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1、第七章 假設檢驗,二、假設檢驗的相關概念,三、假設檢驗的一般步驟,一、假設檢驗的基本原理,四、典型例題,五、小結,一、假設檢驗的基本原理,在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不知其參數(shù)的情況下, 為了推斷總體的某些性質, 提出某些關于總體的假設.,假設檢驗就是根據(jù)樣本對所提出的假設作出判斷: 是接受, 還是拒絕.,例如, 提出總體服從泊松分布的假設;,如何利用樣本值對一個具體的假設進行檢驗?,通常借助于直觀分析和理論分析相結合的做法,其基本原理就是人們在實際問題中經(jīng)常采用的所謂實際推斷原理:“一個小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的”.,下面結合實例來說明假設檢驗的基本思想.,假設檢驗
2、問題是統(tǒng)計推斷的另一類重要問題.,女士品茶,一種飲料由牛奶與茶按一定比例混合而成，可以先倒牛奶(TM)或反過來(MT).某女士聲稱她可以鑒別是TM還是MT，設計實驗：準備8杯飲料，TM和MT各半，把它們隨機排成一列讓該女士依次品嘗，并告訴她TM和MT各有4杯。然后請她指出哪4杯是TM，設她全答對了,Fisher推理：,H:該女士無鑒別力 H正確時，發(fā)生的概率為：1/70=0.014 這種情況比較稀奇，是一個不利于假設H的顯著的證據(jù)。據(jù)此，我們否定H，這樣一種推理過程叫顯著性檢驗。,說明：,自然，人們可以說1/70概率雖然不大，但在一次試驗中發(fā)生不是沒有可能，要得到一個判定的決定，就必須給定一個
3、閾值 ， 如（ ），只有算出的概率小于 時，才認為結果是顯著的（提供了不利于H的顯著證據(jù)），并導致否定H.如在本例中取 時，即使4杯全對，也不認為結果顯著，若取 時，則認為結果是顯著的了,實例 某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖, 包得的袋裝糖重是一個隨機變量, 它服從正態(tài)分布.當機器正常時, 其均值為0.5千克, 標準差為0.015千克.某日開工后為檢驗包裝機是否正常, 隨機地抽取它所包裝的糖9袋, 稱得凈重為(千克): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 問機器是否正常?,分析:,由長期實踐可知, 標準差較穩(wěn)定,問題: 根
4、據(jù)樣本值判斷,提出兩個對立假設,再利用已知樣本作出判斷是接受假設 H0 ( 拒絕假設 H1 ) , 還是拒絕假設 H0 (接受假設 H1 ).,如果作出的判斷是接受 H0,即認為機器工作是正常的, 否則, 認為是不正常的.,由于要檢驗的假設設計總體均值, 故可借助于樣本均值來判斷.,于是可以選定一個適當?shù)恼龜?shù)k,由標準正態(tài)分布分位點的定義得,二、假設檢驗的相關概念,1.顯著性水平,2. 檢驗統(tǒng)計量,3. 原假設與備擇假設,假設檢驗問題通常敘述為:,4. 拒絕域與臨界點,當檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域C中的值時, 我們拒絕原假設H0, 則稱區(qū)域C為拒絕域, 拒絕域的邊界點稱為臨界點.,如在前面實例中,5
5、. 兩類錯誤及記號,假設檢驗的依據(jù)是: 小概率事件在一次試驗中很難發(fā)生, 但很難發(fā)生不等于不發(fā)生, 因而假設檢驗所作出的結論有可能是錯誤的. 這種錯誤有兩類:,(1) 當原假設H0為真, 觀察值卻落入拒絕域, 而作出了拒絕H0的判斷, 稱做第一類錯誤, 又叫棄真錯誤, 這類錯誤是“以真為假”. 犯第一類錯誤的概率是顯著性水平,(2) 當原假設 H0 不真, 而觀察值卻落入接受域, 而作出了接受 H0 的判斷, 稱做第二類錯誤, 又叫取偽錯誤, 這類錯誤是“以假為真”.,當樣本容量 n 一定時, 若減少犯第一類錯誤的概率, 則犯第二類錯誤的概率往往增大.,犯第二類錯誤的概率記為,若要使犯兩類錯誤
6、的概率都減小, 除非增加樣本容量.,6. 顯著性檢驗,7. 雙邊備擇假設與雙邊假設檢驗,只對犯第一類錯誤的概率加以控制, 而不考慮犯第二類錯誤的概率的檢驗, 稱為顯著性檢驗.,8. 右邊檢驗與左邊檢驗,右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗.,9. 單邊檢驗的拒絕域,三、假設檢驗的一般步驟,3. 確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域形式;,四、典型例題,例1,這是右邊檢驗問題,即認為這批推進器的燃燒率較以往有顯著提高.,解,根據(jù)題意需要檢驗假設,解,例2,五、小結,假設檢驗的基本原理、相關概念和一般步驟.,假設檢驗的兩類錯誤,第二節(jié) 參數(shù)假設檢驗,一、單個總體均值 的檢驗,二、兩個總體均值差的檢驗(t 檢驗),
7、一、單個總體 均值 的檢驗,一個有用的結論,有相同的拒絕域.,證明,從直觀上看, 合理的檢驗法則是:,由標準正態(tài)分布的分布函數(shù) 的單調性可知,第二類形式的檢驗問題可歸結為第一類形式討論.,例1 某切割機在正常工作時, 切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm, 標準差是0.15cm, 今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取15段進行測量, 其結果如下:,假定切割的長度服從正態(tài)分布, 且標準差沒有變化, 試問該機工作是否正常?,解,查表得,根據(jù)第五章知,在實際中, 正態(tài)總體的方差常為未知, 所以我們常用 t 檢驗法來檢驗關于正態(tài)總體均值的檢驗問題.,上述利用 t 統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為t 檢驗法.,例2 某切割
8、機在正常工作時, 切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm, 標準差是0.15cm, 今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取15段進行測量, 其結果如下:,只假定切割的長度服從正態(tài)分布, 問該機切割的 金屬棒的平均長度有無顯著變化?,解,查表得,某種玻璃紙的橫向延伸率要求不低于65%, 且其服從正態(tài)分布， 均為未知. 現(xiàn)測得100個同型號的玻璃紙數(shù)據(jù)如下:,問該批玻璃紙的橫向延伸率是否符合要求?,例3,查表得,解,二、兩個總體 的情況,利用t檢驗法檢驗具有相同方差的兩正態(tài)總體均值差的假設.,第五章系2,根據(jù)第五章系2知,其拒絕域的形式為,故拒絕域為,關于均值差的其它兩個檢驗問題的拒絕域見表7.1,當兩個正態(tài)總
9、體的方差均為已知(不一定相等)時,我們可用 U 檢驗法來檢驗兩正態(tài)總體均值差的假設問題, 見表7.1 .,例4 在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的收得率, 試驗是在同一只平爐上進行的. 每煉一爐鋼時除操作方法外, 其它條件都盡可能做到相同.先采用標準方法煉一爐, 然后用建議的新方法煉一爐, 以后交替進行, 各煉了10爐, 其收得率分別為(1)標準方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法:,79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1,
10、77.3, 80.2, 82.1; 設這兩個樣本相互獨立, 且分別來自正態(tài)總體,問建議的新操作方法能否提高收得率?,解,分別求出標準方法和新方法下的樣本均值和樣本方差:,即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu).,查表知其拒絕域為,解,即甲、乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑無顯著差異.,三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗( t 檢驗 ),有時為了比較兩種產(chǎn)品, 或兩種儀器, 兩種方法等的差異, 我們常在相同的條件下作對比試驗, 得到一批成對的觀察值. 然后分析觀察數(shù)據(jù)作出推斷. 這種方法常稱為逐對比較法.,例6 有兩臺光譜儀Ix , Iy ,用來測量材料中某種金屬的含量, 為鑒定它們的測量結果有無顯著差異, 制備了
11、9件試塊(它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同), 現(xiàn)在分別用這兩臺機器對每一試塊測量一次, 得到9對觀察值如下:,問能否認為這兩臺儀器的測量結果有顯著的差異?,解,本題中的數(shù)據(jù)是成對的, 即對同一試塊測出一對數(shù)據(jù), 我們看到一對與另一對之間的差異是由各種因素, 如材料成分、金屬含量、均勻性等因素引起的. 這也表明不能將光譜儀Ix 對9個試塊的測量結果(即表中第一行)看成是一個樣本, 同樣也不能將表中第二行看成一個樣本, 因此不能用表7.1中第4欄的檢驗法作檢驗.,而同一對中兩個數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩臺儀器性能的差異所引起的. 這樣, 局限于各對中兩個數(shù)據(jù)來比較就能排除種種其他因素,
12、而只考慮單獨由儀器的性能所產(chǎn)生的影響.,表中第三行表示各對數(shù)據(jù)的差,若兩臺機器的性能一樣,隨機誤差可以認為服從正態(tài)分布, 其均值為零.,按表7.1中第二欄中關于單個正態(tài)分布均值的 t 檢驗, 知拒絕域為,認為這兩臺儀器的測量結果無顯著的差異.,附表7.1,3,2,1,第五章系1,第五章系2,幻燈片 37,一、單個總體 的情況,(1) 要求檢驗假設:,四、正態(tài)總體方差的假設檢驗,根據(jù)第五章,為了計算方便, 習慣上取,拒絕域為:,(2)單邊檢驗問題的拒絕域,右邊假設檢驗:,拒絕域的形式為:,解,例7 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池, 其壽命長期以來服從方差 =5000 (小時2) 的正態(tài)分布, 現(xiàn)有一批
13、這種電池, 從它生產(chǎn)情況來看, 壽命的波動性有所變化. 現(xiàn)隨機的取26只電池, 測出其壽命的樣本方差 =9200(小時2). 問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化?,拒絕域為:,認為這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化.,注：,解,認為該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品沒有達到所要求的精度.,例8 某自動車床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布,按規(guī)定產(chǎn)品尺寸的方差 不得超過0.1, 為檢驗該自動車床的工作精度, 隨機的取25件產(chǎn)品, 測得樣本方差 s*2=0.1975, . 問該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品是否達到所要求的精度?,二、兩個總體 的情況,需要檢驗假設:,根據(jù)第五章知,檢驗問題的拒絕域為
14、,上述檢驗法稱為 F 檢驗法.,試對第七章第二節(jié)例7.4中的數(shù)據(jù)檢驗假設,解,拒絕域見表 7.1.,附表7-1,例9,不落入拒絕域，從而認為兩個母體的方差無顯著性差異,例10 兩臺車床加工同一零件, 分別取6件和9件測量直徑, 得: 假定零件直徑服從正態(tài)分布, 能否據(jù)此斷定,解,本題為方差齊性檢驗:,例11 分別用兩個不同的計算機系統(tǒng)檢索10個資料, 測得平均檢索時間及方差(單位:秒)如下:,解,假定檢索時間服從正態(tài)分布, 問這兩系統(tǒng)檢索資料有無明顯差別?,根據(jù)題中條件, 首先應檢驗方差的齊性.,認為兩系統(tǒng)檢索資料時間無明顯差別.,練習,1.從一批木材中抽取100根，測量其小頭直徑 得到樣本平
15、均數(shù)為 ，已知這批木材小頭直徑的標準差 ，問該批木材的平均小頭直徑能否認為是在12cm以上？（取顯著性水平 ）,2.電工器材廠生產(chǎn)一批保險絲，取10根測得其熔化時間（min）為42，65，75，78，59，57，68，54，55，71 。問是否可以認為整批保險絲的平均熔化時間為70（min）？（ ，熔化時間為正態(tài)變量）,3.某種儀器間接測量硬度，重復測量5次，所得數(shù)據(jù)是175，173，178，174，176，而用別的精確方法測量硬度為179（可看作硬度的真值），設測量硬度服從正態(tài)分布，問此種儀器測量的硬度是否顯著降低?（ ）已知，,4.某廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力指標服從正態(tài)分布, 現(xiàn)隨機抽取9根,
16、 檢查其折斷力, 測得數(shù)據(jù)如下(單位:千克): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286, 298, 292. 問是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差為20?,某磚廠制成兩批機制紅磚, 抽樣檢查測量磚的抗折強度(千克), 得到結果如下:,已知磚的抗折強度服從正態(tài)分布, 試檢驗:,(1)兩批紅磚的抗折強度的方差是否有顯著差異? (2)兩批紅磚的抗折強度的數(shù)學期望是否有顯著差異?,5,3,2,1,第三節(jié) 正態(tài)母體參數(shù)的置信區(qū)間,一、基本概念,二、典型例題,三、小結,一、基本概念,1. 置信區(qū)間與雙邊檢驗之間的對應關系,該檢驗的拒絕域為,接受域為,假設它的接受域為,2.
17、置信區(qū)間與單邊檢驗之間的對應關系,二、典型例題,由子樣觀測值得,例2,. 試求右邊檢驗問題,解,檢驗問題的拒絕域為,故檢驗問題的接受域為,三、小結,1. 置信區(qū)間與雙邊檢驗,2. 置信區(qū)間與單邊檢驗,第七章練習,練習1 已知一批零件的長度X(cm)服從正態(tài)分布N( ,1),從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40(cm),則 的置信度為0.95的置信區(qū)間是:_ 已知：,練習2設某種保險絲熔化時間 （單位：秒），取n=16的樣本，得 樣本均值和方差分別為 ，則 的置信度為95%的單側置信區(qū)間上限為 _,3.已知維尼綸纖度在正常條件下服從正態(tài)分布 某日抽取5個樣品，測得其纖度為: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 問 :這天的纖度的總體方差是否正常？試作假設檢驗.,4.某種食品含脂率 . 今測得5個樣品含脂率（%），并計算得：樣本均值=12.70， =0.25. 求未知參數(shù) 的置信區(qū)間，置信水平為95%.,說明：做假設檢驗的問題一定要注意步驟，原假設，備擇假設，選擇的統(tǒng)計量，臨界域，然后算具體數(shù)值，得出結論。 置信區(qū)間：選擇函數(shù)，對應接受域得出式子，由式子變形算出其中的未知參數(shù)的區(qū)間，得出的區(qū)間就是我們的置信區(qū)間。,
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