2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例（第1課時(shí)）高度、距離問(wèn)題學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

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第1課時(shí)高度、距離問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用正弦、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中有關(guān)不可到達(dá)點(diǎn)距離的測(cè)量問(wèn)題.2.培養(yǎng)提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力知識(shí)點(diǎn)一實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)1鉛垂平面與地面垂直的平面2仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示3視角觀察物體時(shí)，從物體兩端引出的光線在人眼光心處形成的角知識(shí)點(diǎn)二測(cè)量方案測(cè)量某個(gè)量的方法有很多，但是在實(shí)際背景下，有些方法可能沒(méi)法實(shí)施，比如直接測(cè)量某樓高這個(gè)時(shí)候就需要設(shè)計(jì)方案繞開(kāi)障礙間接地達(dá)到目的設(shè)計(jì)測(cè)量方案的基本任務(wù)是把目標(biāo)量轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的量，并盡可能提高精確度一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，精確度越高1已知三角形的三個(gè)角，能夠求其三條邊()2兩點(diǎn)間不可通又不可視問(wèn)題的測(cè)量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造已知兩邊及夾角的三角形并求解()3兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)問(wèn)題的測(cè)量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造已知兩角及一邊的三角形并求解()題型一測(cè)量高度問(wèn)題例1如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC10m，從D，C兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30和45，則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A10mB5mC5(1) mD5(1) m答案D解析方法一設(shè)ABxm，則BCxm.BD(10x)m.tanADB.解得x5(1)A點(diǎn)離地面的高AB等于5(1)m.方法二ACB45，ACD135，CAD1801353015.由正弦定理，得ACsinADCsin30m，ABACsin455(1)m.反思感悟利用正弦、余弦定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要從所給的實(shí)際背景中，進(jìn)行加工、提煉，抓住本質(zhì)，抽象出數(shù)學(xué)模型，使之轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練1江岸邊有一炮臺(tái)C高30m，江中有兩條船B，A，船與炮臺(tái)底部D在同一直線上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和30，則兩條船相距_m.答案30(1)解析在ABC中，由題意可知AC60(m)，BC30(m)，ACB15，AB2(30)260223060cos151800(2)，所以AB30(1)m.題型二測(cè)量距離問(wèn)題例2如圖，為測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)的距離，在河的這邊測(cè)出CD的長(zhǎng)為km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B兩點(diǎn)間的距離解在BCD中，CBD1803010545，由正弦定理得，則BC(km)在ACD中，CAD180606060，ACD為正三角形，ACCD(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 452，AB(km)河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離為km.反思感悟測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，一般是把求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后把求未知的另外邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測(cè)量問(wèn)題，運(yùn)用正弦定理解決跟蹤訓(xùn)練2要測(cè)量河對(duì)岸兩地A，B之間的距離，在岸邊選取相距100米的C，D兩點(diǎn)，并測(cè)得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求A，B兩地的距離解如圖在ACD中，CAD180(12030)30，ACCD100(米)在BCD中，CBD180(4575)60，由正弦定理得BC200sin 75(米)在ABC中，由余弦定理，得AB2(100)2(200sin 75)22100200sin 75cos 75100210025，AB100(米)河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離為100米三角測(cè)量中的數(shù)學(xué)抽象典例如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，cosA，cosC.求索道AB的長(zhǎng)解在ABC中，因?yàn)閏os A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.素養(yǎng)評(píng)析數(shù)學(xué)抽象指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象在本例中，我們舍去A，B，C三處的景致、海拔、經(jīng)度、緯度等非本質(zhì)屬性，得到純粹的三個(gè)點(diǎn)，舍掉步行、乘纜車、速度等表征，直接抽象出線段AC，AB的長(zhǎng)，都屬于數(shù)學(xué)抽象.1如圖，在河岸AC上測(cè)量河的寬度BC，測(cè)量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是 ()Aa，c，Bb，c，Cc，a，Db，答案D解析由，可求出，由，b，可利用正弦定理求出BC.故選D.2如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者與A在河的同側(cè)，在A所在的河岸邊先確定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C的距離為50m，ACB45，CAB105后，可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A50mB50mC25mD.m答案A解析ABC1804510530，在ABC中，由，得AB10050 m.3如圖，某人向正東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)120，再朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好千米，那么x的值是_答案4解析由余弦定理，得x293x13，整理得x23x40，解得x4(舍負(fù))4如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)km.答案7解析因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以DB.在ABC和ADC中，由余弦定理可得8252285cos(D)3252235cos D，整理得cos D，代入得AC2325223549，故AC7.1運(yùn)用正弦定理就能測(cè)量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”，而測(cè)量“兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”要綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理測(cè)量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”是測(cè)量“兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”的基礎(chǔ)，這兩類測(cè)量距離的題型間既有聯(lián)系又有區(qū)別2正弦、余弦定理在實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用的一般步驟(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.一、選擇題1海上有A，B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B，C間的距離是()A10nmileB.nmileC5nmileD5nmile答案D解析在ABC中，C180607545.由正弦定理得，解得BC5 (nmile)2.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4m，A30，則其跨度AB的長(zhǎng)為()A12mB8mC3mD4m答案D解析由題意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理，得，即AB4.3在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為，對(duì)著山峰在地面上前進(jìn)600m后測(cè)得仰角為2，繼續(xù)在地面上前進(jìn)200m以后測(cè)得山峰的仰角為4，則該山峰的高度為()A200mB300mC400mD100m答案B解析方法一如圖，BED，BDC為等腰三角形，BDED600 m，BCDC200 m.在BCD中，由余弦定理可得cos 2，又02180，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300(m)，故選B.方法二由于BCD是等腰三角形，BDDCcos 2，即300200cos 2，cos 2，又02180，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300(m)，故選B.4如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來(lái)從A地到B地須經(jīng)C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛已知AC10km，A30，B45，則隧道開(kāi)通后，汽車從A地到B地比原來(lái)少走(結(jié)果精確到0.1 km)(參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73)()A3.4kmB2.3kmC5.1kmD3.2km答案A解析過(guò)點(diǎn)C作CDAB，垂足為D.在RtCAD中，A30，AC10 km，CDACsin 305(km)，ADACcos 305(km)在RtBCD中，B45，BDCD5(km)，BC5(km)ABADBD(55)(km)，ACBCAB105(55)555551.4151.733.4(km)5某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80，塔頂仰角為45，此人沿南偏東40方向前進(jìn)10m到D，測(cè)得塔頂A的仰角為30，則塔高為()A15mB5mC10mD12m答案C解析如圖，設(shè)塔高為h，在RtAOC中，ACO45，則OCOAh.在RtAOD中，ADO30，則ODh.在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h10或h5(舍)6要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)分別測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500m，則電視塔在這次測(cè)量中的高度是()A100mB400mC200mD500m答案D解析由題意畫(huà)出示意圖，設(shè)高ABh，在RtABC中，由已知得BCh，在RtABD中，由已知得BDh，在BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosBCD，即3h2h25002h500，解得h500或h250(舍)二、填空題7.如圖，為測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，沿河岸選取相距40米的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得ACB60，BCD45，ADB60，ADC30，則A，B兩點(diǎn)之間的距離是_答案20米解析在BCD中，BDC603090，BCD45，CBD9045BCD，BDCD40，BC40.在ACD中，ADC30，ACD6045105，CAD180(30105)45.由正弦定理，得AC20.在ABC中，由余弦定理，得AB2BC2AC22BCACcosBCA(40)2(20)224020cos602400，AB20，故A，B兩點(diǎn)之間的距離為20米8如圖所示，為了測(cè)定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得CAB30，CBA75，AB120m，則河的寬度為_(kāi)m.答案60解析在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75，ACBABC，ACAB120(m)如圖，作CDAB，垂足為D，則CD即為河的寬度由正弦定理得，CD60，河的寬度為60m.9地平面上一旗桿設(shè)為OP，為測(cè)得它的高度h，在地平面上取一基線AB，AB200m，在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為OAP30，在B處測(cè)得P的仰角OBP45，又測(cè)得AOB60，則旗桿的高h(yuǎn)為_(kāi)m.答案解析如圖OPh，OAP30，OBP45，AOB60，AB200m.在AOP中，OPOA，AOP90，則OAh，同理，在BOP中，BOP90，且OBP45，OBOPh.在OAB中，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcosAOB，即20023h2h22h2cos60，解得h.10.我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和點(diǎn)D處，已知CD6km，ACD45，ADC75，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)B處時(shí)，測(cè)得BCD30，BDC15(如圖)，則我炮兵陣地到目標(biāo)的距離為_(kāi)km.答案解析在ACD中，CAD180ACDADC60，ACD45，根據(jù)正弦定理，有ADCD，同理，在BCD中，CBD180BCDBDC135，BCD30，根據(jù)正弦定理，有BDCD，在ABD中，ADBADCBDC90，根據(jù)勾股定理，有ABCDCD，所以我炮兵陣地到目標(biāo)的距離為km.三、解答題11如圖所示，在高出地面30m的小山頂上建造一座電視塔CD，今在距離B點(diǎn)60m的地面上取一點(diǎn)A，若測(cè)得CAD45，求此電視塔的高度解設(shè)CDxm，BAC，則在ABC中，tan.DAB45，tanDABtan(45)，又tan(45)3，3，解得x150.電視塔的高度為150m.12.一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由A點(diǎn)開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng)，如圖所示，已知AB4dm，AD17dm，BAD45，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在何處截住足球？解設(shè)機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球，點(diǎn)C在線段AD上，連接BC，如圖所示，設(shè)BCxdm，由題意知CD2xdm，ACADCD(172x)dm.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosA，即x2(4)2(172x)28(172x)cos45，解得x15，x2.所以AC172x7(dm)或AC(dm)(舍去)所以該機(jī)器人最快可在線段AD上離A點(diǎn)7dm的點(diǎn)C處截住足球13如圖，從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BC是()A240(1) mB180(1) mC120(1) mD30(1) m答案C解析由題意知，在RtADC中，C30，AD60m，AC120m在ABC中，BAC753045，ABC1804530105，由正弦定理，得BC120(1)(m)14.在某次地震時(shí)，震中A(產(chǎn)生震動(dòng)的中心位置)的南面有三座東西方向的城市B，C，D.已知B，C兩市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D兩市之間，如圖所示，某時(shí)刻C市感到地表震動(dòng)，8s后B市感到地表震動(dòng)，20s后D市感到地表震動(dòng)，已知震波在地表傳播的速度為每秒1.5km.求震中A到B，C，D三市的距離解在ABC中，由題意得ABAC1.5812 (km)在ACD中，由題意得ADAC1.52030(km)設(shè)ACx km，AB(12x) km，AD(30x)km.在ABC中，cosACB，在ACD中，cosACD.B，C，D在一條直線上，即，解得x.AB km，AD km.即震中A到B，C，D三市的距離分別為 km， km， km.