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1、第三章導數(shù)及其應用章末復習課1.理解導數(shù)的幾何意義并能解決有關斜率、切線方程等的問題.2.掌握初等函數(shù)的求導公式，并能夠綜合運用求導法則求函 數(shù)的導數(shù).3.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的方法，會用導數(shù)求函數(shù)的 極值和最值.4.會用導數(shù)解決一些簡單的實際應用問題.學習目標題型探究知識梳理內容索引當堂訓練知識梳理知識點一在xx0處的導數(shù)斜率知識點二導函數(shù)當x變化時，f(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的 (簡稱 )，f(x)y .導函數(shù)導數(shù)知識點三基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)yC(C為常數(shù))y_yxu(uQ*)y_ysin xy_ycos xy_yaxy (a0，a1)0uxu1cos
2、 xsin xaxln ayexy_ylogaxy (a0且a1，x0)yln xy_ex知識點四導數(shù)的運算法則和差的導數(shù)f(x)g(x)_積的導數(shù)f(x)g(x)_商的導數(shù)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)知識點五函數(shù)的單調性、極值與導數(shù)1.函數(shù)的單調性與導數(shù)如果在(a，b)內， ，則f(x)在此區(qū)間內單調遞增； ，則f(x)在此區(qū)間內單調遞減.2.函數(shù)的極值與導數(shù)已知函數(shù)yf(x)及其定義域內一點x0，對于存在一個包含x0的開區(qū)間內的所有點x，如果都有 ，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取 ，記作y極大值f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極大值點；如果都有 ，則稱函數(shù)f(x
3、)在點x0處取 ，記作y極小值f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極小值點.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.f(x)0f(x)0f(x)f(x0)極小值知識點六求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟1.求f(x)在開區(qū)間(a，b)內所有 .2.計算函數(shù)f(x)在極值點和 ，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.極值點端點的函數(shù)值題型探究類型一導數(shù)幾何意義的應用解答例例1已知函數(shù)f(x)xaln x(aR).(1)當a2時，求曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程；f(1)1，f(1)1, yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程為y1(
4、x1), 即xy20.(2)求函數(shù)f(x)的極值.解答當a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； 當a0時，由f(x)0，解得xa.當x(0，a)時，f(x)0，f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值.綜上，當a0時，函數(shù)f(x)無極值；當a0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直線m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；解答因為f(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.(2)是否存在實數(shù)k
5、，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由.解答因為直線m過定點(0,9)，先求過點(0,9)，且與曲線yg(x)相切的直線方程.當x01時，g(1)12，g(1)21，切點坐標為(1,21)，所以切線方程為y12x9；當x01時，g(1)0，g(1)9，切點坐標為(1,9)，所以切線方程為y9.下面求曲線yf(x)的斜率為12和0的切線方程：因為f(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.當x0時，f(0)11，此時切線方程為y12x11；當x1時，f(1)2，此時
6、切線方程為y12x10.所以y12x9不是公切線.由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.當x1時，f(1)18，此時切線方程為y18；當x2時，f(2)9，此時切線方程為y9，所以y9是公切線.綜上所述，當k0時，y9是兩曲線的公切線.類型二函數(shù)的單調性與導數(shù)解答由f(x)0，得x2，由f(x)2.故f(x)的單調遞增區(qū)間為(，2)，單調遞減區(qū)間為(2，).解答反思與感悟(1)關注函數(shù)的定義域，單調區(qū)間應為定義域的子區(qū)間.(2)已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性時轉化要等價.(3)分類討論求函數(shù)的單調區(qū)間實質是討論不等式的解集.(4)求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法.跟蹤訓練跟蹤訓練2已知
7、函數(shù)f(x)x3ax1.(1)若f(x)在實數(shù)集R上單調遞增，求a的取值范圍；解答求導得f(x)3x2a，因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x)0在R上恒成立.即3x2a0在R上恒成立，即a3x2，而3x20，所以a0.當a0時，f(x)x31在R上單調遞增，符合題意.所以a的取值范圍是(，0.(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調遞減，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由.假設存在實數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調遞減，則f(x)0在(1,1)上恒成立.即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因為在(1,1)上，03x23，所以a3.當a3時，f(x)3x2
8、3，在(1,1)上，f(x)0；所以f(x)在區(qū)間3,1上的最大值為13.反思與感悟(1)已知極值點求參數(shù)的值后，要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義.(2)討論極值點的實質是討論函數(shù)的單調性，即f(x)的正負.(3)求最大值要在極大值與端點值中取最大者，求最小值要在極小值與端點值中取最小者.解答(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值.解答令f(x)0，解得x1或x5.因為x1不在f(x)的定義域(0，)內，故舍去.當x(0,5)時，f(x)0，故f(x)在(5，)內為增函數(shù).所以函數(shù)f(x)在x5時取得極小值f(5)ln 5.類型四分類討論思想解答函數(shù)f(x)的定義域是(0，).令f(x)0，得
9、1ln x0，所以xe.所以函數(shù)f(x)在(0，e上單調遞增，在(e，)上單調遞減.(2)設m0，求f(x)在m,2m上的最大值；解答由(1)知函數(shù)f(x)在(0，e上單調遞增，在(e，)上單調遞減，f(x)在m,2m上單調遞增，當me時，f(x)在m,2m上單調遞減.當mx0，當ex2m時，f(x)3，a3x20，即f(x)0.f(x)在(0,1上單調遞增.(2)若a3，試判斷f(x)在(0,1上的單調性，并證明你的結論；解答(3)是否存在a，使得當x(0,1時，f(x)有最大值1?解答當a3時，f(x)在(0,1上單調遞增，f(x)maxf(1)a11.a2與a3矛盾.當0a3時，令f(x
10、)a3x20，當a0時，f(x)a3x20，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上單調遞增，則a的最大值為 .答案解析12345解答12345(2)求函數(shù)f(x)的極值.解答當x(0,1)時，f(x)0，故f(x)在(1，)上為增函數(shù).故f(x)在x1處取得極小值f(1)3，無極大值.規(guī)律與方法1.利用導數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程yy0f(x0)(xx0).明確“過點P(x0，y0)的曲線yf(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線yf(x)的切線方程”的異同點.2.借助導數(shù)研究函數(shù)的單調性，經常同三次函數(shù)，一元二次不等式結合，融分類討論、數(shù)形結合于一體.3.利用導數(shù)求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關系式，轉化為求最值問題.本課結束
數(shù)學 第三單元 導數(shù)及其應用章末課 新人教B版選修1-1
