(1) (2)見解析利用導(dǎo)數(shù)證明，于是，即， 在上單調(diào)遞減，可得，進而可得結(jié)果.試題解析：（1）【解法一】函數(shù)的定義域為： . ，當(dāng)時，易得，則在上單調(diào)遞增，則至多只有一個零點，不符合題意，舍去.當(dāng)時，令得： ，則+0-增極大減 .（ii）當(dāng)時， ， ，在區(qū)間上有一個零點， ，設(shè)， ，在上單調(diào)遞減，則，則至多只有一個零點，不符合題意，舍去.當(dāng)時，令得： ，則+0-增極大減 .要使函數(shù)有兩個零點，則必有，即，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，又，；當(dāng)時： ，在區(qū)間上有一個零點；設(shè)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，則，在區(qū)間上有一個零點，那么，此時恰有兩個零點.綜上所述，當(dāng)有兩個不同零點時， 的取值范圍是.（2）【證法一】由（1）可知，有兩個不同零點，且當(dāng)時， 是增函數(shù)；當(dāng)時， 是減函數(shù)；， ， 在上單調(diào)遞減，.（2）【證法二】由（1）可知，有兩個不同零點，且當(dāng)時， 是增函數(shù)；當(dāng)時， 是減函數(shù)；不妨設(shè)： ，則： ；設(shè)， ，則