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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第八章,矩陣,2 ,矩陣,的標(biāo)準(zhǔn)形,3,不變因子,1,矩陣,4,矩陣相似的條件,6,若當(dāng),(Jordan),標(biāo)準(zhǔn)形,5,初等因子,7,最小多項(xiàng)式,主要內(nèi)容,第六節(jié),Jordon,形矩陣的定義,若爾當(dāng),(Jordan),標(biāo)準(zhǔn)形,矩陣的,Jordon,標(biāo)準(zhǔn)形,矩陣相似的條件,從前面第七章的討論可以知道，并不是對于每,一個(gè)線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣,成為對角形,.,下面先介紹一下，在適當(dāng)選擇的基下,一般的一個(gè)線性變換能化簡成什么形狀,.,在這一節(jié)，我們的討論限制在復(fù)數(shù)域中,.,定義,1,形式為,的矩
2、陣稱為,若爾當(dāng),(Jordan),塊,，其中,是復(fù)數(shù),.,由若干個(gè)若爾當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角矩陣稱為,若爾當(dāng),形矩陣,，其一般形狀如,一、定義,其中,并且,1,2, ,s,中有一些可以相等,.,例如,都是若爾當(dāng)塊，,是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣,.,而,1.,一級若爾當(dāng)塊就是一級矩陣，因此若爾當(dāng)形,矩陣中包括對角矩陣,.,2.,在一個(gè)線性變換的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中，主對角,線上的元素正是特征多項(xiàng)式的全部根,(,重根按重?cái)?shù),計(jì)算,) .,注 意,二、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子,我們用初等因子的理論來解決若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的,計(jì)算問題,.,首先計(jì)算若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子,.,設(shè)有若爾當(dāng)塊,引理,1,則其初等因子為,(,-,0,)
3、,n,.,證明,考慮它的特征矩陣,顯然,|,E,-,J,0,| = (,-,0,),n,，,這就是,E,-,J,0,的,n,級,行列式因子,.,由于,E,-,J,0,有一個(gè),n,- 1,級子式,所以它的,n,- 1,級行列式因子是,1,，從而它以下各,級的行列式因子全是,1 .,因此，它的不變因子為,d,1,(,) = =,d,n,-1,(,) = 1 ,d,n,(,) = (,-,0,),n,.,由此即得，,E,-,J,0,的初等因子為,(,-,0,),n,.,證畢,設(shè),是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣，,引理,2,其中,則,J,的初等因子為,既然,J,i,的初等因子是,所以,E,-,J,i,與,證明,等
4、價(jià),.,于是,與,等價(jià),.,因此，,J,的全部初等因子是：,2.,每個(gè)若爾當(dāng)形矩陣由若爾當(dāng)塊個(gè)數(shù)、各個(gè)若爾,當(dāng)塊的級數(shù)及對角線上元素決定，即它的全部初等,因子,是由它的全部若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的,.,1.,每個(gè)若爾當(dāng)塊完全被它的級數(shù),n,與主對角線上,元素,0,所刻劃，而這兩個(gè)數(shù)都反映在它的初等因子,(,-,0,),n,中.,因此，若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一,決定,.,由此可見，若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng),塊排列的次序外是被它的初等因子唯一決定,.,注 意,定理,1,(1),每個(gè),n,級的復(fù)數(shù)矩陣,A,都與一個(gè),若爾當(dāng)形矩陣相似；,(2),這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中,若爾當(dāng)塊的排列次序外是被矩
5、陣,A,唯一決定的,;,(3),稱若爾當(dāng)形矩陣為,A,的,若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,.,證明,設(shè),n,級矩陣,A,的初等因子為,其中,1,2, ,s,可能有相同的，指數(shù),k,1,k,2, ,k,s,也可能有相同的,.,每一初等因子,對應(yīng),于一個(gè)若爾當(dāng)塊,這些若爾當(dāng)塊構(gòu)成一若爾當(dāng)形矩陣,根據(jù)以上的計(jì)算，,J,的初等因子也是,因?yàn)?J,與,A,有相同的初等因子，所以它們相似,.,如果另一若爾當(dāng)形矩陣,J,與,A,相似，那么,J,與,A,就有相同的初等因子，因此,J,與,J,除了其中,若爾當(dāng)塊排列的次序外是相同的,由此即得唯一性,.,證畢,步驟,3,得出矩陣,A,的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,.,求矩陣,A,的,Jordan
6、,標(biāo)準(zhǔn)形的步驟,步驟,1,求,E,-,A,的初等因子；,步驟,2,寫出每一個(gè)初等因子對應(yīng)的若爾當(dāng)塊；,說 明,例,1,設(shè),12,級矩陣,A,的不變因子是,(,- 1,),2,(,+ 1,)(,2,+ 1,),2,.,1, 1, , 1 , (,- 1,),2, (,- 1,),2,(,+ 1,) ,9 個(gè),按定義，它的初等因子有,7,個(gè)，即,(,- 1,),2, (,- 1,),2, (,- 1,),2, (,+ 1,) , (,+ 1,) ,(,- i,),2, (,+ i,),2,.,于是其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為,求矩陣,A,的,Jordan,標(biāo)準(zhǔn)形,.,解,例,2,求矩陣,A,的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,.,
7、解：,的初等因子為,故,A,的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為,換成線性變換的語言來說就是：,定理,2,設(shè),A,是復(fù)數(shù)域上,n,維線性空間,V,的線性變換，,組基下的矩陣是若爾當(dāng)形，,陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外是被,A,唯一決,定的,.,在,V,中必定存在一組基，使,A,在這,并且這個(gè)若爾當(dāng)形矩,證明,在,V,中任取一組基,1,2, ,n,設(shè),A,在這組基下的矩陣是,A,.,由,存在可,逆矩陣,T,，,使,T,-1,AT,成若爾當(dāng)形矩陣,.,于是在由,(,1,2, ,n,) = (,1,2, ,n,),T,確定的基,1,2, ,n,下，線性變換,A,的矩陣,就是,T,-1,AT,.,由定理,1,，唯一性是顯然
8、的,.,證畢,應(yīng)該指出，若爾當(dāng)形矩陣包括對角矩陣作為特,殊情形，那就是由一級若爾當(dāng)塊構(gòu)成的若爾當(dāng)形矩,陣，由此即得,定理,3,復(fù)數(shù)矩陣,A,與對角矩陣相似的充分,必要條件是，,A,的初等因子全為一次的,.,三、矩陣相似的條件,例,3,證明矩陣,與對角陣相似,.,小 結(jié),1.Jordon,形矩陣的定義,2.,矩陣的,Jordon,標(biāo)準(zhǔn)形,3.,矩陣相似的條件,Smith,標(biāo)準(zhǔn)形,Jordan,標(biāo)準(zhǔn)形,行列式因子,不變因子,初等因子,Jordan,塊,求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,練 習(xí),作 業(yè),求,（,1,）矩陣,A,的初等因子；,（,2,）矩陣,A,的不變因子；,（,3,）矩陣,A,的,Smith,標(biāo)準(zhǔn)形；,（,4,）矩陣,A,的,Jordan,標(biāo)準(zhǔn)形,.,設(shè),
若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型課件
