2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《不等式的應用》.doc

《2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《不等式的應用》.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《不等式的應用》.doc（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料不等式的應用1排序不等式（又稱排序原理）設有兩個有序數(shù)組及則（同序和）（亂序和）（逆序和）其中是1，2，n的任一排列.當且僅當或時等號（對任一排列）成立.2應用排序不等式可證明“平均不等式”：設有n個正數(shù)的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是 此外，還有調(diào)和平均數(shù)（在光學及電路分析中要用到，和平方平均（在統(tǒng)計學及誤差分析中用到） 這四個平均值有以下關系. 3應用算術平均數(shù)幾何平均數(shù)不等式，可用來證明下述重要不等式.柯西（Cavchy）不等式：設、，是任意實數(shù)，則等號當且僅當為常數(shù)，時成立.4利用排序不等式還可證明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若， ，則例題講解1求證：2，求證： 3：4設，且各不相同，求證：.5利用基本不等式證明6已知求證：7利用排序不等式證明8證明：對于任意正整數(shù)R，有9n為正整數(shù)，證明：例題答案：1. 證明： 評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明時，可將配方為，亦可利用，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.不等式關于對稱，不妨，且，都大于等于1.評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定個字母的大小順序，可方便解題. （2）本題可作如下推廣：若 （3）本題還可用其他方法得證。因，同理，另，4式相乘即得證. （4）設例3等價于類似例4可證事實上，一般地有排序不等式（排序原理）：設有兩個有序數(shù)組，則（順序和）（亂序和）（逆序和）其中的任一排列.當且僅當或時等號成立.排序不等式應用較為廣泛（其證明略），它的應用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個有序數(shù)組的積的形式.如.3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.不妨設，則（亂序和）（逆序和），同理（亂序和）（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)組，仿上可證第二個不等式.4.分析：不等式右邊各項；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.設的重新排列，滿足，又所以.由于是互不相同的正整數(shù)，故從而，原式得證.評述：排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.如，可在不等式兩邊同時加上再如證時，可連續(xù)使用基本不等式.（2）基本不等式有各種變式 如等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6. 思路分析：不等式左邊是、的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉(zhuǎn)化為、的4次式呢.要證即證評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知求證：右側(cè)的可理解為再如已知，求證：+，此處可以把0理解為，當然本題另有簡使證法.（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于個正數(shù)調(diào)和平均幾何平均算術平均平方平均這四個平均值有以下關系：，其中等號當且僅當時成立.7. 證明: 令則，故可取，使得由排序不等式有：=（亂序和） （逆序和） =n，評述:對各數(shù)利用算術平均大于等于幾何平均即可得，.8. 分析:原不等式等價于，故可設法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個數(shù)的幾何平均，而右邊為其算術平均.評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應項的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式 （*）（*）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.