2019-2020年高三第三次模擬考試 數(shù)學.doc

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2019-2020年高三第三次模擬考試 數(shù)學注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務必將自己的姓名、學校寫在答題卡上試題的答案寫在答題卡上對應題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題卡參考公式：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù)柱體的體積公式：VSh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高錐體的體積公式：VSh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應位置上1已知全集U1，2，3，4，集合A1，4，B3，4，則(AB) （第4題圖）Read xIf x0 Then y2Else y 2x2End IfPrint y2甲盒子中有編號分別為1，2的2個乒乓球，乙盒子中有編號分別為3，4，5，6的4個乒乓球現(xiàn)分別從兩個盒子中隨機地各取出1個乒乓球，則取出的乒乓球的編號之和大于6的概率為 3若復數(shù)z滿足z232i，其中i為虛數(shù)單位，為復數(shù)z的共軛復數(shù)，則復數(shù)z的模為 4執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出y的值為1，則輸入x的值為 7 7 9 0 8 94 8 1 0 3 5甲 乙（第5題圖）5如圖是甲、乙兩名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則在這五場比賽中得分較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪敲\動員的得分的方差為 6在同一直角坐標系中，函數(shù)ysin(x) （x0，2）的圖象和直線y 的交點的個數(shù)是 7在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1的焦距為6，則所有滿足條件的實數(shù)m構(gòu)成的集合是 8已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)當x2，4時，f(x)|log4(x)|，則f()的值為 9若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a3a12，則a5的最小值為 ACBA1B1C1D（第10題圖）10如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，點D為側(cè)棱BB1上的動點當ADDC1最小時，三棱錐DABC1的體積為 11若函數(shù)f(x)ex(x22xa)在區(qū)間a，a1上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最大值為 12在凸四邊形ABCD中， BD2，且0，()()5，則四邊形ABCD的面積為 13. 在平面直角坐標系xOy中，圓O：x2y21，圓M：(xa3)2(y2a)21(a為實數(shù))若圓O與圓M上分別存在點P，Q，使得OQP30，則a的取值范圍為 14已知a，b，c為正實數(shù)，且a2b8c，則的取值范圍為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）ABCFED（第15題圖）如圖，在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD上的點，且BD平面AEF（1）求證：EF平面ABD；（2）若BDCD，AE平面BCD，求證：平面AEF平面ACD16（本小題滿分14分）已知向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，(0，)（1）若ab(，0)，求t的值；（2）若t1，且a b1，求tan(2)的值17（本小題滿分14分）在一水域上建一個演藝廣場演藝廣場由看臺，看臺，三角形水域ABC，及矩形表演臺BCDE四個部分構(gòu)成（如圖）看臺，看臺是分別以AB，AC為直徑的兩個半圓形區(qū)域，且看臺的面積是看臺的面積的3倍；矩形表演臺BCDE中，CD10米；三角形水域ABC的面積為400平方米設(shè)BAC（1）求BC的長（用含的式子表示）；（2）若表演臺每平方米的造價為0.3萬元，求表演臺的最低造價CBA水域看臺表演臺看臺DE（第17題圖）18（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓1(ab0)的右頂點和上頂點分別為A，B，M為線段AB的中點，且b2（1）求橢圓的離心率；xyOCBDMA（第18題圖）（2）已知a2，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，ABDC記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值19（本小題滿分16分）已知常數(shù)p0，數(shù)列an滿足an1|pan|2 anp，nN（1）若a11，p1， 求a4的值； 求數(shù)列an的前n項和Sn（2）若數(shù)列an中存在三項ar，as，at (r，s，tN，rst)依次成等差數(shù)列，求的取值范圍20（本小題滿分16分）已知R，函數(shù)f (x)exex(xlnxx1)的導函數(shù)為g(x)（1）求曲線yf (x)在x1處的切線方程；（2）若函數(shù)g (x)存在極值，求的取值范圍；（3）若x1時，f (x)0恒成立，求的最大值南京市xx高三第三次模擬考試一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分.）12 2 3 41 56.8 627 8 98 10 11 123 13，0 1427，30二、解答題（本大題共6小題，計90分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）15（本小題滿分14分）證明：（1）因為BD平面AEF，BD平面BCD，平面AEF平面BCDEF，所以 BDEF 3分因為BD平面ABD，EF平面ABD，所以 EF平面ABD 6分（2）因為AE平面BCD，CD平面BCD，所以 AECD 8分因為 BDCD，BDEF，所以 CDEF， 10分又 AEEFE，AE平面AEF，EF平面AEF，所以 CD平面AEF 12分又 CD平面ACD，所以 平面AEF平面ACD 14分16（本小題滿分14分）解：（1）因為向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，且ab(，0)，所以cossin，tsin2 2分由cossin 得 (cossin)2，即12sincos，從而2sincos 所以(cossin)212sincos 因為(0，)，所以cossin 5分 所以sin， 從而tsin2 7分（2）因為t1，且a b1，所以4sincossin21，即4sincoscos2因為(0，)，所以cos0，從而tan 9分所以tan2 11分從而tan(2) 14分17（本小題滿分14分） 解：（1）因為看臺的面積是看臺的面積的3倍，所以ABAC在ABC中，SABCABACsin400，所以AC2 3分由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos，4AC22AC2 cos(42cos) ，即BC 40 所以 BC40 ，(0，) 7分（2）設(shè)表演臺的總造價為W萬元因為CD10m，表演臺每平方米的造價為0.3萬元，所以W3BC120 ，(0，) 9分記f()，(0，)則f () 11分由f ()0，解得當(0，)時，f ()0；當(，)時，f ()0故f()在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，從而當 時，f()取得最小值，最小值為f()1 所以Wmin120(萬元) 答：表演臺的最低造價為120萬元 14分18（本小題滿分16分）解：（1）A(a，0)，B(0，b)，由M為線段AB的中點得M(，)所以(，)，(a，b)因為b2，所以(，)(a，b)b2，整理得a24b2，即a2b 3分因為a2b2c2，所以3a24c2，即a2c所以橢圓的離心率e 5分（2）方法一：由a2得b1，故橢圓方程為y21 從而A(2，0)，B(0，1)，直線AB的斜率為 7分因為ABDC，故可設(shè)DC的方程為yxm設(shè)D(x1，y1)，C(x2，y2)聯(lián)立消去y，得x22mx2m220，所以x1x22m，從而x12mx2 9分直線AD的斜率k1，直線BC的斜率k2， 11分所以k1k2，即k1k2為定值 16分方法二：由a2得b1，故橢圓方程為y21 從而A(2，0)，B(0，1)，直線AB的斜率為 7分設(shè)C(x0，y0)，則y021因為ABCD，故CD的方程為y(xx0)y0聯(lián)立消去y，得x2(x02y0)x2x0y00，解得xx0（舍去）或x2y0所以點D的坐標為(2y0，x0) 13分所以k1k2，即k1k2為定值 16分19（本小題滿分16分）解：（1）因為p1，所以an1|1an|2 an1 因為 a11，所以a2|1a1|2 a111， a3|1a2|2 a213， a4|1a3|2 a319 3分 因為a21，an1|1an|2 an1， 所以當n2時，an1， 從而an1|1an|2 an1an12 an13an， 于是有 an3n2(n2) 5分 當n1時，S11； 當n2時，Sn1a2a3an1 所以 Sn即Sn，nN 8分（2）因為an1an|pan|anppananp2 p0， 所以an1an，即an單調(diào)遞增 10分 （i）當1時，有a1p，于是ana1p， 所以an1|pan|2 anpanp2 anp3an，所以an3n1a1 若an中存在三項ar，as，at (r，s，tN，rst)依次成等差數(shù)列，則有2 asarat，即23s13r13t1 （） 因為st1，所以23s13s3t13r13t1， 即（）不成立 故此時數(shù)列an中不存在三項依次成等差數(shù)列 12分 （ii）當1 1時，有pa1p 此時a2|pa1|2 a1ppa12 a1pa12 pp， 于是當n2時，ana2p， 從而an1|pan|2 anpanp2 anp3an 所以an3n2a23n2(a12p) (n2) 若an中存在三項ar，as，at (r，s，tN，rst)依次成等差數(shù)列， 同（i）可知，r1， 于是有23s2(a12 p)a13t2(a12p) 因為2st1，所以23s23t23s3t10因為23s23t2是整數(shù)，所以1， 于是a1a12p，即a1p，與pa1p相矛盾 故此時數(shù)列an中不存在三項依次成等差數(shù)列 14分 （iii）當1時，則有a1pp，a1p0， 于是a2| pa1|2a1ppa12 a1pa12p， a3|pa2|2a2p|pa1|2a15ppa12a15pa14p， 此時有a1，a2，a3成等差數(shù)列 綜上可知：1 16分20（本小題滿分16分）解：（1）因為f(x)exelnx， 所以曲線yf (x)在x1處的切線的斜率為f(1)0， 又切點為(1，f (1)，即(1，0)， 所以切線方程為y0 2分 （2）g (x)exelnx，g(x)ex 當0時，g(x)0恒成立，從而g (x)在(0，)上單調(diào)遞增， 故此時g (x)無極值 4分 當0時，設(shè)h(x)ex，則h(x)ex0恒成立， 所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞增 6分 當0e時，h(1)e0，h()ee0，且h(x)是(0，)上的連續(xù)函數(shù)，因此存在唯一的x0(，1)，使得h(x0)0 當e時， h(1)e0，h()e10，且h(x)是(0，)上的連續(xù)函數(shù)，因此存在唯一的x01，)，使得h(x0)0 故當0時，存在唯一的x00，使得h(x0)0 8分 且當0xx0時，h(x)0，即g(x)0，當xx0時，h(x)0，即g(x)0， 所以g (x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增， 因此g (x)在xx0處有極小值 所以當函數(shù)g (x)存在極值時，的取值范圍是(0，) 10分（3）g (x)f(x)exelnx，g(x)ex若g(x)0恒成立，則有xex恒成立 設(shè)(x)xex(x1)，則(x)(x1) ex0恒成立， 所以(x)單調(diào)遞增，從而(x)(1)e，即e 于是當e時，g (x)在1，)上單調(diào)遞增， 此時g (x)g (1)0，即f(x)0，從而f (x)在1，)上單調(diào)遞增 所以f (x)f (1)0恒成立 13分 當e時，由（2）知，存在x0(1，)，使得g (x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，即f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減所以當1xx0時，f(x)f(1)0，于是f (x)在1，x0)上單調(diào)遞減，所以f (x0)f (1)0這與x1時，f (x)0恒成立矛盾因此e，即的最大值為e 16分南京市xx高三第三次模擬考試數(shù)學附加參考答案及評分標準21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講ABCDE（第21(A)圖）證明：連結(jié)BE因為AD是邊BC上的高，AE是ABC的外接圓的直徑，所以ABE ADC90 4分AEBACD， 6分所以ABEADC， 8分所以 即ABACADAE 10分B選修42：矩陣與變換解：（1）AX 2分因為AX，所以解得x3，y0 4分（2）由（1）知A ，又B ，所以AB 6分設(shè)(AB)1 ，則 ，即 8分所以 解得a，b，c0，d，即 (AB)1 10分（說明：逆矩陣也可以直接使用公式求解，但要求呈現(xiàn)公式的結(jié)構(gòu)）C選修44：坐標系與參數(shù)方程解：由于r2 x2y2，rcos x，所以曲線C的直角坐標方程為 x2y28x150， 即 (x4)2+y21，所以曲線C是以 (4，0) 為圓心，1為半徑的圓 3分直線l的直角坐標方程為 yx，即xy0 6分因為圓心 (4，0) 到直線l的距離d21 8分所以直線l與圓相離，從而PQ的最小值為d121可2+y2() C 1313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313 10分D選修45：不等式選講證明：因為x0，所以x32 x311 3 3x，當且僅當x31，即x1時取“” 4分因為y212y(y1)20，所以y212y， 當且僅當y1時取“” 8分 所以 (x32)(y21)3x2y，即x3y233x2y，當且僅當xy1時，取“” 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）解：（1）設(shè)P(x，y)為曲線C上任意一點 因為PSl，垂足為S，又直線l：x1，所以S(1，y) 因為T(3，0)，所以(x，y)， (4，y)因為0，所以4xy20，即y24x 所以曲線C的方程為y24x 3分（2）因為直線PQ過點(1，0)，故設(shè)直線PQ的方程為xmy1P(x1，y1)，Q(x2，y2)聯(lián)立消去x，得y24my40所以y1y24m，y1y24 5分因為M為線段PQ的中點，所以M的坐標為(，)，即M (2m21，2m)又因為S(1，y1)，N(1，0)，所以(2m22，2my1)，(x21，y2)(my22，y2) 7分因為(2m22) y2(2my1)(my22)(2m22) y22m2y2my1y24m2y12(y1y2)my1y24m8m4m4m0所以向量與共線 10分23（本小題滿分10分）解：（1）由題意，當n2時，數(shù)列an共有6項要使得f(2)是2的整數(shù)倍，則這6項中，只能有0項、2項、4項、6項取1， 故T2CCCC2532 3分 （2）TnCCCC 4分當1kn，kN*時，CCCCCCC2CCC 2 (CC)CCCC 3 (CC)CC， 6分于是Tn1CCCC CC3(CCCCCC)TnCTnC 2 Tn3(23nTn) 38nTn 8分下面用數(shù)學歸納法證明Tn8n2(1)n當n1時，T1CC2812(1)1，即n1時，命題成立假設(shè)nk (k1，kN*) 時，命題成立，即Tk8k2(1)k則當nk1時，Tk138kTk38k8k2(1)k98k8k2(1)k8k12(1)k1，即nk1時，命題也成立于是當nN*，有Tn8n2(1)n 10分