第十講-中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,數(shù)學(xué)概念概述,數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析,數(shù)學(xué),概念教學(xué)的基本要求和教法探討,數(shù)學(xué)概念概述,數(shù)學(xué)概念的意義,反映數(shù)學(xué)對象,本質(zhì)屬性,的思維形式叫做“數(shù)學(xué)概念”。,數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和發(fā)展的途徑,（,1,）從現(xiàn)實(shí)模型直接得來；,（,2,）經(jīng)過,多級抽象,概括得來；,（,3,）從數(shù)學(xué),內(nèi)部需要,產(chǎn)生出來；,（,4,）把客觀事物理想化和純粹化得出；,（,5,）根據(jù)有理論上存在的可能性而提出等,數(shù)學(xué)概念是發(fā)展變化的：原因一方面事物是發(fā)展變化的，另一方面人們的認(rèn)識是不斷深化的。如：自然數(shù)集（加零）擴(kuò)大的自然數(shù)集（加正分?jǐn)?shù)）算術(shù)

2、數(shù)集（加負(fù)整（分）數(shù)）有理數(shù)集（加無理數(shù)）實(shí)數(shù)集（加虛數(shù)）復(fù)數(shù)集,概念和詞語密切聯(lián)系：語詞是概念的語言形式，而概念是語詞的思想內(nèi)容，兩者密切聯(lián)系，不可分割。,概念和語詞之間是一一對應(yīng)的嗎？,數(shù)學(xué)概念的重要性：非?；?，也非常重要，判斷由概念構(gòu)成，推理由判斷構(gòu)成，論證由判斷和推理構(gòu)成，因此概念是其他思維形式的基礎(chǔ)，是思維的細(xì)胞。,數(shù)量關(guān)系和空間形式,概念的內(nèi)涵和外延,概念的,內(nèi)涵,亦稱內(nèi)包,：就是概念所反映的事物的本質(zhì)屬性的總和,是概念的質(zhì)的方面，它說明所反映的事物是什么樣的。是指概念所反映的對象的,特有屬性、本質(zhì)屬性,。,概念的,外延,亦稱外包，,指概念所反映的對象的,總和（或范圍），,是概念

3、的量的方面，它說明概念所反映的是哪些事物,。,例：“,ABC,的頂點(diǎn),”,內(nèi)涵,是指點(diǎn)的性質(zhì)和其中任一點(diǎn)同在這個(gè)三角形兩邊之上這個(gè)性質(zhì)；,外延,是指,A,、,B,、,C,三點(diǎn)的集合。,注：,（,1,）,數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學(xué)科學(xué)體系中來認(rèn)識的。,例如，,角,的概念在平面幾何中和在平面三角中的內(nèi)涵和外延均不同。,（,2,）概念的內(nèi)涵和外延是發(fā)展的,（,3,）,概念的內(nèi)涵和外延關(guān)系密切、互相依賴。,概念間的關(guān)系（指概念外延間的關(guān)系）,概念間的關(guān)系（概念外延間的同異關(guān)系）,1,、相容關(guān)系（,兩個(gè)概念外延之間至少有一部分重合,）,（,1,）同一關(guān)系（全同關(guān)系或重合關(guān)系）：,外延完全重合，內(nèi)

4、涵可以不同。,例如,：,（一）,數(shù),0,是擴(kuò)大的自然數(shù)集中最小的數(shù)，又是正數(shù),與負(fù)數(shù)的分界數(shù)，在數(shù)的運(yùn)算中它又是兩個(gè),相等數(shù)的差等；,（二）,等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角的平分線,的外延都是同,一條線段，而內(nèi)涵也各不相同。,注,：,研究概念間的同一關(guān)系，可以對概念所反映的對象得到較深刻、較,全面的認(rèn)識。另外，在推理證明中具有全同關(guān)系的概念可以互相代換，使,得論證簡明。,（,2,）從屬關(guān)系（屬種關(guān)系）,如果甲概念的外延,真包含,乙概念的外延 ，如下圖所示，那么，這兩個(gè)概念具有,從屬關(guān)系,。其中，外延較,大,的那個(gè)概念叫做,屬概念,，外延較,小,的那個(gè)概念叫做,種概念,。這兩個(gè)概念的外延

5、和 的關(guān)系可以寫成,例如四邊形和平行四邊形是具有屬種關(guān)系的概念；實(shí)數(shù)和有理數(shù)也具有屬種關(guān)系的概念。在屬種關(guān)系中，外延大的那個(gè)叫屬概念，外延小的那個(gè)叫種概念,（一個(gè)概念的屬概念是否唯一，一個(gè)概念的種概念是否唯一？）,注意：一是種類概念之間具有相對性。二是要區(qū)分從屬關(guān)系和全體與部分的關(guān)系。有的概念之間既有從屬關(guān)系又有全體與部分的關(guān)系。有的卻不然。例如,對數(shù)與它的首數(shù)、尾數(shù)之間的關(guān)系不是從屬關(guān)系,只是全體與部分的關(guān)系。,（,3,）交叉關(guān)系,如果兩個(gè)概念的外延有且只有部分重合，那么這兩個(gè)概念具有,交叉關(guān)系,或者叫做部分重合關(guān)系，如下圖。用集合符號表示概念的交叉關(guān)系，可設(shè)兩個(gè)概念的外延分別是集合 和 集

6、合，如果 是非空集合而且不是 ，那么這兩個(gè)概念具有,交叉,關(guān)系。,例：,（,1,）整數(shù)和整數(shù),（,2,）等腰三角形和直角三角形,（,4,）不相容關(guān)系（全異關(guān)系）,如果兩個(gè)概念的外延間沒有任何一部分重合的關(guān)系，那么這兩個(gè)概念具有,全異關(guān)系,，這種關(guān)系又叫做“全異關(guān)系”或“排斥關(guān)系”。,全異關(guān)系又分為,反對關(guān)系,、,矛盾關(guān)系和并列關(guān)系,.,反對關(guān)系：,兩個(gè)概念的外延完全不同，而且,它們的外延之和小于其屬概念的外延，如正有理,數(shù)和負(fù)有理數(shù)相對于有理數(shù)來說是反對關(guān)系。,矛盾關(guān)系：,兩個(gè)概念的外延完全不同，并且,它們的外延之和等于其屬概念的外延。如有理數(shù),和無理數(shù)相對于實(shí)數(shù)來說就是矛盾關(guān)系。,并列關(guān)系：

7、,指兩個(gè)或兩個(gè)以上的同一系列的類概念，同時(shí)對于它們共同的種概念之間的關(guān)系，外延無公共部分。,反對關(guān)系,矛盾關(guān)系,內(nèi)涵和外延的反變關(guān)系,概念的內(nèi)涵與外延這兩個(gè)方面是相互聯(lián)系、互相制約的。當(dāng)概念的內(nèi)涵擴(kuò)大時(shí),則概念的外延就縮小,;,當(dāng)概念的內(nèi)涵縮小時(shí),則概念的外延就擴(kuò)大。內(nèi)涵和外延之間的這種關(guān)系,稱為反變關(guān)系。,例如,在四邊形的內(nèi)涵中,增加,“,兩組對邊分別平行,”,這個(gè)性質(zhì),那就得到平行四邊形的概念,而平行四邊形的外延比四邊形的外延縮小了。,不過這里要注意,這種反變關(guān)系只能適用于外延間存在著包含和被包含的兩個(gè)概念之間。,概念的定義和原始概念,把概念的內(nèi)涵用語言表達(dá)出來，就是給概念下定義。（,揭示

8、概念內(nèi)涵的邏輯方法,）,原始概念：,一些概念不能再用別的概念來定義，而被作為概念體系的出發(fā)點(diǎn)，這樣的概念叫原始概念，或基本概念，或不定義概念,如：點(diǎn)、線、面、空間、集合、元素、對應(yīng)等。,定義的結(jié)構(gòu)：,被定義項(xiàng)（被定義的概念）、定義聯(lián)項(xiàng)（聯(lián)系詞）和定義項(xiàng)（下定義的概念）。,如：平行四邊形,就是,兩組對邊分別平行的四邊形。,下定義的方法：,鄰近的屬加種差的定義,鄰近的屬：,在一個(gè)概念的各個(gè)屬概念中，其內(nèi)涵與這個(gè)概念的內(nèi)涵之差最小的，叫這個(gè)概念的鄰近的屬。,如平行四邊形是矩形的屬概念而四邊形和多邊形則不是。,種差：,用于區(qū)別該概念和鄰近的屬概念的屬性）,例：,一個(gè)角是直角,的,平行四邊形,叫做,矩形

9、,（種差）（鄰近的屬）（被定義的項(xiàng)）,兩組對邊分別平行,的,四邊形,叫做,平行四邊形,（種差）（鄰近的屬）（被定義項(xiàng)）,注：,一個(gè)概念的同一個(gè)屬可以有不同的種差，因此同一個(gè)概念可以有不同的定義。,發(fā)生定義：,用一類事物產(chǎn)生或形成的情況作為種差作出定義。,例如：,“圓是由一定線段的一動端點(diǎn)在平面上繞另一不動端點(diǎn)運(yùn)動而形成的封閉曲線”。這種定義一般說來語言敘述比較長，但直觀、生動，有時(shí)可以用圖形直觀地表示出來。,關(guān)系定義：,用對象之間的關(guān)系作為種差而作出的定義。,例如：,“偶數(shù)就是能被,2,整除的整數(shù)”,外延定義：,列舉概念的全部對象來下定義。,例如：,“有理數(shù)是正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和零

10、的統(tǒng)稱”,遞歸定義：,當(dāng)被定義的對象與自然數(shù)性質(zhì)有關(guān)時(shí)常采用。,公理定義法,（約定式定義）,規(guī)定“”,下定義的基本要求,定義要下得正確,必須遵守以下規(guī)則,（,1,）定義應(yīng)當(dāng)相稱,所謂定義相稱指下定義概念的外延與被定義概念的外延必須相等,不能擴(kuò)大,也不能縮小,即通常說的不能過寬也不能過窄。,定義過寬,：下定義概念的外延大于被定義概念的外延。,例如,:A,、無理數(shù)是無限小數(shù)；,B,、直徑是弦。,此兩例都犯了定義過寬的邏輯錯(cuò)誤。例,A,中的下定義概念,“,無限小數(shù),”,外延大,于被定義概念,“,無理數(shù),”,外延。因無限小數(shù)包含無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),而無限循環(huán)小數(shù)就不是無理數(shù)。例,B,中的下定

11、義概念,“,弦,”,的外延大于被定義概念,“,直徑,”,的外延。,定義過窄：,下定義概念的外延小于被定義概念的外延。,例如,:A,、無理數(shù)是有理數(shù)的不盡方根；,B,、各角為直角的菱形是矩形。,此兩例都犯了定義過窄的錯(cuò)誤。例,A,中的下定義概念,“,有理數(shù)的不盡方根,”,的外,延小于被定義概念,“,無理數(shù),”,的外延。因?yàn)?、,e,、,lg3,等都是無理數(shù),它們都不是有,理數(shù)的不盡方根。例,B,中的下定義概念,“,各角為直角的菱形,”,的外延小于被定義概念,“,矩形,”,的外延。因?yàn)楦鹘菫橹苯堑牧庑问钦叫?正方形一定是矩形,但矩形不一,定是正方形。,（,2,）定義不能惡性循環(huán),在定義中,下定義

12、概念必須能直接地揭示被定義概念的內(nèi)涵,而不,能直接或間接地依賴于被定義概念。下定義的目的就是要揭示被定義,概念的內(nèi)涵。如果下定義概念直接或間接地包含了被定義概念,那么就,達(dá)不到明確概念內(nèi)涵的目的。違犯了這條規(guī)則,就會犯循環(huán)定義的邏輯,錯(cuò)誤。,循環(huán)定義常有以下兩種情況,：,惡性循環(huán)：,在一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中,如果把概念,A,作為已知的概念來定義概念,B,但,又用概念,B,來定義概念,A,這種邏輯錯(cuò)誤叫做定義惡性循環(huán)。例如用兩條,直線垂直來定義直角,反過來又用兩直線交成直角來定義垂直。這樣定,義概念不能揭示概念的內(nèi)涵。,詞語反復(fù)：,用被定義概念的簡單重復(fù)來定義被定義的概念,即用自身定義自己,這種邏輯錯(cuò)誤

13、叫做詞語反復(fù),結(jié)果什么也沒有說清楚。以下幾例都犯了,詞語反復(fù)的錯(cuò)誤。,1,互質(zhì)數(shù)就是互為質(zhì)數(shù)的數(shù)。,2,基礎(chǔ)知識就是最基礎(chǔ)的知識。,（,3,）定義,一般,不用否定形式,定義應(yīng)從正面對被定義概念的本質(zhì)屬性用肯定形式給予揭示,一般不用否定形式。例如,“,不是有理數(shù)的數(shù)叫做無理數(shù),”,。這樣定,義無理數(shù),既不能揭示無理數(shù)的內(nèi)涵,又不能確定無理數(shù)的外延。,但是,有些概念的特有屬性就是它缺少某個(gè)屬性,對這樣的概,念下定義可用否定形式。例如,“,同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫,做平行線,”,就是用的否定形式。,（,4,）定義應(yīng)當(dāng)簡明,（,5,）定義一般不用比喻說法,在定義中不能應(yīng)用比喻或含混不清的概念,不應(yīng)

14、列舉非本質(zhì)屬,性,不應(yīng)含有多余詞語,也不能漏掉必須的詞語。,例如,“,無窮小是很小很小的數(shù),”,這樣定義無窮小是錯(cuò)誤的。,從外表看,頗似定義,但它用了比喻詞。又如,“,正方形是一種有規(guī),則四邊形,”,“,有規(guī)則,”,是一個(gè)不可捉摸的含混概念,這樣定義不能,揭示出,“,正方形,”,的內(nèi)涵。再如,“,對邊平行且相等的平面四邊形是,平行四邊形,”,。這個(gè)定義既不清楚確切,也不簡明。定義中漏掉了,“,兩組,”,、,“,分別,”,、多了,“,且相等,”,“,平面,”,。,概念的劃分和分類,劃分是明確概念外延的邏輯方法，就是將一個(gè)概念所指的事物，按,照不同的屬性分成若干小類，從概念來說，就是將一個(gè)屬概念劃

15、分成若,干種概念，被劃分的類叫做劃分的母項(xiàng)，若干小類叫做劃分的子項(xiàng)。,概念的劃分：,把一個(gè)屬概念分為若干個(gè)不相容種概念的邏輯方法。,概念的分類是劃分的特殊形式，是根據(jù)概念所反映對象的本質(zhì)屬性,或特征所進(jìn)行的劃分。,概念分類的要求：,（,1,）排中律：,不能同假，必有一真，即,A,和,A,必居其一，且僅居其一，,A,或,A,）,（,2,）同一律：,保持同一性，,A,是,A,（,3,）無矛盾律：,使用同一標(biāo)準(zhǔn)，逐級分類等,劃分規(guī)則,（,1,）劃分后各子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容：,子項(xiàng)之間必須有全異關(guān)系，違反這條規(guī)則叫做犯了子項(xiàng)相容的錯(cuò)誤。,例如：,把平行四邊形劃分為菱形、正方形和鄰邊不等的平行四邊形。,（,

16、2,）,各個(gè)子項(xiàng)必須窮盡母項(xiàng)：,子項(xiàng)的總和應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)全同，違反這條規(guī)則叫做犯了子項(xiàng)不窮盡錯(cuò)誤。,例如：,把平行四邊形劃分為菱形、正方形和矩形。,（,3,）每一次劃分應(yīng)當(dāng)用同一個(gè)劃分標(biāo)準(zhǔn)：,劃分的標(biāo)準(zhǔn)可以不同，但每一次劃分時(shí)不能用兩種或兩種以上的劃分,標(biāo)準(zhǔn)。,（,4,）不能越級劃分：,應(yīng)取最接近的種概念，否則就叫做犯了越級分類的錯(cuò)誤。,如：把實(shí)數(shù)分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)。,二分法：,首先把被劃分的概念分為兩個(gè)互相矛盾的概念，再繼續(xù)按照此方法進(jìn)行，最后得到的種概念就一定能夠滿足前面的三條規(guī)則。,如：用二分法表示線性方程組的解,數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn),概括性,邏輯性,抽象性,多質(zhì)性,發(fā)展性,數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析,概念學(xué)習(xí)的基本形式,1.,概念的,形成,概念形成就是讓學(xué)生從大量同類事物的不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)同類事,物的本質(zhì)屬性，從而形成概念。因此，數(shù)學(xué)概念的形成實(shí)質(zhì)上是抽象出,數(shù)學(xué)對象的共同本質(zhì)特征的過程?？筛爬ㄈ缦拢?（,1,）,辨別,各種刺激模式，通過比較，在知覺水平上進(jìn)行分析、辨認(rèn)，根,據(jù)事物的外部特征進(jìn)行概括。,（,2,）,分化,出各種刺激模式的屬性。,（,3,）,抽象,出各個(gè)刺激模式的共同屬性。,（,