《組合數(shù)學》練習題一 參考答案

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1、組合數(shù)學練習題一 參考答案一、填空：1. 2. 3. 0. 4. 2675.6.4207.78.9.10.267二、選擇：1. 110 A B D D A D A B B C三、計算：1. 解 因為=25, =12, =6, =3, =1, =0,所以, 所求的最高次冪是2(50!)=25+12+6+3+1=47.2. 解 由我們最初觀察的式子,有,再利用定理1,我們得到,.所以,.3. 解：設所求為，令，以，分別表示中能被，整除的整數(shù)所成之集，則4. 解：記7個來賓為，則7個來賓的取帽子方法可看成是由，作成的這樣的全排列：如果（17）拿了的帽子，則把排在第位，于是（1）沒有一位來賓取回的是他

2、自己的帽子的取法種數(shù)等于7元重排數(shù)，即等于1854。（2）至少有一位來賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于由，作成的至少有一個元保位的全排列數(shù)，為 5. 解：特征方程為特征根為故，其中是待定常數(shù). 由初始條件得解之得所以6. =+.7、解 因為=25, =12, =6, =3, =1, =0,所以,所求的最高次冪是2(50!)=25+12+6+3+1=47.8、 解 由我們最初觀察的式子,有,再利用定理1,我們得到,.所以,.9、假設存在滿足條件的分劃，則不仿令中各數(shù)字之和分別為于是即顯然此式為矛盾等式,故假設不成立.10、 解：設所求為N，令，以A，B，C分別表示S中能被6，9，15整除的整

3、數(shù)所成之集，則，由容斥原理得因為6與9的最小公倍數(shù)為8，6與15的最小公倍數(shù)為30，6、9、15這3個數(shù)的最小公倍數(shù)為90，故，從而 11、解：特征方程為，特征根為，所以其中是待定常數(shù)，由初始條件得解之得，所以12、解：遞推關(guān)系為 四、證明：1.證明：=2. 證明：設所給的個正整數(shù)為，。令，則，對任一個不大于的正整數(shù)，令且除以所得余數(shù)為，則且，由鴿籠原理的簡單形式，必有正整數(shù)（），使得2，設，是中的兩個元，則它們除以所得的余數(shù)均為，于是能被整除。3、證明：（1）（2）由（1）有所以。4、證明 我們可以將平面上的整數(shù)點按坐標數(shù)的奇偶性分成4類:型如(2k,2t)的點,型如(2k,2t+1)的點,

4、型如(2k+1,2t)的點,型如(2k+1,2t+1)的點,其中k,t是整數(shù).則由抽屜原理,5個整數(shù)點中一定有2個點的型式是相同的,即可設此2點為(),()并且它們的型式均為(2k+,2t+)的點,其中為0或1.于是,此2點連線的中點坐標(,)必是整數(shù)點坐標.組合數(shù)學練習題二 參考答案一、填空：1. 196 2.7. 3. 4. 0. 5. . 6.-1440 7.8. 9.167 10.0.二、選擇：110 D A B B B D D B A B三、計算 1. 在多項式的展開式中的項的系數(shù)是 =420.因為在它的展開式中不同項（合并同類項后）的個數(shù)等于從5個不同元素中有重復地取出7個元素的方

5、法數(shù)，所以不同項的個數(shù)為。2.解：設所求為N，令，以，分別表示中能被14和能被21整除的整數(shù)所成之集，則 3.解：記7個來賓為，則7個來賓取帽子的方法可看成是由，作成的全排列：如果（17）拿了的帽子，則把排在第位，于是（1）沒有一位來賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于7元重排數(shù)，即等于1854。（2）至少有一位來賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于由，作成的至少有一個元保位的全排列數(shù)，為 4.解 線段的方程為 .如果n與互素,則不定方程不存在適合的整數(shù)解,即如果n與不互素,則n與只能有公因數(shù)3,即可以設.則通過解不定方程,有整數(shù)點位于線段之上,且中間僅有這二個整數(shù)點,即.所以 5.解：特征方

6、程為，特征根為，所以，其中，是待定常數(shù)，由初始條件得 解之得，所以 （）6.解 令一元錢幣對應的能買物品的形式冪級數(shù)為；2元錢幣對應的能買物品的形式冪級數(shù)為；5元錢幣對應的能買物品的形式冪級數(shù)為,則該人能買物品對應的形式冪級數(shù)為所以,該人可以買價值分別為0,1,2,21,22元的物品,并且付款的方法數(shù)分別為0,1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,2,1,1.7. 解 由我們最初觀察的式子,有 ,再利用定理1,我們得到 , , . 所以,.8.令 .則,.于是由容斥原理有 = =.9.解：記7個來賓為，則7個來賓的取帽子方法可看成是由，作成的這樣的全排列：

7、如果（17）拿了的帽子，則把排在第位，于是（1）沒有一位來賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于7元重排數(shù)，即等于1854。（2）至少有一位來賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于由，作成的至少有一個元保位的全排列數(shù)，為 10.解 線段的方程為 .如果n與互素,則不定方程不存在適合的整數(shù)解,即如果n與不互素,則n與只能有公因數(shù)3,即可以設.則通過解不定方程,有整數(shù)點位于線段之上,且中間僅有這二個整數(shù)點,即.所以 11.解：特征方程為特征根為故，其中是待定常數(shù). 由初始條件得解之得所以 12. =+ 四、證明：1. 證明 在牛頓定理中令,則有 (1)對上式兩邊的求微商,得到 .令t=1,我們就得到第

8、一個結(jié)論. 如果我們對(1)式兩邊的進行次微商,則有.在上式兩邊同時除以r!,并令t=1,即可得到第二個結(jié)論.2.證明：令，其中則，對任一個非負整數(shù)（01997），令 且除以1998所得余數(shù)為，則（，1，2，1997）且，如果，設是，則，由鴿籠原理的簡單形式，必有正整數(shù)（11997），使得2，設和（）是中的兩個元，則它們除以1998所得余數(shù)均為，從而能被1998整除，即能被1998整除。3.證明 在牛頓定理中取=1,=t,則有 = = =.比較上式兩邊的系數(shù)即知本定理的第一個結(jié)論成立.現(xiàn)在在第一個結(jié)論中令n=2n1,r=n1,m=n1,并且利用,則得到第二個結(jié)論. 4.證明：令，其中則，對任一個非負整數(shù)（01997），令且除以1998所得余數(shù)為，則（，1，2，1997）且，如果，設是，則，由鴿籠原理的簡單形式，必有正整數(shù)（11997），使得2，設和（）是中的兩個元，則它們除以1998所得余數(shù)均為，從而能被1998整除，即能被1998整除。