高考數(shù)學(xué)試題分類匯編—函數(shù).doc

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歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) 2012 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編函數(shù) 若實數(shù) x、 y、 m滿足 xym，則稱 x比 y接近 m. （1）若 2比 3 接近 0，求 的取值范圍； （2）對任意兩個不相等的正數(shù) a、 b，證明： 2ab比 3接近 2ab； （3）已知函數(shù) ()fx的定義域 ,DxkZxR.任取 xD， ()f等于 1sinx和1sin 中接近 0 的那個值.寫出函數(shù) ()f的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值 和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）. 解析：(1) x( 2,2)； (2) 對任意兩個不相等的正數(shù) a、b，有 2ab， 32aba， 因為 2 3 2| | |()0ab， 所以 | |2|abab，即 a2bab2 比 a3b3 接近 ab； (3) 1sin,(,)() 1|sin|,xkfx xk ,kZ， f(x)是偶函數(shù)，f(x )是周期函數(shù)，最小正周期 T，函數(shù) f(x)的最小值為 0， 函數(shù) f(x)在區(qū)間 ,)2k單調(diào)遞增，在區(qū)間 (,2k單調(diào)遞減，k Z （2010 湖南文數(shù)）21 （本小題滿分 13 分） 已知函數(shù) ()(1)ln5,afxxa其中 a0,且 a-1. （）討論函數(shù) 的單調(diào)性； （）設(shè)函數(shù) 32(2646),1(),1()xxaxaeefgx （e 是自然數(shù)的底數(shù)） 。是否 存在 a，使 在a,-a 上為減函數(shù)？若存在，求 a 的取值范圍；若不存 在，請說明理由。 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) （2010 浙江理數(shù)） (22)(本題滿分 14 分)已知 a是給定的實常數(shù)，設(shè)函數(shù)22()(fxaxbe ， R， 是 f的一個極大值點 () 求 的取值范圍； ()設(shè) 123,x是 ()fx的 3 個極值點，問是否存在實數(shù) b，可找到 4xR，使得1234, 的某種排列 1234,ii(其中 1234,i= ,)依次成等差數(shù)列?若存在，求 所有的 b及相應(yīng)的 4x；若不存在，說明理由 解析：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考 查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識。 （）解：f(x)=e x(x-a) 2(3)2,abxa 令 2 2()(3),=-a+b4(1)80,gx則 于是，假設(shè) 12,()0.gxx是 的 兩 個 實 根 ， 且 （1） 當(dāng) x1=a 或 x2=a 時，則 x=a 不是 f(x)的極值點，此時不合題意。 （2） 當(dāng) x1a 且 x2 a 時，由于 x=a 是 f(x)的極大值點，故 x10 時，令 h (x)=0,解得 x= 24a, 所以當(dāng) 0 x0， h(x)在（0， 2）上遞增。 所以 x 是 h(x)在（0， + ）上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是 h(x)的 最小值點。 所以 （a）=h( 24)= 2a-aln 24a=2 當(dāng) a 0 時， h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）遞增，無最小值。 故 h(x) 的最小值 （a）的解析式為 2a(1-ln2a) (ao) （3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a) 則 1（ a ）=-2ln2a，令 1（ a ）=0 解得 a =1/2 當(dāng) 01/2 時， 1（ a ）0，為單調(diào)遞增區(qū)間。 最大值在右端點取到。 max1()2f。 （2010 安徽文數(shù)）20.（本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) sinco1fxx， 0 x，求函數(shù) fx的單調(diào)區(qū)間與極值。 【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查綜合應(yīng)用數(shù) 學(xué)知識解決問題的能力. 【解題指導(dǎo)】 （1）對函數(shù) sinco1fxx求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)用輔助角公式變形，利用 導(dǎo)數(shù)等于 0 得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負，判斷區(qū)間的單調(diào)性，求極 值. 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) , ()12().423()0()4) xxxx 解 ： 由 f=sin-co+1,00 恒成立，求 a 的取值范圍 . 【解析】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ) 知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分 12 分. 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) （）解：當(dāng) a=1 時，f（x）= 32x1，f（2）=3；f(x)= 23, f(2)=6.所 以曲線 y=f（x）在點（2，f（2） ）處的切線方程為 y-3=6（x-2） ，即 y=6x-9. （）解：f(x)= 2()aa.令 f(x)=0，解得 x=0 或 x= 1a. 以下分兩種情況討論： （1） 若 10， 則 ，當(dāng) x 變化時，f(x)，f（x）的變化情況如下表： X 2， 0 120， f(x) + 0 - f(x) A極大值 A 當(dāng) 1xfx2， 時 ， （ ） 0等價于 5a10,(),820,.f即 解不等式組得-50 等價于 1f(-)20,a 即 2 581-0.a, 解不等式組得 52a或 2.因此 2a5. 綜合（1）和（2） ，可知 a 的取值范圍為 00,從而 -0,Fxe又 所 以 (x)0,從而函數(shù) F（x）在1,+) 是增函數(shù)。 又 F(1)= -1e0， 所 以 1時 ， 有 F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). )證明：（1） 若 2 1212(),),.x xx12由 （ ） 及 f(xf則 與 矛 盾 。 （2）若 1()0)x由 （ ） 及 (得 與 矛 盾 。 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) 根據(jù)（1） （2）得 1212()0,.xx不 妨 設(shè) 由（）可知， fg,則 )2(= )f-，所以 )2f( )2-,從而 )1f()2f(-x .因為 2，所以 2x，又由（）可知函數(shù) f(x)在區(qū)間（-，1）內(nèi)事增函數(shù)， 所以 1 ,即 1x2. （2010 福建文數(shù)）22 （本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) f（x）= 32xab的圖像在點 P（0,f(0)）處的切線方程為 y=3x-2 ()求實數(shù) a,b 的值； ()設(shè) g（x）=f(x)+ 1mx是 ,上的增函數(shù)。 （i）求實數(shù) m 的最大值； (ii)當(dāng) m 取最大值時，是否存在點 Q，使得過點 Q 的直線若能與曲線 y=g(x)圍成兩個封閉圖 形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) （2010 福建文數(shù)）21(本小題滿分 12 分) 某港口 O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口 北偏西 30且與該港口相距 20 海里的 A處，并正以 30 海里/小時的航行速度沿正東方向勻 速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以 海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過 t小時與輪船相遇。 ()若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ ()為保證小艇在 30 分鐘內(nèi)(含 30 分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值； ()是否存在 ，使得小艇以 海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) 相遇？若存在，試確定 的取值范圍；若不存在，請說明理由。 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) （2010 全國卷 1 理數(shù)）(20)(本小題滿分 12 分) 已知函數(shù) ()ln1fxx. （）若 2a，求 的取值范圍； （）證明： (1)0 xf . （2010 四川文數(shù)） （22） （本小題滿分 14 分） 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) 設(shè) 1 xaf() （ 0且 1a） ，g(x)是 f(x)的反函數(shù). （）求 g； （）當(dāng) 2,6x時，恒有 2()log(1)7atxx成立，求 t 的取值范圍； （）當(dāng) 0a 時，試比較 f(1)+f(2)+f(n)與 4n的大小，并說明理由. 12 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) （2010 湖北文數(shù)）21.（本小題滿分 14 分） 設(shè)函數(shù) 321axbcf（ ） =，其中 a0，曲線 xyf（ ） 在點 P（0， f（ ） ）處的 切線方程為 y=1 （）確定 b、c 的值 （）設(shè)曲線 yf（ ） 在點（ 1xf， （ ） ）及（ 2f， （ ） ）處的切線都過點（0,2）證明： 當(dāng) 12x時， 12()()x （）若過點（0,2）可作曲線 yf（ ） 的三條不同切線，求 a 的取值范圍。 （2010 湖北文數(shù)）19.（本小題滿分 12 分） 已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為 a（單位：m 2） ，其中有部分舊住房需要拆除。 當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的 10%建設(shè)新住房，同事也拆除面積為 b（單位： 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) m2）的舊住房。 （）分別寫出第一年末和第二年末的實際住房面積的表達式： （）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了 30%，則每年拆除 的舊住房面積 b 是多少？（計算時取 1.15=1.6） （2010 山東理數(shù)）(22)(本小題滿分 14 分) 已知函數(shù) 1()lnafxx(R. ()當(dāng) 12a時，討論 ()f的單調(diào)性； （）設(shè) ()4.gxb當(dāng) a時，若對任意 1(0,2)x，存在 21,x，使12f ，求實數(shù) 取值范圍. 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) （）當(dāng) 14a時， f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意1(0,2)x ， 有 f=-，又已知存在 2,x，使 12()fxg，所以 21()gx，2,x ， 即存在 1,，使 21()42gxb，即 29bx，即 92bx17,4 ， 所以 2b，解得 4b，即實數(shù) 取值范圍是 ,)。 【命題意圖】本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) 以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。 （1 ）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2 ）利用導(dǎo)數(shù)求出 ()f的最小值、利用 二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出 ()gx在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù)。 （2010 湖南理數(shù)）20.（本小題滿分 13 分） 已知函數(shù) 2()(,),fxbcR對任意的 x，恒有 ()fxf。 （）證明：當(dāng) 0時， 2fxc； （）若對滿足題設(shè)條件的任意 b，c，不等式 2()()fbMc恒成立，求 M 的 最小值。 解析： （2010 湖北理數(shù)）17 （本小題滿分 12 分） 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) 物要建造可使用 20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為 6 萬元。該建筑物每年的能源消 耗費用 C（單位：萬元）與隔熱層厚度 x（單位：cm ）滿足關(guān)系：C （x）=(01),35kx 若不建隔熱層，每年能源消耗費用為 8 萬元。設(shè) f（x）為隔熱層建造費用與 20 年的能源消耗費用之和。 （）求 k 的值及 f(x)的表達式。 （）隔熱層修建多厚時，總費用 f(x)達到最小，并求最小值。 （2010 福建理數(shù)）20 （本小題滿分 14 分） （）已知函數(shù) 3(x)=-f， 其 圖 象 記 為 曲 線 C。 （i）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間； （ii）證明：若對于任意非零實數(shù) 1x，曲線 C 與其在點 1P(x,f)處的切線交于另一點22P(x,f) ，曲線 C 與其在點 22P(,f)處的切線交于另一點 33(,fx)，線段1123 12, ,S與 曲 線 所 圍 成 封 閉 圖 形 的 面 積 分 別 記 為 則 為 定 值 ； （）對于一般的三次函數(shù) 32g(x)=a+bcxd(a0),請 給 出 類 似 于 （） （ii）的正確命 題，并予以證明。 【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、運算求解能 力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想。 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) 【解析】 （） （i）由 3(x)=-f得 2(x)-1f= 3()x+， 當(dāng) 3x(-,)和 （ ， ） 時， ()0f； 當(dāng) (-,)時， (x)0，使得 )12h，則稱函數(shù) f具 有性質(zhì) )(aP。 (1)設(shè)函數(shù) xf2ln(1)bx，其中 b為實數(shù)。 (i)求證：函數(shù) )(具有性質(zhì) P； (ii)求函數(shù) )(xf的單調(diào)區(qū)間。 (2)已知函數(shù) xg具有性質(zhì) )2(。給定 1212,x設(shè) m為實數(shù)，21)(m ， m，且 ， 若| )|0， 所以對任意的 都有 (0 x， ()g在 ,)上遞增。 又 1212,)xm。 當(dāng) ,m時， ，且 1212()(),()()xmxxm， 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) 綜合以上討論，得：所求 m的取值范圍是（0，1） 。 （方法二）由題設(shè)知， ()gx的導(dǎo)函數(shù) 2()(1)gxhx，其中函數(shù) ()0hx對于任意的),1(x 都成立。所以，當(dāng) 時， )0，從而 g在區(qū)間 ),1上單 調(diào)遞增。 當(dāng) (0,)m時，有 1211()()mxxmx，12x ，得 2,，同理可得 12(,)x，所以由()g 的單調(diào)性知 ()g、 12(),gx， 從而有| | 21|，符合題設(shè)。 當(dāng) 0m時， 2()()xmxx，1211() ，于是由 1,及 ()gx的單調(diào)性知()gxg ，所以| )(g| )2|，與題設(shè)不符。 當(dāng) m時，同理可得 12,x，進而得| (| )(21x|，與題設(shè)不符。 因此綜合、得所求的 m的取值范圍是（0，1） 。 歡迎光臨 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有 中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)