2022年中考數(shù)學(xué)考前專題輔導(dǎo) 冪函數(shù)

教學(xué)目標(biāo) 1、掌握冪函數(shù)的形式特征，掌握具體冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)。 2、能應(yīng)用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題。重點(diǎn)、難點(diǎn) 從具體函數(shù)歸納認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的一些性質(zhì)并簡單應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生概括出冪函數(shù) 的性質(zhì)?？键c(diǎn)及考試要求考點(diǎn)1：冪函數(shù)的概念考點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)考點(diǎn)3：指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別教 學(xué) 內(nèi) 容第一課時(shí) 冪函數(shù)知識(shí)盤點(diǎn)一、冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，而冪函數(shù)是其中的一部分內(nèi)容，這部分內(nèi)容雖然少而簡單，卻包含了一些重要的數(shù)學(xué)思想下面剖析幾例，以拓展你的思維二、冪函數(shù)解題思想（一）分類討論的思想例1已知函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸都無公共點(diǎn)，且其圖象關(guān)于y軸對稱，求n的值，并畫出函數(shù)的圖象解：因?yàn)閳D象與y軸無公共點(diǎn)，故，又圖象關(guān)于y軸對稱，則為偶數(shù)，由，得，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，不是偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，不是偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)；所以n為，1或3此時(shí)，冪函數(shù)的解析為或，其圖象如圖所示（二）數(shù)形結(jié)合的思想例2已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，在冪函數(shù)的圖象上問當(dāng)x為何值時(shí)有：（）；（）；（）分析：由冪函數(shù)的定義，先求出與的解析式，再利用圖象判斷即可解：設(shè)，則由題意，得，即再令，則由題意，得，即在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，如圖2所示由圖象可知：（1）當(dāng)或時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)且時(shí)，小結(jié)：數(shù)形結(jié)合在討論不等式時(shí)有著重要的應(yīng)用，注意本題中的隱含條件（三）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想例3函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）解析：要使函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為對一切實(shí)數(shù)都成立，即且解得故選（）第二課時(shí) 冪函數(shù)習(xí)題精講冪函數(shù)中的三類討論題：所謂分類討論，實(shí)質(zhì)上是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略 分類討論時(shí)應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，不重、不漏的分類討論在冪函數(shù)中，分類討論的思想得到了重要的體現(xiàn)，可根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，依據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性分類討論，使得結(jié)果得以實(shí)現(xiàn)類型一：求參數(shù)的取值范圍例1已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，求m的值，并確定的解析式分析：函數(shù)為偶函數(shù)，已限定了必為偶數(shù)，且，只要根據(jù)條件分類討論便可求得m的值，從而確定的解析式解：是偶函數(shù)，應(yīng)為偶數(shù)又，即，整理，得，又，或1當(dāng)m=0時(shí)，為奇數(shù)（舍去）；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)故m的值為1，評注：利用分類討論思想解題時(shí)，要充分挖掘已知條件中的每一個(gè)信息，做到不重不漏，才可為正確解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)類型二：求解存在性問題例2已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由分析：判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以利用定義，也可結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷，但要注意問題中符號(hào)的確定，要依賴于自變量的取值區(qū)間解：，則假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得滿足題設(shè)條件，設(shè)，則若，易知，要使在上是減函數(shù)，則應(yīng)有恒成立，而，.從而要使恒成立，則有，即若，易知，要使在上是增函數(shù)，則應(yīng)有恒成立，而，要使恒成立，則必有，即綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)評注：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，是冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可從定義入手，也可根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷，但對分析問題和解決問題的能力要求較高，這在平時(shí)要注意有針對性的訓(xùn)練類型三：類比冪函數(shù)性質(zhì)，討論函數(shù)值的變化情況例3討論函數(shù)在時(shí)隨著x的增大其函數(shù)值的變化情況分析：首先應(yīng)判定函數(shù)是否為常數(shù)函數(shù)，再看冪指數(shù)，并參照冪函數(shù)的性質(zhì)討論解：（1）當(dāng)，即或時(shí)，為常函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)函數(shù)為常函數(shù)；（3）即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減??；（4）當(dāng)即或時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大；（5）當(dāng)即時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大；（6）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減小評注：含參數(shù)系數(shù)問題，可以說是解題中的一個(gè)致命殺手，是導(dǎo)致錯(cuò)誤的一個(gè)重要因素這應(yīng)引起我們的高度警覺第三課時(shí) 冪函數(shù)鞏固練習(xí)例1若，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍正解（分類討論）：（1）解得；（2）此時(shí)無解；（3）， 解得綜上可得例2若，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍正解（利用單調(diào)性）：由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得例3若，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：由圖3，解得例4若，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析：作出冪函數(shù)的圖象如圖4由圖象知此函數(shù)在上不具有單調(diào)性，若分類討論步驟較繁，把問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)單調(diào)區(qū)間上是關(guān)鍵考慮時(shí)，于是有，即又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增， 解得，或m4典型例題例1.寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性：（1） （2） （3） （4） （5） （6）解：（1）此函數(shù)的定義域?yàn)镽， 此函數(shù)為奇函數(shù)（2）此函數(shù)的定義域?yàn)?此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱 此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)（3）此函數(shù)的定義域?yàn)?此函數(shù)為偶函數(shù)（4）此函數(shù)的定義域?yàn)?此函數(shù)為偶函數(shù)（5）此函數(shù)的定義域?yàn)榇撕瘮?shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)（6） 此函數(shù)的定義域?yàn)?此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)變式訓(xùn)練1：討論下列函數(shù)的定義域、值域，奇偶性與單調(diào)性：（1） （2） （3）（4）（5）例2比較大?。海?） （2）（3） （4）解：（1）在上是增函數(shù)， （2）在上是增函數(shù)，（3）在上是減函數(shù)，；是增函數(shù)，；綜上， （4），變式訓(xùn)練2：將下列各組數(shù)用小于號(hào)從小到大排列：（1） （2） （3）例3已知冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，求的值分析：冪函數(shù)圖象與軸、軸都無交點(diǎn)，則指數(shù)小于或等于零；圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)結(jié)合，便可逐步確定的值解：冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點(diǎn)，；，又函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，是奇數(shù)，或變式訓(xùn)練3：證明冪函數(shù)在上是增函數(shù)小結(jié)歸納1注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別2.冪函數(shù)的性質(zhì)要熟練掌握