概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第7章.ppt

第七章 假設(shè)檢驗(yàn),二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念,三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟,一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理,四、典型例題,五、小結(jié),一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理,在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不知其參數(shù)的情況下, 為了推斷總體的某些性質(zhì), 提出某些關(guān)于總體的假設(shè).,假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)作出判斷: 是接受, 還是拒絕.,例如, 提出總體服從泊松分布的假設(shè);,如何利用樣本值對(duì)一個(gè)具體的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)?,通常借助于直觀分析和理論分析相結(jié)合的做法,其基本原理就是人們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中經(jīng)常采用的所謂實(shí)際推斷原理:“一個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的”.,下面結(jié)合實(shí)例來(lái)說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想.,假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題是統(tǒng)計(jì)推斷的另一類重要問(wèn)題.,女士品茶,一種飲料由牛奶與茶按一定比例混合而成，可以先倒牛奶(TM)或反過(guò)來(lái)(MT).某女士聲稱她可以鑒別是TM還是MT，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)：準(zhǔn)備8杯飲料，TM和MT各半，把它們隨機(jī)排成一列讓該女士依次品嘗，并告訴她TM和MT各有4杯。然后請(qǐng)她指出哪4杯是TM，設(shè)她全答對(duì)了,Fisher推理：,H:該女士無(wú)鑒別力 H正確時(shí)，發(fā)生的概率為：1/70=0.014 這種情況比較稀奇，是一個(gè)不利于假設(shè)H的顯著的證據(jù)。據(jù)此，我們否定H，這樣一種推理過(guò)程叫顯著性檢驗(yàn)。,說(shuō)明：,自然，人們可以說(shuō)1/70概率雖然不大，但在一次試驗(yàn)中發(fā)生不是沒(méi)有可能，要得到一個(gè)判定的決定，就必須給定一個(gè)閾值 ， 如（ ），只有算出的概率小于 時(shí)，才認(rèn)為結(jié)果是顯著的（提供了不利于H的顯著證據(jù)），并導(dǎo)致否定H.如在本例中取 時(shí)，即使4杯全對(duì)，也不認(rèn)為結(jié)果顯著，若取 時(shí)，則認(rèn)為結(jié)果是顯著的了,實(shí)例 某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖, 包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量, 它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí), 其均值為0.5千克, 標(biāo)準(zhǔn)差為0.015千克.某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常, 隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋, 稱得凈重為(千克): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 問(wèn)機(jī)器是否正常?,分析:,由長(zhǎng)期實(shí)踐可知, 標(biāo)準(zhǔn)差較穩(wěn)定,問(wèn)題: 根據(jù)樣本值判斷,提出兩個(gè)對(duì)立假設(shè),再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè) H0 ( 拒絕假設(shè) H1 ) , 還是拒絕假設(shè) H0 (接受假設(shè) H1 ).,如果作出的判斷是接受 H0,即認(rèn)為機(jī)器工作是正常的, 否則, 認(rèn)為是不正常的.,由于要檢驗(yàn)的假設(shè)設(shè)計(jì)總體均值, 故可借助于樣本均值來(lái)判斷.,于是可以選定一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)k,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點(diǎn)的定義得,二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念,1.顯著性水平,2. 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,3. 原假設(shè)與備擇假設(shè),假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題通常敘述為:,4. 拒絕域與臨界點(diǎn),當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí), 我們拒絕原假設(shè)H0, 則稱區(qū)域C為拒絕域, 拒絕域的邊界點(diǎn)稱為臨界點(diǎn).,如在前面實(shí)例中,5. 兩類錯(cuò)誤及記號(hào),假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)是: 小概率事件在一次試驗(yàn)中很難發(fā)生, 但很難發(fā)生不等于不發(fā)生, 因而假設(shè)檢驗(yàn)所作出的結(jié)論有可能是錯(cuò)誤的. 這種錯(cuò)誤有兩類:,(1) 當(dāng)原假設(shè)H0為真, 觀察值卻落入拒絕域, 而作出了拒絕H0的判斷, 稱做第一類錯(cuò)誤, 又叫棄真錯(cuò)誤, 這類錯(cuò)誤是“以真為假”. 犯第一類錯(cuò)誤的概率是顯著性水平,(2) 當(dāng)原假設(shè) H0 不真, 而觀察值卻落入接受域, 而作出了接受 H0 的判斷, 稱做第二類錯(cuò)誤, 又叫取偽錯(cuò)誤, 這類錯(cuò)誤是“以假為真”.,當(dāng)樣本容量 n 一定時(shí), 若減少犯第一類錯(cuò)誤的概率, 則犯第二類錯(cuò)誤的概率往往增大.,犯第二類錯(cuò)誤的概率記為,若要使犯兩類錯(cuò)誤的概率都減小, 除非增加樣本容量.,6. 顯著性檢驗(yàn),7. 雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗(yàn),只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制, 而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率的檢驗(yàn), 稱為顯著性檢驗(yàn).,8. 右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn),右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱為單邊檢驗(yàn).,9. 單邊檢驗(yàn)的拒絕域,三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟,3. 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及拒絕域形式;,四、典型例題,例1,這是右邊檢驗(yàn)問(wèn)題,即認(rèn)為這批推進(jìn)器的燃燒率較以往有顯著提高.,解,根據(jù)題意需要檢驗(yàn)假設(shè),解,例2,五、小結(jié),假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理、相關(guān)概念和一般步驟.,假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤,第二節(jié) 參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn),一、單個(gè)總體均值 的檢驗(yàn),二、兩個(gè)總體均值差的檢驗(yàn)(t 檢驗(yàn)),一、單個(gè)總體 均值 的檢驗(yàn),一個(gè)有用的結(jié)論,有相同的拒絕域.,證明,從直觀上看, 合理的檢驗(yàn)法則是:,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) 的單調(diào)性可知,第二類形式的檢驗(yàn)問(wèn)題可歸結(jié)為第一類形式討論.,例1 某切割機(jī)在正常工作時(shí), 切割每段金屬棒的平均長(zhǎng)度為10.5cm, 標(biāo)準(zhǔn)差是0.15cm, 今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15段進(jìn)行測(cè)量, 其結(jié)果如下:,假定切割的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布, 且標(biāo)準(zhǔn)差沒(méi)有變化, 試問(wèn)該機(jī)工作是否正常?,解,查表得,根據(jù)第五章知,在實(shí)際中, 正態(tài)總體的方差常為未知, 所以我們常用 t 檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問(wèn)題.,上述利用 t 統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法稱為t 檢驗(yàn)法.,例2 某切割機(jī)在正常工作時(shí), 切割每段金屬棒的平均長(zhǎng)度為10.5cm, 標(biāo)準(zhǔn)差是0.15cm, 今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15段進(jìn)行測(cè)量, 其結(jié)果如下:,只假定切割的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布, 問(wèn)該機(jī)切割的 金屬棒的平均長(zhǎng)度有無(wú)顯著變化?,解,查表得,某種玻璃紙的橫向延伸率要求不低于65%, 且其服從正態(tài)分布， 均為未知. 現(xiàn)測(cè)得100個(gè)同型號(hào)的玻璃紙數(shù)據(jù)如下:,問(wèn)該批玻璃紙的橫向延伸率是否符合要求?,例3,查表得,解,二、兩個(gè)總體 的情況,利用t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)具有相同方差的兩正態(tài)總體均值差的假設(shè).,第五章系2,根據(jù)第五章系2知,其拒絕域的形式為,故拒絕域?yàn)?關(guān)于均值差的其它兩個(gè)檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域見(jiàn)表7.1,當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體的方差均為已知(不一定相等)時(shí),我們可用 U 檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)兩正態(tài)總體均值差的假設(shè)問(wèn)題, 見(jiàn)表7.1 .,例4 在平爐上進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議是否會(huì)增加鋼的收得率, 試驗(yàn)是在同一只平爐上進(jìn)行的. 每煉一爐鋼時(shí)除操作方法外, 其它條件都盡可能做到相同.先采用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐, 然后用建議的新方法煉一爐, 以后交替進(jìn)行, 各煉了10爐, 其收得率分別為(1)標(biāo)準(zhǔn)方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法:,79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立, 且分別來(lái)自正態(tài)總體,問(wèn)建議的新操作方法能否提高收得率?,解,分別求出標(biāo)準(zhǔn)方法和新方法下的樣本均值和樣本方差:,即認(rèn)為建議的新操作方法較原來(lái)的方法為優(yōu).,查表知其拒絕域?yàn)?解,即甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑無(wú)顯著差異.,三、基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)( t 檢驗(yàn) ),有時(shí)為了比較兩種產(chǎn)品, 或兩種儀器, 兩種方法等的差異, 我們常在相同的條件下作對(duì)比試驗(yàn), 得到一批成對(duì)的觀察值. 然后分析觀察數(shù)據(jù)作出推斷. 這種方法常稱為逐對(duì)比較法.,例6 有兩臺(tái)光譜儀Ix , Iy ,用來(lái)測(cè)量材料中某種金屬的含量, 為鑒定它們的測(cè)量結(jié)果有無(wú)顯著差異, 制備了9件試塊(它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同), 現(xiàn)在分別用這兩臺(tái)機(jī)器對(duì)每一試塊測(cè)量一次, 得到9對(duì)觀察值如下:,問(wèn)能否認(rèn)為這兩臺(tái)儀器的測(cè)量結(jié)果有顯著的差異?,解,本題中的數(shù)據(jù)是成對(duì)的, 即對(duì)同一試塊測(cè)出一對(duì)數(shù)據(jù), 我們看到一對(duì)與另一對(duì)之間的差異是由各種因素, 如材料成分、金屬含量、均勻性等因素引起的. 這也表明不能將光譜儀Ix 對(duì)9個(gè)試塊的測(cè)量結(jié)果(即表中第一行)看成是一個(gè)樣本, 同樣也不能將表中第二行看成一個(gè)樣本, 因此不能用表7.1中第4欄的檢驗(yàn)法作檢驗(yàn).,而同一對(duì)中兩個(gè)數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩臺(tái)儀器性能的差異所引起的. 這樣, 局限于各對(duì)中兩個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)比較就能排除種種其他因素, 而只考慮單獨(dú)由儀器的性能所產(chǎn)生的影響.,表中第三行表示各對(duì)數(shù)據(jù)的差,若兩臺(tái)機(jī)器的性能一樣,隨機(jī)誤差可以認(rèn)為服從正態(tài)分布, 其均值為零.,按表7.1中第二欄中關(guān)于單個(gè)正態(tài)分布均值的 t 檢驗(yàn), 知拒絕域?yàn)?認(rèn)為這兩臺(tái)儀器的測(cè)量結(jié)果無(wú)顯著的差異.,附表7.1,3,2,1,第五章系1,第五章系2,幻燈片 37,一、單個(gè)總體 的情況,(1) 要求檢驗(yàn)假設(shè):,四、正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn),根據(jù)第五章,為了計(jì)算方便, 習(xí)慣上取,拒絕域?yàn)?,(2)單邊檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域,右邊假設(shè)檢驗(yàn):,拒絕域的形式為:,解,例7 某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池, 其壽命長(zhǎng)期以來(lái)服從方差 =5000 (小時(shí)2) 的正態(tài)分布, 現(xiàn)有一批這種電池, 從它生產(chǎn)情況來(lái)看, 壽命的波動(dòng)性有所變化. 現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池, 測(cè)出其壽命的樣本方差 =9200(小時(shí)2). 問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化?,拒絕域?yàn)?,認(rèn)為這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化.,注：,解,認(rèn)為該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品沒(méi)有達(dá)到所要求的精度.,例8 某自動(dòng)車床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布,按規(guī)定產(chǎn)品尺寸的方差 不得超過(guò)0.1, 為檢驗(yàn)該自動(dòng)車床的工作精度, 隨機(jī)的取25件產(chǎn)品, 測(cè)得樣本方差 s*2=0.1975, . 問(wèn)該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品是否達(dá)到所要求的精度?,二、兩個(gè)總體 的情況,需要檢驗(yàn)假設(shè):,根據(jù)第五章知,檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)?上述檢驗(yàn)法稱為 F 檢驗(yàn)法.,試對(duì)第七章第二節(jié)例7.4中的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)假設(shè),解,拒絕域見(jiàn)表 7.1.,附表7-1,例9,不落入拒絕域，從而認(rèn)為兩個(gè)母體的方差無(wú)顯著性差異,例10 兩臺(tái)車床加工同一零件, 分別取6件和9件測(cè)量直徑, 得: 假定零件直徑服從正態(tài)分布, 能否據(jù)此斷定,解,本題為方差齊性檢驗(yàn):,例11 分別用兩個(gè)不同的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)檢索10個(gè)資料, 測(cè)得平均檢索時(shí)間及方差(單位:秒)如下:,解,假定檢索時(shí)間服從正態(tài)分布, 問(wèn)這兩系統(tǒng)檢索資料有無(wú)明顯差別?,根據(jù)題中條件, 首先應(yīng)檢驗(yàn)方差的齊性.,認(rèn)為兩系統(tǒng)檢索資料時(shí)間無(wú)明顯差別.,練習(xí),1.從一批木材中抽取100根，測(cè)量其小頭直徑 得到樣本平均數(shù)為 ，已知這批木材小頭直徑的標(biāo)準(zhǔn)差 ，問(wèn)該批木材的平均小頭直徑能否認(rèn)為是在12cm以上？（取顯著性水平 ）,2.電工器材廠生產(chǎn)一批保險(xiǎn)絲，取10根測(cè)得其熔化時(shí)間（min）為42，65，75，78，59，57，68，54，55，71 。問(wèn)是否可以認(rèn)為整批保險(xiǎn)絲的平均熔化時(shí)間為70（min）？（ ，熔化時(shí)間為正態(tài)變量）,3.某種儀器間接測(cè)量硬度，重復(fù)測(cè)量5次，所得數(shù)據(jù)是175，173，178，174，176，而用別的精確方法測(cè)量硬度為179（可看作硬度的真值），設(shè)測(cè)量硬度服從正態(tài)分布，問(wèn)此種儀器測(cè)量的硬度是否顯著降低?（ ）已知，,4.某廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力指標(biāo)服從正態(tài)分布, 現(xiàn)隨機(jī)抽取9根, 檢查其折斷力, 測(cè)得數(shù)據(jù)如下(單位:千克): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286, 298, 292. 問(wèn)是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差為20?,某磚廠制成兩批機(jī)制紅磚, 抽樣檢查測(cè)量磚的抗折強(qiáng)度(千克), 得到結(jié)果如下:,已知磚的抗折強(qiáng)度服從正態(tài)分布, 試檢驗(yàn):,(1)兩批紅磚的抗折強(qiáng)度的方差是否有顯著差異? (2)兩批紅磚的抗折強(qiáng)度的數(shù)學(xué)期望是否有顯著差異?,5,3,2,1,第三節(jié) 正態(tài)母體參數(shù)的置信區(qū)間,一、基本概念,二、典型例題,三、小結(jié),一、基本概念,1. 置信區(qū)間與雙邊檢驗(yàn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,該檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?接受域?yàn)?假設(shè)它的接受域?yàn)?2. 置信區(qū)間與單邊檢驗(yàn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,二、典型例題,由子樣觀測(cè)值得,例2,. 試求右邊檢驗(yàn)問(wèn)題,解,檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)?故檢驗(yàn)問(wèn)題的接受域?yàn)?三、小結(jié),1. 置信區(qū)間與雙邊檢驗(yàn),2. 置信區(qū)間與單邊檢驗(yàn),第七章練習(xí),練習(xí)1 已知一批零件的長(zhǎng)度X(cm)服從正態(tài)分布N( ,1),從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長(zhǎng)度的平均值為40(cm),則 的置信度為0.95的置信區(qū)間是:_ 已知：,練習(xí)2設(shè)某種保險(xiǎn)絲熔化時(shí)間 （單位：秒），取n=16的樣本，得 樣本均值和方差分別為 ，則 的置信度為95%的單側(cè)置信區(qū)間上限為 _,3.已知維尼綸纖度在正常條件下服從正態(tài)分布 某日抽取5個(gè)樣品，測(cè)得其纖度為: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 問(wèn) :這天的纖度的總體方差是否正常？試作假設(shè)檢驗(yàn).,4.某種食品含脂率 . 今測(cè)得5個(gè)樣品含脂率（%），并計(jì)算得：樣本均值=12.70， =0.25. 求未知參數(shù) 的置信區(qū)間，置信水平為95%.,說(shuō)明：做假設(shè)檢驗(yàn)的問(wèn)題一定要注意步驟，原假設(shè)，備擇假設(shè)，選擇的統(tǒng)計(jì)量，臨界域，然后算具體數(shù)值，得出結(jié)論。 置信區(qū)間：選擇函數(shù)，對(duì)應(yīng)接受域得出式子，由式子變形算出其中的未知參數(shù)的區(qū)間，得出的區(qū)間就是我們的置信區(qū)間。,