自動控制原理課后習題答案(王建輝、顧樹生編)---楊自厚審閱--清華大學出版社

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自動控制原理2-1 什么是系統(tǒng)的數(shù)學模型?在自動控制系統(tǒng)中常見的數(shù)學模型形式有哪些?用來描述系統(tǒng)因果關系的數(shù)學表達式，稱為系統(tǒng)的數(shù)學模型。常見的數(shù)學模型形式有：微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程、傳遞矩陣、結構框圖和信號流圖。2-2 簡要說明用解析法編寫自動控制系統(tǒng)動態(tài)微分方程的步驟。2-3 什么是小偏差線性化？這種方法能夠解決哪類問題？在非線性曲線（方程）中的某一個工作點附近，取工作點的一階導數(shù)，作為直線的斜率，來線性化非線性曲線的方法。2-4 什么是傳遞函數(shù)？定義傳遞函數(shù)的前提條件是什么？為什么要附加這個條件？傳遞函數(shù)有哪些特點？傳遞函數(shù)：在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。定義傳遞函數(shù)的前提條件：當初始條件為零。為什么要附加這個條件：在零初始條件下，傳遞函數(shù)與微分方程一致。傳遞函數(shù)有哪些特點：1傳遞函數(shù)是復變量S的有理真分式，具有復變函數(shù)的所有性質；且所有系數(shù)均為實數(shù)。2傳遞函數(shù)是一種有系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關系的表達式，它只取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數(shù)，而與輸入量的形式無關，也不反映系統(tǒng)內部的任何信息。3傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。4傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應。2-5 列寫出傳遞函數(shù)三種常用的表達形式。并說明什么是系統(tǒng)的階數(shù)、零點、極點和放大倍數(shù)。 其中 其中傳遞函數(shù)分母S的最高階次即為系統(tǒng)的階數(shù)，為系統(tǒng)的零點，為系統(tǒng)的極點。為傳遞函數(shù)的放大倍數(shù)，為傳遞函數(shù)的根軌跡放大倍數(shù)。2-6 自動控制系統(tǒng)有哪幾種典型環(huán)節(jié)？它們的傳遞函數(shù)是什么樣的？1比例環(huán)節(jié)2慣性環(huán)節(jié)3積分環(huán)節(jié)4微分環(huán)節(jié)5振蕩環(huán)節(jié)6時滯環(huán)節(jié)2-7 二階系統(tǒng)是一個振蕩環(huán)節(jié)，這種說法對么？為什么？當阻尼比時是一個振蕩環(huán)節(jié)，否則不是一個振蕩環(huán)節(jié)。2-8 什么是系統(tǒng)的動態(tài)結構圖？它等效變換的原則是什么？系統(tǒng)的動態(tài)結構圖有哪幾種典型的連接？將它們用圖形的形式表示出來，并列寫出典型連接的傳遞函數(shù)。2-9 什么是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)？什么是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)？當給定量和擾動量同時作用于系統(tǒng)時，如何計算系統(tǒng)的輸出量？答：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為前向通路傳遞函數(shù)與反饋通路傳遞函數(shù)之積。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為輸出的拉氏變換與輸入拉氏變換之比。 當給定量和擾動量同時作用于系統(tǒng)時，通過疊加原理計算系統(tǒng)的輸出量。2-10 列寫出梅遜增益公式的表達形式，并對公式中的符號進行簡要說明。2-11 對于一個確定的自動控制系統(tǒng)，它的微分方程、傳遞函數(shù)和結構圖的形式都將是唯一的。這種說法對么嗎？為什么？答：不對。2-12 試比較微分方程、傳遞函數(shù) 、結構圖和信號流圖的特點于適用范圍。列出求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的幾種方法。2-13 試求出圖P2-1中各電路的傳遞函數(shù)W(s)=Uc(s)/Ur(s)。解：（a）解法1：首先將上圖轉換為復阻抗圖，由歐姆定律得：I(s)=(Ur-Uc)/(R+Ls)由此得結構圖：Uc=I(s)(1/Cs)由此得結構圖：整個系統(tǒng)結構圖如下：根據(jù)系統(tǒng)結構圖可以求得傳遞函數(shù)為：WB(s)=Uc/Ur=1/(R+Ls)(1/Cs)/ 1+1/(R+Ls)(1/Cs) =1/LCs2+RCs+1=1/TLTCs2+TCs+1其中：TL=L/R; TC=RC解法2：由復阻抗圖得到： 所以：解：（b）解法1：首先將上圖轉換為復阻抗圖，根據(jù)電路分流公式如下： 同理： 其中： 代入中，則所以：解法2：首先將上圖轉換為復阻抗圖（如解法1圖）畫出其結構圖如下：化簡上面的結構圖如下：應用梅遜增益公式：其中：、所以、所以：解：(c) 解法與(b)相同，只是參數(shù)不同。2-14 試求出圖P2-2中各有源網絡的傳遞函數(shù)W(s)=Uc(s)/Ur(s)。解：（a） 其中： 其中：、所以：解：（b）如圖：將滑動電阻分為和，其中所以：解：（c）解法與（b）相同。2-15 求圖P2-3所示各機械運動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(1)求圖(a)的 (2)求圖(b)的(3)求圖(c)的 (4)求圖(c)的2-16如圖P2-4所示為一個帶阻尼的質量彈簧系統(tǒng)，求其數(shù)學模型。2-17 圖P2-4所示為一齒輪傳動系統(tǒng)。設此機構無間隙、無變形。(1)列出以力矩Mr為輸入量，轉角為輸出量的運動方程式，并求其傳遞函數(shù)。(2)列出以力矩Mr為輸入量，轉角為輸出量的運動方程式，并求出其傳遞函數(shù)。2-18 圖P2-6所示為一磁場控制的直流電動機。設工作時電樞電流不變，控制電壓加在勵磁繞組上，輸出為電機位移，求傳遞函數(shù)。2-19圖P2-7所示為一用作放大器的直流發(fā)電機，原電機以恒定轉速運行。試確定傳遞函數(shù)，假設不計發(fā)電機的電樞電感和電阻。2-20 圖P2-8所示為串聯(lián)液位系統(tǒng)，求其數(shù)學模型。2-21 一臺生產過程設備是由液容為C1和C2的兩個液箱組成，如圖P2-9所示。圖中為穩(wěn)態(tài)液體流量,q1為液箱1輸入流量對穩(wěn)態(tài)值得微小變化，q2為液箱1到液箱2流量對穩(wěn)態(tài)值得微小變化，q3為液箱2輸出流量對穩(wěn)態(tài)值得微小變化，為液箱1的穩(wěn)態(tài)液面高度(m)，h1為液箱1液面高度對其穩(wěn)態(tài)值的微小變化(m)， 為液箱2的穩(wěn)態(tài)液面高度(m)，h2為液箱2液面高度對其穩(wěn)態(tài)值的微小變化(m)，R1為液箱1輸出管的液阻，R2為液箱2輸出管的液阻。(1)試確定以為輸入量、為輸出量時該液面系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；(2)試確定以為輸入，以為輸出時該液面系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（提示：流量(Q)=液高(H)/液阻(R)，液箱的液容等于液箱的截面面積，液阻(R)=液面差變化(h)/流量變化(q)。）2-22 圖P2-10所示為一個電加熱器的示意圖。該加熱器的輸入量為加熱電壓u1,輸出量為加熱器內的溫度T0,qi為加到加熱器的熱量，q0為加熱器向外散發(fā)的熱量，Ti為加熱器周圍的溫度。設加熱器的熱阻和熱容已知，試求加熱器的傳遞函數(shù)。2-23熱交換器如圖P2-11所示，利用夾套中的蒸汽加熱罐中的熱體。設夾套中的蒸汽的溫度為Ti；輸入到罐中熱體的流量為Q1，溫度為T1；由罐內輸出的熱體的流量為Q2，溫度為T2；罐內液體的體積為V，溫度為T0(由于有攪拌作用，可以認為罐內液體的溫度是均勻的)，并且假設T2=T0，Q2=Q1=Q(Q為液體的流量)。求當以夾套蒸汽溫度的變化為輸入量、以流出液體的溫度變化為輸出量時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(設流入液體的溫度保持不變)。2-24 已知一系列由如下方程組成，試繪制系統(tǒng)方框圖，并求出閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：由以上四個方程式，可以得到以下四個子結構圖1X1(s)=Xr(s)W1(s)- W1(s) W7(s)- W8(s)Xc(s)2.X2(s)= W2(s) X1(s)- W6(s)X3(s)3.X3(s)= X2(s)- Xc(s)W5(s) W3(s)4.Xc(s)=W4(s)X3(s)將以上四個子框圖按相同的信號線依次相連，可以得到整個系統(tǒng)的框圖如下：利用梅遜公式可以求出閉環(huán)傳遞函數(shù)為：L11=W1(s) W2(s) W3(s) W4(s) W7(s)- W8(s)L12=W3(s) W4(s) W5(s)L13=W2(s) W3(s) W6(s)L2=0T1= W1(s)W2(s) W3(s) W4(s) 1=1 =1+ W1(s) W2(s) W3(s) W4(s) W7(s)- W8(s)+ W3(s) W4(s) W5(s)+ W2(s) W3(s) W6(s)2-25 試分別化簡圖P2-12和圖P2-13所示結構圖，并求出相應的傳遞函數(shù)。解：化簡圖P2-12如下：繼續(xù)化簡如下：所以：解：化簡圖P2-12如下：進一步化簡如下：所以：2-26 求如圖P2-14所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，。解：1求W1(s)=Xc(s)/Xr(s)的等效電路如下（主要利用線性電路疊加原理，令Xd=0）上圖可以化簡為下圖由此得到傳遞函數(shù)為：W1(s)=Xc(s)/Xr(s)=W1W2/1-W2H2+W1W2H32. 應用梅遜增益公式：其中：，,所以：2-27 求如圖P2-15所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。應用梅遜增益公式：其中：，所以：2-28 求如圖P2-16所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：將上述電路用復阻抗表示后，利用運算放大器反向放大電路的基本知識，即可求解如下：由上圖可以求出：U1(s)=Z1/R0(Ur(s)+Uc(s)U2(s)=U1(s)/R2C2sUc(s)=R4/R3U2(s)根據(jù)以上三式可以得出系統(tǒng)結構圖如下：其中：Z1=R1/(1/C1s)=R1/T1s+1 T1=R1C1令：R2C2=T2 R1/R0=K10 R4/R3=K43得到傳遞函數(shù)為：WB(s)=Ur/Uc=K10K43/T2s(T1s+1)+ K10K432-29 圖P2-17所示為一位置隨動系統(tǒng)，如果電機電樞電感很小可忽略不計，并且不計系統(tǒng)的負載和黏性摩擦，設，其中、分別為位置給定電位計及反饋電位計的轉角，減速器的各齒輪的齒數(shù)以Ni表示之。試繪制系統(tǒng)的結構圖并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2-30 畫出圖P2-18所示結構圖的信號流圖，用梅遜增益公式來求傳遞函數(shù)，。解：應用梅遜增益公式：其中：， ，所以：其中：， ，所以：2-31 畫出圖P2-19所示系統(tǒng)的信號流圖，并分別求出兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，。3-1 控制系統(tǒng)的時域如何定義？3-2 系統(tǒng)的動態(tài)過程與系統(tǒng)的極點有什么對應關系？3-3 系統(tǒng)的時間常數(shù)對其動態(tài)過程有何影響？3-4 提高系統(tǒng)的阻尼比對系統(tǒng)有什么影響？3-5 什么是主導極點？ 主導極點在系統(tǒng)分析中起什么作用？3-6 系統(tǒng)的穩(wěn)定的條件是什么？3-7 系統(tǒng)的穩(wěn)定性與什么有關？3-8 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與哪些因素有關？3-9 如何減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差？3-10 一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求： （1） 系統(tǒng)的單位階躍響應及性能指標 （2） 輸入量xr（t）= t 時，系統(tǒng)的輸出響應； （3） 輸入量xr (t) 為單位脈沖函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出響應。解：（1） 比較系數(shù)：得到 ， 其中： 所以 其中： 所以解（2）輸入量xr（t）= t時，這時；，應用部分分式法通過比較系數(shù)得到：，,所以：所以：解（3）當時，這時，所以3-11 一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為， 其單位階躍響應曲線如圖所示，圖中的xm=1.25 tm =1.5s 。試確定系統(tǒng)參數(shù) 及 值。解：因為比較系數(shù)得到：，由圖得到： 得到，所以所以3-12 一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。已知系統(tǒng)的 xr(t) = 1 (t) ,誤差時間函數(shù)為 ,求 系統(tǒng)的阻尼比、自然振蕩角頻率，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：單位反饋控制系統(tǒng)的結構圖如下：由此得到誤差傳遞函數(shù)為：因為輸入為單位階躍輸入，所以對取拉變得到比較兩個誤差傳函的系數(shù)可以得到：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：12 3-13 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為， 試選擇及 值以滿足下列指標： （1） 當 xr(t) =t時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（）0.02； （2） 當xr（t）=1（t）時，系統(tǒng)的30%，ts（5）0.3s。解：1時，由于該系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，所以： 得出2因為要求當時，系統(tǒng)的，。所以， 取 由 得出因為，阻尼比越大，超調量越小。取由所以： 所以 取因為 ，取 得到 當，時 滿足即滿足所以，最后取，3-14 已知單位反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為，試畫出以為常數(shù)、為變數(shù)時，系統(tǒng)特征方程式的根在s 平面上的分布軌跡。 3-15 一系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如圖P3-2，求在不同的值下（例如，=1，=3，=7）系統(tǒng)的閉環(huán)極點、單位階躍響應、動態(tài)性能指標及穩(wěn)態(tài)誤差。 解：該系統(tǒng)的特征方程為： 即當=1時，系統(tǒng)的特征方程為：，此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：3-16 一閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)結構如圖P3-3， （1）試求當%20，ts（5%）=1.8s 時，系統(tǒng)的參數(shù)及值。 （2）求上述系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 、速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)Kv 、加速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)Ka 及其相應的穩(wěn)態(tài)誤差。解：(1)將圖P3-3的內部閉環(huán)反饋等效一個環(huán)節(jié)，如下圖由上圖得到 根據(jù)系統(tǒng)性能指標的要求：，可以得出當時，取 當時， 由 得到 由 得到（2）由（1）得到系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：所以： 對應的時 對應的時 對應的時 3-17 一系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如圖， 試求（1）1 =0 ，2=0.1 時，系統(tǒng)的，ts（5%）；（2） 1=0.1，2=0時，系統(tǒng)的，ts（5%）；（3） 比較上述兩種校正情況下的動態(tài)性能指標及穩(wěn)態(tài)性能。 解：（1） 1 =0 ，2=0.1 時系統(tǒng)框圖如下：進一步化簡結構圖如下：與二階系統(tǒng)標準傳遞函數(shù)比較得到，（2） 解（2）1 =0.1 ，2=0 時系統(tǒng)框圖如下：解上述系統(tǒng)輸出表達式為：3-18 如圖P3-5中，Wg（s）為被控對象的傳遞函數(shù)，Wc（s）為調節(jié)器的傳遞函數(shù)。如果被控對象為，T1T2，系統(tǒng)要求的指標為: 位置穩(wěn)態(tài)誤差為零，調節(jié)時間最短，超調量%4.3，問下述三種調節(jié)器中哪一種能滿足上述指標？ 其參數(shù)應具備什么條件？(a);(b) ;(c).解：三種調節(jié)器中，(b)調節(jié)器能夠滿足要求，即。校正后的傳遞函數(shù)為這時滿足位置穩(wěn)態(tài)誤差為零。如果還要滿足調節(jié)時間最短，超調量%4.3，則應該使，此時傳遞函數(shù)為應該使，此時為二階最佳系統(tǒng)，超調量%=4.3，調節(jié)時間為 3-19有閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式如下，試用勞斯判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并說明特征根在復平面上的分布。(1) (2) (3) (4) (5) 解：（1）列勞斯表如下：由此得到系統(tǒng)穩(wěn)定，在s平面的右半部沒有根。（2）列勞斯表如下：由此得到系統(tǒng)不穩(wěn)定，在s平面的右半部有兩個根。（3）列勞斯表如下：由此得到系統(tǒng)穩(wěn)定，在s平面的右半部沒有根。（4）列勞斯表如下：由此得到系統(tǒng)不穩(wěn)定，在s平面的右半部有三個根。（5）列勞斯表如下：由此得到系統(tǒng)穩(wěn)定，在s平面的右半部沒有根。3-20 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 求使系統(tǒng)穩(wěn)定的KK 值范圍。解：系統(tǒng)特征方程為：即：將最高項系數(shù)化為1得到列勞斯表如下：系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為勞斯表的第一列大于零，即 得出 得出所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范圍為3-21 已知系統(tǒng)的結構圖如圖P3-6所示，試用勞斯判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的Kf值范圍。解：該系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表如下：根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表第一列必須大于零。所以得到系統(tǒng)穩(wěn)定條件為3-22 如果采用圖P3-7所示系統(tǒng)，問取何值時，系統(tǒng)方能穩(wěn)定？解：該系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表如下：根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表第一列必須大于零。所以得到系統(tǒng)穩(wěn)定條件為3-23 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，要求閉環(huán)特征根的實部均小于-1，求K值應取的范圍。解：該系統(tǒng)的特征方程為即將上述方程的最高次項系數(shù)化為1得到令代入特征方程中，得到列勞斯表如下：由勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表的第一列系數(shù)必須大于零。所以，即時，閉環(huán)特征根的實部均小于-1。3-24 設有一單位反饋系統(tǒng)，如果其開環(huán)傳遞函數(shù)為 （1） ； （2）。 試求輸入量為xr(t)=t和xr(t)=2+4t+5時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（1）系統(tǒng)特征方程為：列勞斯表如下：由勞斯判據(jù)可知，該系統(tǒng)穩(wěn)定。當xr(t)=t時，穩(wěn)態(tài)誤差為：xr(t)=2+4t+5時，穩(wěn)態(tài)誤差為：解：（2）系統(tǒng)特征方程為：列勞斯表如下：由勞斯判據(jù)可知，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。當xr(t)=t時，穩(wěn)態(tài)誤差為：xr(t)=2+4t+5時，穩(wěn)態(tài)誤差為：此時求出的穩(wěn)態(tài)誤差沒有意義，因為系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-25 有一單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。求當輸入量為和時， 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：當時，當時，此時，這時，比較系數(shù)： 解方程得到：， 則顯然。由于正弦函數(shù)的拉氏變換在虛軸上不解析，所以此時不能應用終值定理法來計算系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。3-26 有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為，求系統(tǒng)的動態(tài)誤差系數(shù)，并求當輸入量=1+t+ 1/2 時，穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù) e（t）。解：利用綜合除法得到： 動態(tài)位置誤差系數(shù)動態(tài)速度誤差系數(shù)動態(tài)加速度誤差系數(shù)3-27 一系統(tǒng)的結構圖如圖，并設，。當擾動量分別以作用于系統(tǒng)時,求系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。解：擾動誤差的傳遞函數(shù)為：所以：時時3-28 一復合控制系統(tǒng)的結構圖如圖P3-9所示，其中K1=2K3=1，T2=0.25s,K2=2. 試求：（1）輸入量分別為xr(t)=1,xr(t)=t,xr(t)=1/2t2時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差； （2）系統(tǒng)的單位階躍響應，及其。解：當K1=2K3=1，T2=0.25s,K2=2時當xr(t)=1時，此時當xr(t)=t，此時當xr(t)=1/2t2時，此時3-29 一復合控制系統(tǒng)如圖P3-10所示，圖中。如果系統(tǒng)由型提高為型系統(tǒng)，求a值及b值。解：將代入誤差傳遞函數(shù)中，如果系統(tǒng)由型提高為型系統(tǒng)，則當時，（其中為常數(shù)）由此得到，4-1 根軌跡法使用于哪類系統(tǒng)的分析?4-2 為什么可以利用系統(tǒng)開環(huán)零點和開環(huán)極點繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡?4-3 繪制根軌跡的依據(jù)是什么?4-4 為什么說幅角條件是繪制根軌跡的充分必要條件?4-5 系統(tǒng)開零環(huán)、極點對根軌跡形狀有什么影響？4-6 求下列各開環(huán)傳遞函數(shù)所對應的負反饋系統(tǒng)的根軌跡。(1) (2)(3) 解：第（1）小題由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得知1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 、2 終點：時，終止于開環(huán)零點，3 根軌跡的條數(shù)，兩條，一條終止于開環(huán)零點，另一條趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間為和5 分離點與會合點，利用公式即：解上列方程得到：，根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：解：第（2）小題由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得知1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 、2 終點：時，終止于開環(huán)零點，3 根軌跡的條數(shù)，三條，一條終止于開環(huán)零點，另兩條趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間為和5 分離點與會合點，利用公式 6 根軌跡的漸進線漸進線傾角為：漸進線的交點為：根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：解：第（3）小題由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得知1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 、2 終點：時，終止于開環(huán)零點，3 根軌跡的條數(shù)，三條，一條終止于開環(huán)零點，另兩條趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間為和5 分離點與會合點，利用公式 6 根軌跡的漸進線漸進線傾角為：漸進線的交點為：根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：4-7 已知負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖P4-1所示，試寫出相應的開環(huán)傳遞函數(shù)并繪制概略根軌跡圖。圖題的系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布4-8 求下列各開環(huán)傳遞函數(shù)所對應的負反饋系統(tǒng)根軌跡。(1)(2)(3)(4)(5)解：第（1）小題由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得知1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 、2 終點：時，終止于開環(huán)零點，3 根軌跡的條數(shù)，兩條，一條終止于開環(huán)零點，另一條趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間為5 分離點與會合點，利用公式化簡上式：解上述一元二次方程得： 6.根軌跡的出射角和入射角根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：解：第（2）小題由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得知1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 、2 終點：時，終止于開環(huán)零點，該系統(tǒng)零點在無窮遠處。 3 根軌跡的條數(shù)，四條，四條均趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間為5 分離點與會合點，利用公式化簡上式：解上式： 6根軌跡的漸進線漸進線傾角為：漸進線的交點為：7.根軌跡的出射角和入射角根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：解：第（3）小題由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得知1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 、2 終點：時，終止于開環(huán)零點， 3 根軌跡的條數(shù)，四條，一條趨于開環(huán)零點，另外三條均趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間為和5 根軌跡的漸進線漸進線傾角為：漸進線的交點為：6根軌跡的出射角和入射角根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：解：第（4）小題由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得知1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 、2 終點：時，終止于開環(huán)零點，該系統(tǒng)零點為 3 根軌跡的條數(shù)，四條，一條趨于開環(huán)零點，另外三條均趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間右端開環(huán)零極點的個數(shù)之和為奇（此處一定要仔細！），為和5 分離點與會合點，利用公式化簡上式：解上式，得到 6根軌跡的漸進線漸進線傾角為：漸進線的交點為：根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：解：第（5）小題由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得知1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 2 終點：時，終止于開環(huán)零點，該系統(tǒng)零點為 3 根軌跡的條數(shù)，四條，一條趨于開環(huán)零點，另外三條均趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間右端開環(huán)零極點的個數(shù)之和為奇，為和5 分離點與會合點，利用公式解上式得： 6根軌跡的漸進線漸進線傾角為：漸進線的交點為：根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：4-9負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制概略根軌跡，并求產生純虛根的開環(huán)增益KK。解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 得知1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 2 終點：時，終止于開環(huán)零點，該系統(tǒng)無開環(huán)零點3 根軌跡的條數(shù)，三條，三條均趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間右端開環(huán)零極點的個數(shù)之和為奇，為和5 分離點與會合點，利用公式用試探法做，得到 6根軌跡的漸進線漸進線傾角為：漸進線的交點為：7系統(tǒng)特征方程為：令代入上式，令虛部和實部分別為零，得到和所以和系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為所以根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：4-10 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求當K=4時，以T為參變量的根軌跡。解：當時，系統(tǒng)特征方程如下：將上述特征方程變形如下：其中：其中：以為參數(shù)畫根軌跡如下：1 起點：時（），起始于開環(huán)極點，即 2 終點：時（），終止于開環(huán)零點，該系統(tǒng)開環(huán)零點為，3 根軌跡的條數(shù)，4條，一條均趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間右端開環(huán)零極點的個數(shù)之和為奇，實軸上根軌跡區(qū)間為。5 分離點與會合點，利用公式將上式化簡如下：用試探法做，得到 6根軌跡的出射角和入射角同理：根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：4-11 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求當K=1/4時，以a為參變量的根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)的等效開環(huán)傳函為即以為參變量畫該系統(tǒng)的根軌跡，其中由系統(tǒng)的傳函得知1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 2 終點：時，終止于開環(huán)零點，該系統(tǒng)無零點 3 根軌跡的條數(shù)，三條，三條均趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間右端開環(huán)零極點的個數(shù)之和為奇，為和5 分離點與會合點，利用公式D(s)N(s)-N(s)D(s)=0其中D（s）= s3+s2+0.25s N（s）=1所以D(s)N(s)-N(s)D(s)= （3s2+2s+0.25）=0解上述一元四次方程得：用試探法做，得到 6根軌跡的漸進線漸進線傾角為：漸進線的交點為：根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：4-12 設系統(tǒng)結構圖如圖P4-12所示。為使閉環(huán)極點位于 試確定增益K和反饋系數(shù)Kh的值，并以計算得到的K、Kh值為基準，繪出以Kh為變量的根的軌跡。圖題的控制系統(tǒng)結構圖解：（1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，系統(tǒng)特征方程為：即因為閉環(huán)極點位于在根軌跡上，將代入系統(tǒng)特征方程中，得到：通過計算得到：，解（2）當時，系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)為1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 2 終點：時，終止于開環(huán)零點， 3 根軌跡的條數(shù)，兩條，其中一條趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間右端開環(huán)零極點的個數(shù)之和為奇，為5 分離點與會合點，利用公式，即6 根軌跡的出射角同理：根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：4-13 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用根軌跡法確定使閉環(huán)主導極點的阻尼比和自然震蕩角頻率時的Kg值。解：當阻尼比和自然震蕩角頻率時，根軌跡上點的坐標為系統(tǒng)的特征方程為即：將代入特征方程中得到：4-14 已知單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制其根軌跡。4-15 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)在負反饋與正反饋兩種情況的根軌跡。4-16 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)繪制Kg由0變化的根軌跡。(2)確定系統(tǒng)呈阻尼振蕩動態(tài)相應的Kg值范圍。(3)求系統(tǒng)產生持續(xù)等幅振蕩時的Kg值和振蕩頻率。(4)求主導復數(shù)極點具有阻尼比為0.5時的Kg值。解：（1）1 起點：時，起始于開環(huán)極點，即 2 終點：時，終止于開環(huán)零點，本系統(tǒng)無零點。 3 根軌跡的條數(shù)，三條，三條均趨于無窮遠。4 實軸上的根軌跡區(qū)間右端開環(huán)零極點的個數(shù)之和為奇，為和5 分離點與會合點，利用公式，根據(jù)以上結果畫出根軌跡如下圖：解（2）系統(tǒng)特征方程為即將代入到特征方程中，得到即令代入到特征方程中，即解方程得到：和即所以當時，系統(tǒng)呈阻尼振蕩動態(tài)。解（3）當時系統(tǒng)產生持續(xù)等幅振蕩，振蕩頻率為解（4）求主導復數(shù)極點具有阻尼比為0.5時的Kg值阻尼比為0.5時，令,因為阻尼比為0.5，所以即，即即代入到系統(tǒng)特征方程中解方程得到，即 4-17 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)繪制Kg由0變化的根軌跡。(2)求產生重根和純虛根時的Kg值。4-18 設一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)由所繪制的根軌跡圖，說明對說有的Kg值(0Kg)該系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。(2)在s=-a(0a200具有銳截止-3特性，試確定校正裝置。6-14設一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為W（s）=要求具有相位裕度等于45及增益裕量等于6dB的性能指標，試分別采用串聯(lián)超前和串聯(lián)滯后校正兩種方法確定校正裝置。6-15設一隨動系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為W（s）=如要求系統(tǒng)的速度穩(wěn)態(tài)誤差為10%，Mp=1.5,試確定串聯(lián)校正裝置的參數(shù)。6-16設一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為W（s）=要求校正后系統(tǒng)的相位裕度增益裕量等于10dB，穿越頻率w1 rad/s,且開環(huán)增益保持不變，試確定串聯(lián)滯后校正裝置。6-17采用反饋校正后的系統(tǒng)結構如圖P6-1所示，其中H（s）為校正裝置，W（是）為校正對象。要求系統(tǒng)滿足下列指標：位置穩(wěn)態(tài)誤差e()=0;速度穩(wěn)態(tài)誤差e()=0.5%;.試確定反饋校正裝置的參數(shù)，并求等效開環(huán)傳遞函數(shù)。圖中 W(s)=200 W(s)= W(s)=6-18對于題6-17的系統(tǒng)，要求系統(tǒng)的速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)K=200,超調量，調節(jié)時間t2s.試確定反饋校正裝置參數(shù)，并繪制校正前，后的伯德圖，寫出校正后的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。6-19有源校正網絡的如圖P6-2所示。試寫出其傳遞函數(shù)，并說明可以起到何種校正作用。06-20一有源串聯(lián)滯后校正裝置的對數(shù)幅頻特性如圖P6-3（a）其電路圖如圖P6-3(b)所示。已知C=1，求R,R和R的阻值。6-21一控制系統(tǒng)采用串聯(lián)超前校正，校正裝置的傳遞函數(shù)為W(s)=,要求穿越頻率為1，超前網絡提供25的相位補償，且補償后系統(tǒng)穿越頻率不變，試確定K和T之間的關系。6-22控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為W（s）=(1) 繪制系統(tǒng)的伯德圖，并求相位裕度；(2) 如采用傳遞函數(shù)為W（s）=的串聯(lián)超前校正裝置，試繪制校正后系統(tǒng)的伯德圖，并求此時的相位裕度。同時討論校正后系統(tǒng)的性能有何改進。6-23已知兩系統(tǒng)（a）和(b)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖P6-4所示。試問在系統(tǒng)（a）中加入什么樣的串聯(lián)校正環(huán)節(jié)可以達到系統(tǒng)（b）。6-24已知伺服系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為W(s)=設計一滯后校正裝置，滿足吐下性能指標：（1） 系統(tǒng)的相位裕度45；（2） 單位斜坡輸入時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差小于或等于0.01。6-25已知單位付反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為W（s）=試設計串聯(lián)校正裝置，使系統(tǒng)K，超調量不大于25%，調劑時間不小于1s.6-26單位反饋小功率隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為W(s)=試設計一個無源校正網絡，使系統(tǒng)的相位裕度不小于45，穿越頻率不低于50rad/s,并要求該系統(tǒng)在速度輸入信號為100rad/s作用下，其穩(wěn)態(tài)誤差為0.5rad/s.6-27設有如圖P6-5所示控制系統(tǒng)（1）根據(jù)系統(tǒng)的諧振峰值M=1.3確定前置放大器的增益（2）根據(jù)對M=1.3及速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)K要求，確定串聯(lián)滯后校正環(huán)節(jié)的參數(shù)。6-28已知某控制系統(tǒng)的方框圖如圖P6-6所示，欲使系統(tǒng)的反饋校正后滿足如下要求：（1）速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)K（2）閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比=0.5（3）調節(jié)時間t(5%)2s試確定前置放大器增益，及測速反饋系數(shù)(要求在01之間)。6-29設復合控制系統(tǒng)的方框圖如圖P6-7所示，其中W(s)=K,W(s)=.試確定W（s）, W（s）及K,是系統(tǒng)的輸出完全不受擾動的影響，且單位節(jié)約相應的超調量，調節(jié)時間t=4s6-30設復合控制系統(tǒng)的方框圖如圖P6-8所示，其中前饋補償裝置的傳遞函數(shù)為W（s）=.式中，T為已知常數(shù)，W（s）=100，W（s）=。試確定使系統(tǒng)等效為三型系統(tǒng)的和的數(shù)值。第七章7-1 什么是非線性系統(tǒng)？它是什么特點？7-2 常見的非線性特征有哪些？7-3 非線性系統(tǒng)的分析設計方法有哪些？7-4 描述函數(shù)分析法的實質是什么？試描述函數(shù)的概念及其求取方法。7-5 試述相平面分析法的實質。為什么它是分析二階系統(tǒng)的有效方法？7-6 試確定表示的非線性元件的描述函數(shù)。7-7 一放大裝置的非線性特性示于圖p7-1，求其描述函數(shù)。7-8 圖p7-2為變放大系數(shù)非線性特征，求其描述函數(shù)。7-9 求圖p7-3所示非線性環(huán)節(jié)的買書函數(shù)。7-10 某死區(qū)非線性特性如圖p7-4所示，試畫出該環(huán)節(jié)在正弦輸入下的輸出波形，并求出其描述函數(shù)NA。7-11 圖p7-5給出幾個非線性特性。試分別寫出其基準描述函數(shù)公式，并正在復平面上大致畫出其基準描述函數(shù)的負倒數(shù)特性7-12 判斷圖p7-6所示各系統(tǒng)是否穩(wěn)定？-1/N。與K。W(jw)的交點是穩(wěn)定工作點還是不穩(wěn)定工作點？解：（a）是穩(wěn)定工作點（b）是穩(wěn)定工作點（c）a點不是穩(wěn)定工作點 b點是穩(wěn)定工作點（d）不是穩(wěn)定工作點（e）是穩(wěn)定工作點7-13 圖p7-7所示為繼電器控制系統(tǒng)的結構圖，其線性部分的傳遞函數(shù)為 試確定自持振蕩的角頻率和振幅。解：該系統(tǒng)非線性部分為具有滯環(huán)的兩位置繼電器，其描述函數(shù)為（見教材P343 公式（7-25）：則由圖可得：，代入到中，線性部分相頻為：因為曲線與曲線相交，則虛部即即解上述方程得到：，顯然不符合題義。顯然滿足要求實部為將代入其中得到實部實部與實部相等，即解方程得到：所以：自持振蕩的角頻率和振幅。設7-14 非線性系統(tǒng)如圖p7-8所示，圖中系統(tǒng)的參數(shù)K1,K2,M,T均為正數(shù)，試運用描述函數(shù)法： （1）給出系統(tǒng)發(fā)生自振時參數(shù)應滿足的條件； （2）計算在發(fā)生自振時，自振角頻率和輸出端的振幅。7-15 圖p7-9所示為一非線性系統(tǒng)，用描述函數(shù)法分析其穩(wěn)定性。7-16 求下列方程的奇點，并確定奇點類型。（1）（2）7-17 利用等斜線法畫出下列方程的相平面圖。（1）（2）7-18 系統(tǒng)圖p7-10，設系統(tǒng)原始條件是靜止狀態(tài)，試繪制相軌跡。其系統(tǒng)輸入為 （1）