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1、第3章 多維隨機(jī)向量及其概率分布,3.1 隨機(jī)向量及其聯(lián)合分布函數(shù),3.3 隨機(jī)向量的獨(dú)立性,3.2 二維離散型和連續(xù)型隨機(jī)向量,3.4 隨機(jī)向量的函數(shù)及其概率分布,3.1 隨機(jī)向量及其聯(lián)合分布函數(shù),一、多維隨機(jī)向量,以后除非特別聲明，一般只討論二維隨機(jī)向量,同樣，從右邊的圖中，不難得到,實(shí)例1 炮彈的彈著點(diǎn)的位置 ( X, Y ) 就是一個二維隨機(jī)變量.,二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅與 X 、Y 有關(guān),而且還依賴于這兩個隨機(jī)變量的相互關(guān)系.,實(shí)例2 考查某一地 區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構(gòu)成二維隨機(jī)變量 ( H, W ).,說明,實(shí)例3,X,Y,
2、Z 都是隨機(jī)變量，則稱(X,Y,Z )是三維隨機(jī)向量.,在三維空間中，飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個隨機(jī)變量 (三個坐標(biāo)X,Y,Z ）來確定的.,二、隨機(jī)向量聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),不難驗(yàn)證其具有如下性質(zhì),定義2.,三、隨機(jī)向量的邊緣分布函數(shù),設(shè),邊緣分布函數(shù)也稱為邊際分布函數(shù)或邊沿分布函數(shù),3.2 二維隨機(jī)離散型和連續(xù)型隨機(jī)向量1,為討論方便，仍然只分離散型和連續(xù)型兩大類,一、二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布,定義1. 若隨機(jī)變量X和Y的所有可能取值為有限個或可列個，則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)向量.,設(shè)X的所有可能取值為,Y的所有可能取值為,則稱,為二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合
3、概率分布,聯(lián)合概率函數(shù)的表格形式，稱為(X,Y)的聯(lián)合分布律或聯(lián)合分布列,二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率函數(shù)具有下列性質(zhì):,二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)為,例1,一袋中裝有2只白球和3只黑球,進(jìn)行有放回取球,若進(jìn)行不放回取球,例2 一袋中裝有4只球,依次標(biāo)有號碼1,2,2,3,從袋中有放回取求兩次,X,Y分別表示兩次取得球上的號碼,則(X,Y)的聯(lián)合概率分布為,思考,將本例中有放回取球改為不放回取球,結(jié)果會如何?,二、二維離散型隨機(jī)向量的邊緣概率分布,若(X,Y)為二維離散型隨機(jī)向量,X的所有可能取值為,Y的所有可能取值為,聯(lián)合概率函數(shù)為,則分別稱,離散型隨機(jī)變量的邊緣分布列可以在聯(lián)合分布列
4、的基礎(chǔ)上增加，即,也可以將X,Y分開后分別表示，即,例3.,在本節(jié)例1.中,本節(jié)例2.的邊緣分布也是一樣,解,例4,由乘法公式得,解,下面求邊緣分布,若隨機(jī)向量 具有如下 的多元分布列,其中 ， ， ， 則稱隨機(jī)向量 服從多項(xiàng)分布。,兩個常用的離散型多元分布,（一）多項(xiàng)分布,若隨機(jī)向量 具有如下 的多元分布列,其中 ， 為自然 數(shù) ，則稱隨機(jī)向量 服從多元超幾何分布。,（二）多元超幾何分布,三、二維連續(xù)型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布,定義2.,二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)具有以下性質(zhì),從而,用聯(lián)合密度函數(shù)的圖形分析以上性質(zhì),設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)具有聯(lián)合密度,解,例4,設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密
5、度,解：,例5,四、二維連續(xù)型隨機(jī)向量的邊緣概率分布,與離散型隨機(jī)向量一樣，X,Y也是單個的隨機(jī)變量,3.2 二維隨機(jī)離散型和連續(xù)型隨機(jī)向量2,從上面的分析不難得到X和Y的密度函數(shù)為,例6 求隨機(jī)向量(X,Y)的邊緣分布函數(shù)和邊緣密度函數(shù)，已知其聯(lián)合分布函數(shù)為,解,邊緣分布函數(shù)分別為,邊緣密度函數(shù)為,例7 求隨機(jī)向量(X,Y)的邊緣密度函數(shù)，已知其聯(lián)合密度函數(shù)為,解,由邊緣密度函數(shù)和聯(lián)合密度函數(shù)的關(guān)系可知,所以,同理,1.均勻分布,定義 設(shè) D 是平面上的有界區(qū)域,其面積為 S,若二維隨機(jī)變量 ( X , Y ) 具有概率密度,則稱 ( X , Y ) 在 D 上服從 均勻分布.,兩個常用的分
6、布,例8 已知隨機(jī)向量 ( X , Y ) 在 D上服從均勻分布, 試求( X , Y )的分布密度及分布函數(shù),其中D為x 軸, y 軸及直線 y = x+1 所圍成的三角形區(qū)域 .,解,所以 ( X , Y ) 的分布函數(shù)為,練習(xí),設(shè)(X,Y)在圓域D=(x, y)| x2+y2r 2上服從均勻分布. (1) 判斷X與Y是否相互獨(dú)立.,解,(2),2.二維正態(tài)分布,若二維隨機(jī)向量 ( X,Y ) 具有概率密度,二維正態(tài)分布的聯(lián)合密度函數(shù)的圖象如右圖:,二維正態(tài)分布隨機(jī)向量的邊緣分布均是正態(tài)分布,例9,解,由于,于是,則有,即,同理可得,二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,請同學(xué)們思考
7、,邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分 布一定是二維正態(tài)分布嗎?,不一定.,舉一反例以示證明.,答,練習(xí) 設(shè) 有概率密度 （1）試驗(yàn)證 符合概率密度的兩個 性質(zhì)； （2）試求 和 的邊際密度。,解 （1）顯然，,因?yàn)?和 都是分布 的密度，所以根據(jù)一元密度的性質(zhì)，有,又由于 和 都是奇函數(shù)， 從而,故而,（2）,同理有,所以 和 都服從分布 。,作業(yè),P89練習(xí)3.2 1 2 3,3.3 隨機(jī)變量的獨(dú)立性,定義1.,否則稱不相互獨(dú)立或相依,對于離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量也分別有,定理1.,即,顯然,例1.,一袋中裝有2只白球和3只黑球,進(jìn)行有放回取球,如果進(jìn)行無放回取球,X和Y是否獨(dú)立
8、?,若進(jìn)行不放回取球,在有放回取球中,第二次取的球的顏色不受第一次取球結(jié)果的影響,故X和Y相互獨(dú)立,而在不放回取球中,第二次取到球的顏色當(dāng)然受第一次取球結(jié)果的影響,故X和Y不相互獨(dú)立.,例2.,解:,所以,根據(jù)聯(lián)合分布列和邊緣分布列的關(guān)系,不難得到X和Y的聯(lián)合分布列,由于,所以X,Y不相互獨(dú)立,99年考研題,8分,思考,設(shè)A,B為兩事件,且相互獨(dú)立,試證X,Y相互獨(dú)立.,定理2.,證明:,(1) 必要性,所以,(2) 充分性,例3.,解:,(1) 由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì),可知,顯然,所以,定理3.,證明,設(shè)二維隨機(jī)向量,f(x,y)為其聯(lián)合密度函數(shù),證明X與Y獨(dú)立的充要條件是=0,證明 由題意得
9、,充分性,將=0代入f(x,y)即得f(x,y)=fX(x)fY(y).,必要性 若X和Y相互獨(dú)立,則f(x,y)=fX(x)fY(y),例4. 設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,其中參數(shù) ,這個分布稱為二維指數(shù)分布,試討 論X和Y的獨(dú)立性.,解: 由已知可得邊緣分布函數(shù),例6 某碼頭能容納一只船,現(xiàn)預(yù)知某日將獨(dú)立地來 到甲,乙兩船,且在24小時內(nèi)各時刻來的可能性都相 等,如果它們需要?？康臅r間分別為3小時及4小時, 試求有一船要在江中等待的概率.,關(guān)于X的邊緣密度函數(shù),關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù),解:設(shè)X表示甲船到達(dá)碼頭的時間.Y表示乙船到達(dá) 碼頭的時間.由題中條件,X與Y都服從0,24上
10、的均 勻分布,因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,故(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,事件有一只船在江中等待=YXY+4+XYX+3,表示:甲船來時,乙船已在碼頭,表示:乙船來時,甲船已在碼頭,定義 稱隨機(jī)變量序列X1,X2,X n,為相互獨(dú)立的, 如果它們中任意m(m=2,3,)個隨機(jī)變量都是相互獨(dú)立的. 特別若每個X i(i=1,2,)的分布也相同, 則稱之為 獨(dú)立同分布 (i.i.d)的隨機(jī)變量序列。,隨機(jī)變量序列獨(dú)立性的概念,作業(yè),P94 練習(xí)3.3 1 2 3 4,3.4 隨機(jī)向量的函數(shù)及其概率分布,分離散型和連續(xù)型形式分別進(jìn)行討論,一、隨機(jī)變量和的分布,1.離散型隨機(jī)變量和的分布,將問題一般化,例1,解
11、,等價(jià)于,概率,結(jié)論,例2 設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與 Y 的分布律為,求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律.,解,解Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,例4,X, Y 相互獨(dú)立,證明,由前面的例題可知,例5,例6,設(shè)X和Y相互獨(dú)立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,我們可以按照前面的方法來求解，也可以換一種方法.,解,從問題的背景出發(fā)得到的結(jié)果更直接，更容易理解.,更一般地，,連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布,1. 已知(X,Y) f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布.,若Z為連續(xù)型隨機(jī)變量,則在f(z)的連續(xù)點(diǎn)處,解,例7,X,Y相互獨(dú)立,設(shè)Z的分布函數(shù)和概
12、率密度分別為,2.連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布,同樣也有,因此,由公式,解,例8 設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與Y 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,得,推論 有限個獨(dú)立的正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布.,即:若XiN(i,i2), (i=1,2,.n), X1,X2, .Xn相互獨(dú)立, 實(shí)數(shù)a1,a2,.,an不全為零,則,特別, 若X1,X2, .Xn獨(dú)立同正態(tài)分布N(,2) ,記:,則,解,例9,此時,二、隨機(jī)變量差的分布,或,三、隨機(jī)變量積的分布,或,或,四、隨機(jī)變量商的分布,或,例10,得所求密度函數(shù),得,五、隨機(jī)向量一般函數(shù)的分布,只討論連續(xù)型情況,則有,故有,推廣,例8,解,作業(yè),P106練習(xí)3.4 1 2,P106習(xí)題三,
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