數(shù)學(xué) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末課 新人教B版選修1-1

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率、切線方程等的問(wèn)題.2.掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，并能夠綜合運(yùn)用求導(dǎo)法則求函 數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的 極值和最值.4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究知識(shí)梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一在xx0處的導(dǎo)數(shù)斜率知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)函數(shù)當(dāng)x變化時(shí)，f(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱(chēng)它為f(x)的 (簡(jiǎn)稱(chēng) )，f(x)y .導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)三基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)yC(C為常數(shù))y_yxu(uQ*)y_ysin xy_ycos xy_yaxy (a0，a1)0uxu1cos xsin xaxln ayexy_ylogaxy (a0且a1，x0)yln xy_ex知識(shí)點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和差的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)_積的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)_商的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果在(a，b)內(nèi)， ，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； ，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)yf(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x0，對(duì)于存在一個(gè)包含x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)x，如果都有 ，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取 ，記作y極大值f(x0)，并把x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果都有 ，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取 ，記作y極小值f(x0)，并把x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn).極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn).f(x)0f(x)0f(x)f(x0)極小值知識(shí)點(diǎn)六求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟1.求f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)所有 .2.計(jì)算函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)和 ，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.極值點(diǎn)端點(diǎn)的函數(shù)值題型探究類(lèi)型一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用解答例例1已知函數(shù)f(x)xaln x(aR).(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程；f(1)1，f(1)1, yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1), 即xy20.(2)求函數(shù)f(x)的極值.解答當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值； 當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，解得xa.當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)0，f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無(wú)極大值.綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無(wú)極大值.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直線m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；解答因?yàn)閒(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說(shuō)明理由.解答因?yàn)橹本€m過(guò)定點(diǎn)(0,9)，先求過(guò)點(diǎn)(0,9)，且與曲線yg(x)相切的直線方程.當(dāng)x01時(shí)，g(1)12，g(1)21，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,21)，所以切線方程為y12x9；當(dāng)x01時(shí)，g(1)0，g(1)9，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,9)，所以切線方程為y9.下面求曲線yf(x)的斜率為12和0的切線方程：因?yàn)閒(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.當(dāng)x0時(shí)，f(0)11，此時(shí)切線方程為y12x11；當(dāng)x1時(shí)，f(1)2，此時(shí)切線方程為y12x10.所以y12x9不是公切線.由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.當(dāng)x1時(shí)，f(1)18，此時(shí)切線方程為y18；當(dāng)x2時(shí)，f(2)9，此時(shí)切線方程為y9，所以y9是公切線.綜上所述，當(dāng)k0時(shí)，y9是兩曲線的公切線.類(lèi)型二函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)解答由f(x)0，得x2，由f(x)2.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，).解答反思與感悟(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間.(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià).(3)分類(lèi)討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集.(4)求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；解答求導(dǎo)得f(x)3x2a，因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x)0在R上恒成立.即3x2a0在R上恒成立，即a3x2，而3x20，所以a0.當(dāng)a0時(shí)，f(x)x31在R上單調(diào)遞增，符合題意.所以a的取值范圍是(，0.(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，則f(x)0在(1,1)上恒成立.即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因?yàn)樵?1,1)上，03x23，所以a3.當(dāng)a3時(shí)，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0；所以f(x)在區(qū)間3,1上的最大值為13.反思與感悟(1)已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后，要代回驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義.(2)討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f(x)的正負(fù).(3)求最大值要在極大值與端點(diǎn)值中取最大者，求最小值要在極小值與端點(diǎn)值中取最小者.解答(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.解答令f(x)0，解得x1或x5.因?yàn)閤1不在f(x)的定義域(0，)內(nèi)，故舍去.當(dāng)x(0,5)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(5，)內(nèi)為增函數(shù).所以函數(shù)f(x)在x5時(shí)取得極小值f(5)ln 5.類(lèi)型四分類(lèi)討論思想解答函數(shù)f(x)的定義域是(0，).令f(x)0，得1ln x0，所以xe.所以函數(shù)f(x)在(0，e上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減.(2)設(shè)m0，求f(x)在m,2m上的最大值；解答由(1)知函數(shù)f(x)在(0，e上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，f(x)在m,2m上單調(diào)遞增，當(dāng)me時(shí)，f(x)在m,2m上單調(diào)遞減.當(dāng)mx0，當(dāng)ex2m時(shí)，f(x)3，a3x20，即f(x)0.f(x)在(0,1上單調(diào)遞增.(2)若a3，試判斷f(x)在(0,1上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；解答(3)是否存在a，使得當(dāng)x(0,1時(shí)，f(x)有最大值1?解答當(dāng)a3時(shí)，f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，f(x)maxf(1)a11.a2與a3矛盾.當(dāng)0a3時(shí)，令f(x)a3x20，當(dāng)a0時(shí)，f(x)a3x20，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上單調(diào)遞增，則a的最大值為 .答案解析12345解答12345(2)求函數(shù)f(x)的極值.解答當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(1，)上為增函數(shù).故f(x)在x1處取得極小值f(1)3，無(wú)極大值.規(guī)律與方法1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程yy0f(x0)(xx0).明確“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的曲線yf(x)的切線方程”與“在點(diǎn)P(x0，y0)處的曲線yf(x)的切線方程”的異同點(diǎn).2.借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常同三次函數(shù)，一元二次不等式結(jié)合，融分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合于一體.3.利用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.本課結(jié)束