《組合數(shù)學(xué)》練習(xí)題一 參考答案

組合數(shù)學(xué)練習(xí)題一 參考答案一、填空：1. 2. 3. 0. 4. 2675.6.4207.78.9.10.267二、選擇：1. 110 A B D D A D A B B C三、計(jì)算：1. 解 因?yàn)?25, =12, =6, =3, =1, =0,所以, 所求的最高次冪是2(50!)=25+12+6+3+1=47.2. 解 由我們最初觀察的式子,有,再利用定理1,我們得到,.所以,.3. 解：設(shè)所求為，令，以，分別表示中能被，整除的整數(shù)所成之集，則4. 解：記7個(gè)來(lái)賓為，則7個(gè)來(lái)賓的取帽子方法可看成是由，作成的這樣的全排列：如果（17）拿了的帽子，則把排在第位，于是（1）沒(méi)有一位來(lái)賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于7元重排數(shù)，即等于1854。（2）至少有一位來(lái)賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于由，作成的至少有一個(gè)元保位的全排列數(shù)，為 5. 解：特征方程為特征根為故，其中是待定常數(shù). 由初始條件得解之得所以6. =+.7、解 因?yàn)?25, =12, =6, =3, =1, =0,所以,所求的最高次冪是2(50!)=25+12+6+3+1=47.8、 解 由我們最初觀察的式子,有,再利用定理1,我們得到,.所以,.9、假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的分劃，則不仿令中各數(shù)字之和分別為于是即顯然此式為矛盾等式,故假設(shè)不成立.10、 解：設(shè)所求為N，令，以A，B，C分別表示S中能被6，9，15整除的整數(shù)所成之集，則，由容斥原理得因?yàn)?與9的最小公倍數(shù)為8，6與15的最小公倍數(shù)為30，6、9、15這3個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)為90，故，從而 11、解：特征方程為，特征根為，所以其中是待定常數(shù)，由初始條件得解之得，所以12、解：遞推關(guān)系為 四、證明：1.證明：=2. 證明：設(shè)所給的個(gè)正整數(shù)為，。令，則，對(duì)任一個(gè)不大于的正整數(shù)，令且除以所得余數(shù)為，則且，由鴿籠原理的簡(jiǎn)單形式，必有正整數(shù)（），使得2，設(shè)，是中的兩個(gè)元，則它們除以所得的余數(shù)均為，于是能被整除。3、證明：（1）（2）由（1）有所以。4、證明 我們可以將平面上的整數(shù)點(diǎn)按坐標(biāo)數(shù)的奇偶性分成4類(lèi):型如(2k,2t)的點(diǎn),型如(2k,2t+1)的點(diǎn),型如(2k+1,2t)的點(diǎn),型如(2k+1,2t+1)的點(diǎn),其中k,t是整數(shù).則由抽屜原理,5個(gè)整數(shù)點(diǎn)中一定有2個(gè)點(diǎn)的型式是相同的,即可設(shè)此2點(diǎn)為(),()并且它們的型式均為(2k+,2t+)的點(diǎn),其中為0或1.于是,此2點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)坐標(biāo)(,)必是整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo).組合數(shù)學(xué)練習(xí)題二 參考答案一、填空：1. 196 2.7. 3. 4. 0. 5. . 6.-1440 7.8. 9.167 10.0.二、選擇：110 D A B B B D D B A B三、計(jì)算 1. 在多項(xiàng)式的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)是 =420.因?yàn)樵谒恼归_(kāi)式中不同項(xiàng)（合并同類(lèi)項(xiàng)后）的個(gè)數(shù)等于從5個(gè)不同元素中有重復(fù)地取出7個(gè)元素的方法數(shù)，所以不同項(xiàng)的個(gè)數(shù)為。2.解：設(shè)所求為N，令，以，分別表示中能被14和能被21整除的整數(shù)所成之集，則 3.解：記7個(gè)來(lái)賓為，則7個(gè)來(lái)賓取帽子的方法可看成是由，作成的全排列：如果（17）拿了的帽子，則把排在第位，于是（1）沒(méi)有一位來(lái)賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于7元重排數(shù)，即等于1854。（2）至少有一位來(lái)賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于由，作成的至少有一個(gè)元保位的全排列數(shù)，為 4.解 線(xiàn)段的方程為 .如果n與互素,則不定方程不存在適合的整數(shù)解,即如果n與不互素,則n與只能有公因數(shù)3,即可以設(shè).則通過(guò)解不定方程,有整數(shù)點(diǎn)位于線(xiàn)段之上,且中間僅有這二個(gè)整數(shù)點(diǎn),即.所以 5.解：特征方程為，特征根為，所以，其中，是待定常數(shù)，由初始條件得 解之得，所以 （）6.解 令一元錢(qián)幣對(duì)應(yīng)的能買(mǎi)物品的形式冪級(jí)數(shù)為；2元錢(qián)幣對(duì)應(yīng)的能買(mǎi)物品的形式冪級(jí)數(shù)為；5元錢(qián)幣對(duì)應(yīng)的能買(mǎi)物品的形式冪級(jí)數(shù)為,則該人能買(mǎi)物品對(duì)應(yīng)的形式冪級(jí)數(shù)為所以,該人可以買(mǎi)價(jià)值分別為0,1,2,21,22元的物品,并且付款的方法數(shù)分別為0,1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,2,1,1.7. 解 由我們最初觀察的式子,有 ,再利用定理1,我們得到 , , . 所以,.8.令 .則,.于是由容斥原理有 = =.9.解：記7個(gè)來(lái)賓為，則7個(gè)來(lái)賓的取帽子方法可看成是由，作成的這樣的全排列：如果（17）拿了的帽子，則把排在第位，于是（1）沒(méi)有一位來(lái)賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于7元重排數(shù)，即等于1854。（2）至少有一位來(lái)賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于由，作成的至少有一個(gè)元保位的全排列數(shù)，為 10.解 線(xiàn)段的方程為 .如果n與互素,則不定方程不存在適合的整數(shù)解,即如果n與不互素,則n與只能有公因數(shù)3,即可以設(shè).則通過(guò)解不定方程,有整數(shù)點(diǎn)位于線(xiàn)段之上,且中間僅有這二個(gè)整數(shù)點(diǎn),即.所以 11.解：特征方程為特征根為故，其中是待定常數(shù). 由初始條件得解之得所以 12. =+ 四、證明：1. 證明 在牛頓定理中令,則有 (1)對(duì)上式兩邊的求微商,得到 .令t=1,我們就得到第一個(gè)結(jié)論. 如果我們對(duì)(1)式兩邊的進(jìn)行次微商,則有.在上式兩邊同時(shí)除以r!,并令t=1,即可得到第二個(gè)結(jié)論.2.證明：令，其中則，對(duì)任一個(gè)非負(fù)整數(shù)（01997），令 且除以1998所得余數(shù)為，則（，1，2，1997）且，如果，設(shè)是，則，由鴿籠原理的簡(jiǎn)單形式，必有正整數(shù)（11997），使得2，設(shè)和（）是中的兩個(gè)元，則它們除以1998所得余數(shù)均為，從而能被1998整除，即能被1998整除。3.證明 在牛頓定理中取=1,=t,則有 = = =.比較上式兩邊的系數(shù)即知本定理的第一個(gè)結(jié)論成立.現(xiàn)在在第一個(gè)結(jié)論中令n=2n1,r=n1,m=n1,并且利用,則得到第二個(gè)結(jié)論. 4.證明：令，其中則，對(duì)任一個(gè)非負(fù)整數(shù)（01997），令且除以1998所得余數(shù)為，則（，1，2，1997）且，如果，設(shè)是，則，由鴿籠原理的簡(jiǎn)單形式，必有正整數(shù)（11997），使得2，設(shè)和（）是中的兩個(gè)元，則它們除以1998所得余數(shù)均為，從而能被1998整除，即能被1998整除。