2022年中考數(shù)學考前專題輔導 冪函數(shù)

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1、教學目標 1、掌握冪函數(shù)的形式特征,掌握具體冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)。 2、能應用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題。重點、難點 從具體函數(shù)歸納認識冪函數(shù)的一些性質(zhì)并簡單應用,引導學生概括出冪函數(shù) 的性質(zhì)。考點及考試要求考點1:冪函數(shù)的概念考點2:指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)考點3:指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別教 學 內(nèi) 容第一課時 冪函數(shù)知識盤點一、冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納(1)所有的冪函數(shù)在(0,+)都有定義并且圖象都過點(1,1);(2)時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地,當時,冪函數(shù)的圖象下凸;當時,冪函數(shù)的圖象上凸;(3)時,冪

2、函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi),當從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸函數(shù)作為高中數(shù)學的主線,貫穿于整個高中數(shù)學學習的始終,而冪函數(shù)是其中的一部分內(nèi)容,這部分內(nèi)容雖然少而簡單,卻包含了一些重要的數(shù)學思想下面剖析幾例,以拓展你的思維二、冪函數(shù)解題思想(一)分類討論的思想例1已知函數(shù)的圖象與兩坐標軸都無公共點,且其圖象關(guān)于y軸對稱,求n的值,并畫出函數(shù)的圖象解:因為圖象與y軸無公共點,故,又圖象關(guān)于y軸對稱,則為偶數(shù),由,得,又因為,所以當時,不是偶數(shù);當時,為偶數(shù);當時,為偶數(shù);當時,不是偶數(shù);當時,為偶數(shù);所以n為,1或3此時,冪函

3、數(shù)的解析為或,其圖象如圖所示(二)數(shù)形結(jié)合的思想例2已知點在冪函數(shù)的圖象上,點,在冪函數(shù)的圖象上問當x為何值時有:();();()分析:由冪函數(shù)的定義,先求出與的解析式,再利用圖象判斷即可解:設(shè),則由題意,得,即再令,則由題意,得,即在同一坐標系中作出與的圖象,如圖2所示由圖象可知:(1)當或時,;(2)當時,;(3)當且時,小結(jié):數(shù)形結(jié)合在討論不等式時有著重要的應用,注意本題中的隱含條件(三)轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想例3函數(shù)的定義域是全體實數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是()解析:要使函數(shù)的定義域是全體實數(shù),可轉(zhuǎn)化為對一切實數(shù)都成立,即且解得故選()第二課時 冪函數(shù)習題精講冪函數(shù)中的三類討論題:所謂分類討論,

4、實質(zhì)上是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的策略 分類討論時應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧,做到確定對象的全體,明確分類的標準,不重、不漏的分類討論在冪函數(shù)中,分類討論的思想得到了重要的體現(xiàn),可根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),依據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性分類討論,使得結(jié)果得以實現(xiàn)類型一:求參數(shù)的取值范圍例1已知函數(shù)為偶函數(shù),且,求m的值,并確定的解析式分析:函數(shù)為偶函數(shù),已限定了必為偶數(shù),且,只要根據(jù)條件分類討論便可求得m的值,從而確定的解析式解:是偶函數(shù),應為偶數(shù)又,即,整理,得,又,或1當m=0時,為奇數(shù)(舍去);當時,為偶數(shù)故m的值為1,評注:利用分類討論思想解題時,要充分挖掘已知條件中的每一個信

5、息,做到不重不漏,才可為正確解題奠定堅實的基礎(chǔ)類型二:求解存在性問題例2已知函數(shù),設(shè)函數(shù),問是否存在實數(shù),使得在區(qū)間是減函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù)?若存在,請求出來;若不存在,請說明理由分析:判斷函數(shù)的單調(diào)性時,可以利用定義,也可結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷,但要注意問題中符號的確定,要依賴于自變量的取值區(qū)間解:,則假設(shè)存在實數(shù),使得滿足題設(shè)條件,設(shè),則若,易知,要使在上是減函數(shù),則應有恒成立,而,.從而要使恒成立,則有,即若,易知,要使在上是增函數(shù),則應有恒成立,而,要使恒成立,則必有,即綜上可知,存在實數(shù),使得在上是減函數(shù),且在上是增函數(shù)評注:本題是一道綜合性較強的題目,是冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應

6、用判斷函數(shù)的單調(diào)性時,可從定義入手,也可根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)進行判斷,但對分析問題和解決問題的能力要求較高,這在平時要注意有針對性的訓練類型三:類比冪函數(shù)性質(zhì),討論函數(shù)值的變化情況例3討論函數(shù)在時隨著x的增大其函數(shù)值的變化情況分析:首先應判定函數(shù)是否為常數(shù)函數(shù),再看冪指數(shù),并參照冪函數(shù)的性質(zhì)討論解:(1)當,即或時,為常函數(shù);(2)當時,或,此時函數(shù)為常函數(shù);(3)即時,函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)值隨x的增大而減小;(4)當即或時,函數(shù)為增函數(shù),函數(shù)值隨x的增大而增大;(5)當即時,函數(shù)為增函數(shù),函數(shù)值隨x的增大而增大;(6)當,即時,函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)值隨x的增大而減小評注:含參數(shù)系數(shù)問題,可以說是解

7、題中的一個致命殺手,是導致錯誤的一個重要因素這應引起我們的高度警覺第三課時 冪函數(shù)鞏固練習例1若,試求實數(shù)m的取值范圍正解(分類討論):(1)解得;(2)此時無解;(3), 解得綜上可得例2若,試求實數(shù)m的取值范圍正解(利用單調(diào)性):由于函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,解得例3若,試求實數(shù)m的取值范圍解:由圖3,解得例4若,試求實數(shù)m的取值范圍解析:作出冪函數(shù)的圖象如圖4由圖象知此函數(shù)在上不具有單調(diào)性,若分類討論步驟較繁,把問題轉(zhuǎn)化到一個單調(diào)區(qū)間上是關(guān)鍵考慮時,于是有,即又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增, 解得,或m4典型例題例1.寫出下列函數(shù)的定義域,并指出它們的奇偶性:(1) (2) (3) (4) (5)

8、(6)解:(1)此函數(shù)的定義域為R, 此函數(shù)為奇函數(shù)(2)此函數(shù)的定義域為 此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱 此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)(3)此函數(shù)的定義域為 此函數(shù)為偶函數(shù)(4)此函數(shù)的定義域為 此函數(shù)為偶函數(shù)(5)此函數(shù)的定義域為此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)(6) 此函數(shù)的定義域為 此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)變式訓練1:討論下列函數(shù)的定義域、值域,奇偶性與單調(diào)性:(1) (2) (3)(4)(5)例2比較大?。海?) (2)(3) (4)解:(1)在上是增函數(shù), (2)在上是增函數(shù),(3)在上是減函數(shù),;是增函數(shù),;綜上, (4),變式訓練2:將下列各組數(shù)用小于號從小到大排列:(1) (2) (3)例3已知冪函數(shù)()的圖象與軸、軸都無交點,且關(guān)于原點對稱,求的值分析:冪函數(shù)圖象與軸、軸都無交點,則指數(shù)小于或等于零;圖象關(guān)于原點對稱,則函數(shù)為奇函數(shù)結(jié)合,便可逐步確定的值解:冪函數(shù)()的圖象與軸、軸都無交點,;,又函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,是奇數(shù),或變式訓練3:證明冪函數(shù)在上是增函數(shù)小結(jié)歸納1注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別2.冪函數(shù)的性質(zhì)要熟練掌握

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