概率論與數理統(tǒng)計第3章.ppt

第3章 多維隨機向量及其概率分布,3.1 隨機向量及其聯(lián)合分布函數,3.3 隨機向量的獨立性,3.2 二維離散型和連續(xù)型隨機向量,3.4 隨機向量的函數及其概率分布,3.1 隨機向量及其聯(lián)合分布函數,一、多維隨機向量,以后除非特別聲明，一般只討論二維隨機向量,同樣，從右邊的圖中，不難得到,實例1 炮彈的彈著點的位置 ( X, Y ) 就是一個二維隨機變量.,二維隨機變量 ( X, Y ) 的性質不僅與 X 、Y 有關,而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系.,實例2 考查某一地 區(qū)學前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構成二維隨機變量 ( H, W ).,說明,實例3,X,Y,Z 都是隨機變量，則稱(X,Y,Z )是三維隨機向量.,在三維空間中，飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量 (三個坐標X,Y,Z ）來確定的.,二、隨機向量聯(lián)合分布函數的性質,不難驗證其具有如下性質,定義2.,三、隨機向量的邊緣分布函數,設,邊緣分布函數也稱為邊際分布函數或邊沿分布函數,3.2 二維隨機離散型和連續(xù)型隨機向量1,為討論方便，仍然只分離散型和連續(xù)型兩大類,一、二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布,定義1. 若隨機變量X和Y的所有可能取值為有限個或可列個，則稱(X,Y)為二維離散型隨機向量.,設X的所有可能取值為,Y的所有可能取值為,則稱,為二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率函數或聯(lián)合概率分布,聯(lián)合概率函數的表格形式，稱為(X,Y)的聯(lián)合分布律或聯(lián)合分布列,二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率函數具有下列性質:,二維離散型隨機向量的聯(lián)合分布函數為,例1,一袋中裝有2只白球和3只黑球,進行有放回取球,若進行不放回取球,例2 一袋中裝有4只球,依次標有號碼1,2,2,3,從袋中有放回取求兩次,X,Y分別表示兩次取得球上的號碼,則(X,Y)的聯(lián)合概率分布為,思考,將本例中有放回取球改為不放回取球,結果會如何?,二、二維離散型隨機向量的邊緣概率分布,若(X,Y)為二維離散型隨機向量,X的所有可能取值為,Y的所有可能取值為,聯(lián)合概率函數為,則分別稱,離散型隨機變量的邊緣分布列可以在聯(lián)合分布列的基礎上增加，即,也可以將X,Y分開后分別表示，即,例3.,在本節(jié)例1.中,本節(jié)例2.的邊緣分布也是一樣,解,例4,由乘法公式得,解,下面求邊緣分布,若隨機向量 具有如下 的多元分布列,其中 ， ， ， 則稱隨機向量 服從多項分布。,兩個常用的離散型多元分布,（一）多項分布,若隨機向量 具有如下 的多元分布列,其中 ， 為自然 數 ，則稱隨機向量 服從多元超幾何分布。,（二）多元超幾何分布,三、二維連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合概率分布,定義2.,二維隨機變量的聯(lián)合密度函數具有以下性質,從而,用聯(lián)合密度函數的圖形分析以上性質,設隨機向量(X,Y)具有聯(lián)合密度,解,例4,設二維隨機變量(X,Y)具有概率密度,解：,例5,四、二維連續(xù)型隨機向量的邊緣概率分布,與離散型隨機向量一樣，X,Y也是單個的隨機變量,3.2 二維隨機離散型和連續(xù)型隨機向量2,從上面的分析不難得到X和Y的密度函數為,例6 求隨機向量(X,Y)的邊緣分布函數和邊緣密度函數，已知其聯(lián)合分布函數為,解,邊緣分布函數分別為,邊緣密度函數為,例7 求隨機向量(X,Y)的邊緣密度函數，已知其聯(lián)合密度函數為,解,由邊緣密度函數和聯(lián)合密度函數的關系可知,所以,同理,1.均勻分布,定義 設 D 是平面上的有界區(qū)域,其面積為 S,若二維隨機變量 ( X , Y ) 具有概率密度,則稱 ( X , Y ) 在 D 上服從 均勻分布.,兩個常用的分布,例8 已知隨機向量 ( X , Y ) 在 D上服從均勻分布, 試求( X , Y )的分布密度及分布函數,其中D為x 軸, y 軸及直線 y = x+1 所圍成的三角形區(qū)域 .,解,所以 ( X , Y ) 的分布函數為,練習,設(X,Y)在圓域D=(x, y)| x2+y2r 2上服從均勻分布. (1) 判斷X與Y是否相互獨立.,解,(2),2.二維正態(tài)分布,若二維隨機向量 ( X,Y ) 具有概率密度,二維正態(tài)分布的聯(lián)合密度函數的圖象如右圖:,二維正態(tài)分布隨機向量的邊緣分布均是正態(tài)分布,例9,解,由于,于是,則有,即,同理可得,二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,請同學們思考,邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量,其聯(lián)合分 布一定是二維正態(tài)分布嗎?,不一定.,舉一反例以示證明.,答,練習 設 有概率密度 （1）試驗證 符合概率密度的兩個 性質； （2）試求 和 的邊際密度。,解 （1）顯然，,因為 和 都是分布 的密度，所以根據一元密度的性質，有,又由于 和 都是奇函數， 從而,故而,（2）,同理有,所以 和 都服從分布 。,作業(yè),P89練習3.2 1 2 3,3.3 隨機變量的獨立性,定義1.,否則稱不相互獨立或相依,對于離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量也分別有,定理1.,即,顯然,例1.,一袋中裝有2只白球和3只黑球,進行有放回取球,如果進行無放回取球,X和Y是否獨立?,若進行不放回取球,在有放回取球中,第二次取的球的顏色不受第一次取球結果的影響,故X和Y相互獨立,而在不放回取球中,第二次取到球的顏色當然受第一次取球結果的影響,故X和Y不相互獨立.,例2.,解:,所以,根據聯(lián)合分布列和邊緣分布列的關系,不難得到X和Y的聯(lián)合分布列,由于,所以X,Y不相互獨立,99年考研題,8分,思考,設A,B為兩事件,且相互獨立,試證X,Y相互獨立.,定理2.,證明:,(1) 必要性,所以,(2) 充分性,例3.,解:,(1) 由聯(lián)合密度函數的性質,可知,顯然,所以,定理3.,證明,設二維隨機向量,f(x,y)為其聯(lián)合密度函數,證明X與Y獨立的充要條件是=0,證明 由題意得,充分性,將=0代入f(x,y)即得f(x,y)=fX(x)fY(y).,必要性 若X和Y相互獨立,則f(x,y)=fX(x)fY(y),例4. 設二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數為,其中參數 ,這個分布稱為二維指數分布,試討 論X和Y的獨立性.,解: 由已知可得邊緣分布函數,例6 某碼頭能容納一只船,現(xiàn)預知某日將獨立地來 到甲,乙兩船,且在24小時內各時刻來的可能性都相 等,如果它們需要?？康臅r間分別為3小時及4小時, 試求有一船要在江中等待的概率.,關于X的邊緣密度函數,關于Y的邊緣密度函數,解:設X表示甲船到達碼頭的時間.Y表示乙船到達 碼頭的時間.由題中條件,X與Y都服從0,24上的均 勻分布,因為X與Y相互獨立,故(X,Y)的聯(lián)合密度函數為,事件有一只船在江中等待=Y<X<Y+4+X<Y<X+3,表示:甲船來時,乙船已在碼頭,表示:乙船來時,甲船已在碼頭,定義 稱隨機變量序列X1,X2,X n,為相互獨立的, 如果它們中任意m(m=2,3,)個隨機變量都是相互獨立的. 特別若每個X i(i=1,2,)的分布也相同, 則稱之為 獨立同分布 (i.i.d)的隨機變量序列。,隨機變量序列獨立性的概念,作業(yè),P94 練習3.3 1 2 3 4,3.4 隨機向量的函數及其概率分布,分離散型和連續(xù)型形式分別進行討論,一、隨機變量和的分布,1.離散型隨機變量和的分布,將問題一般化,例1,解,等價于,概率,結論,例2 設兩個獨立的隨機變量 X 與 Y 的分布律為,求隨機變量 Z=X+Y 的分布律.,解,解Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,例4,X, Y 相互獨立,證明,由前面的例題可知,例5,例6,設X和Y相互獨立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,我們可以按照前面的方法來求解，也可以換一種方法.,解,從問題的背景出發(fā)得到的結果更直接，更容易理解.,更一般地，,連續(xù)型隨機變量函數的概率分布,1. 已知(X,Y) f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布.,若Z為連續(xù)型隨機變量,則在f(z)的連續(xù)點處,解,例7,X,Y相互獨立,設Z的分布函數和概率密度分別為,2.連續(xù)型隨機變量和的分布,同樣也有,因此,由公式,解,例8 設兩個獨立的隨機變量 X 與Y 都服從標準正態(tài)分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,得,推論 有限個獨立的正態(tài)分布的線性函數仍服從正態(tài)分布.,即:若XiN(i,i2), (i=1,2,.n), X1,X2, .Xn相互獨立, 實數a1,a2,.,an不全為零,則,特別, 若X1,X2, .Xn獨立同正態(tài)分布N(,2) ,記:,則,解,例9,此時,二、隨機變量差的分布,或,三、隨機變量積的分布,或,或,四、隨機變量商的分布,或,例10,得所求密度函數,得,五、隨機向量一般函數的分布,只討論連續(xù)型情況,則有,故有,推廣,例8,解,作業(yè),P106練習3.4 1 2,P106習題三,