概率論與數(shù)理統(tǒng)計第5章.ppt

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1、設(shè)隨機變量X有期望E(X)和方差 ,則對于任給0,1.切比雪夫不等式,第5章 大數(shù)定律與中心極限定理,證明:(就連續(xù)型),設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為:f(x),由切比雪夫不等式可以看出，2越小，則事件|X-E(X)|的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.,當方差已知時，切比雪夫不等式給出了r.v X與它的期望的偏差不小于的概率的估計式 .,如取,對于離散型隨機變量，只要將上述積分號換為求和號即可得證，留作課后練習,概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來. 即:要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則,應(yīng)該研究大量隨機

2、現(xiàn)象.,研究大量隨機現(xiàn)象,常采用極限形式,由此導(dǎo)致研究極限定理. .極限定理內(nèi)容廣泛，其中最重要的有兩種:,大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的 廢品率,幾個常見的大數(shù)定律,定理1（切比雪夫大數(shù)定律）,設(shè) X1,X2, 是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2, ，,切比雪夫,則對任意的0，,注：書上th1 要求同方差、同期望,證明：,k/n,由已知：,由切比雪夫不等式：,故：,設(shè)Y1，Y2，Yn是隨機變量序列，a為常數(shù)，若對于任意正數(shù)有：,則稱序列Y1，Y2，Yn

3、依概率收斂于a.,記為：Yn a,P,依概率收斂有以下性質(zhì)：,設(shè)：Xn a,P,Yn b,P,g(x,y)在(a,b)處,連續(xù)，則：g(x,y),P,g(a,b).,切比雪夫大數(shù)定律給出了 平均值穩(wěn)定性的科學描述,作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況:,定理2. (獨立同分布下的大數(shù)定律),設(shè)X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2, 則對任給 0,下面的貝努里大數(shù)定律，是定理2的特例.,設(shè)Sn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，,引入,i=1,2,n,則,是事件A發(fā)生的頻率,于是有下面的定理：,設(shè)Sn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)

4、生的次數(shù)， p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的 0，,定理3（貝努里大數(shù)定律）,貝努里大數(shù)定律表明，當重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率Sn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,或：,下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機變量的方差存在.,定理4：設(shè)隨機變量序列X1,X2, 獨立同分布，具有有限的數(shù)學期E(Xi)=, i=1,2,， 則對任給 0 ，,(辛欽大數(shù)定律),辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.,我們介紹均值法，步驟是,1) 產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機數(shù)rn,2) 計算g(rn)， n=1,2,N,n=1,2,N,即,3) 用平均值近似積

5、分值,因此，當n充分大時，,原理:,設(shè)XU(0, 1),由大數(shù)定律,2. 中心極限定理的客觀背景,實際問題中,常需考慮許多隨機因素產(chǎn)生總影響.,例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響.,空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，,對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響.,如瞄準時的誤差，,炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.,觀察表明,若一個量受大量相互獨立的隨機因素的影響所,而每個因素在總影響中所起的作用又不大. 則這個量一般服從或近似服從正態(tài)分布.,定理5： (獨立同分布下的中心極限定理),它表明，當n充分大時，n個具有期望和方差 的獨立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布.,設(shè)X1,X2, 是

6、獨立同分布的隨機 變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,，則,定理6(棣莫佛拉普拉斯定理）,定理表明，當n很大，0p1是一個定值時（或者說，np(1-p)也不太小時），二項變量 的分布近似正態(tài)分布 N(np,np(1-p).,設(shè)隨機變量Yn 服從參數(shù)n, p(0p1)的二項分布，則對任意x，有,例1. (供電問題)某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車. 設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.,問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?,用X表示在某時刻工作著的

7、車床數(shù)，,解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，,每次試驗觀察該臺車床在某時刻是否工作， 工作的概率為0.6，共進行200次試驗.,依題意，,XB(200,0.6),則求使：,解：設(shè)某時刻恰有N臺車床工作，,（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，N臺工作所需電力即N千瓦.）,由德莫佛-拉普拉斯極限定理,近似N(0,1),于是 P(0XN),這里 np=120, np(1-p)=48,查正態(tài)分布函數(shù)表得,由 0.999，,從中解得N141.5,即所求N=142.,也就是說, 應(yīng)供應(yīng)142 千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn).,例2：在人壽保險公司有3千個同齡人參加人壽保險

8、，在一年內(nèi)此年齡人死亡的概率為0.1. 投保人在一年的第一天付10元保險費，死后家屬可從保險公司領(lǐng)取2千元。,求：1).保險公司一年獲利不少于1萬的概率。,2).保險公司虧本的概率。,解：,設(shè)： X為一年內(nèi)投保人死亡總數(shù)。,則： XB(3000,0.001),由德莫佛-拉普拉斯極限定理,近似N(0,1),P3萬一年獲利1萬,P3萬3000102000X 1萬,P0 X10,=0.958,np=3；np(1-p)=2.997,=0.0418,P保險公司虧本,=P3000102000X0,=PX15,=1P0X15,例3： 1992年美國總統(tǒng)大選，民意測驗中心在ABCNEWS上發(fā)表民意測驗數(shù)據(jù)如下

9、： 克林頓：42；布什：39；Perot: 17； (預(yù)測誤差3),1992年11月4日，CNN電臺公布選舉結(jié)果： 克林頓：43；布什：38；Perot: 19；,問題：對于給定的精度如何調(diào)查可使預(yù)測結(jié)果滿足精度要求且具有要求達到的可信度1(0) 。,解: (僅以預(yù)測克林頓當選為例),假設(shè)：,1.以相同概率抽查每一個人，且被調(diào)查者均真實說明自己選舉意愿。,2.抽查n個人，才能使預(yù)測結(jié)果滿足精度要求的可信度達到1。 3.克林頓當選的概率為p。 4.被調(diào)查的n個人當中k人選克林頓。,以 估計克林頓當選概率p的值；,并要求,因為： KB(n, p),其中n、p均未知,由德莫佛-拉普拉斯極限定理,當n

10、充分大時：,近似N(0,1),因p未知，因而想辦法消除,其中為z/2標準正態(tài)分布的上/2分位點,所以只要：,若令:=0.05=0.03則:,即：對1067人做調(diào)查，以,估計p，其誤差不超過0.03的可信度為95%，錯判概率為5%，錯判多發(fā)生在突變，或抽樣不合理的情況。,證明：,由已知：E(Xk)=0, E( )=a2,故D(Xk)=a2,由切比雪夫不等式,所以結(jié)論成立。,用切比雪夫不等式估計：P18Y3022 用中心極限定理估計：P18Y3022,解：,因為：E(Xi)=0, D(Xi)=0.04;,所以: E(Y30)=22, D(Y30)=1.2;,P18Y3022=,=2(1.826)-

11、1=0.932,例6：銀行為支付某日即將到期的債券須準備一筆現(xiàn)金，已知此批債券共發(fā)放500張，每張須付本息1000元，設(shè)持券人(一人一券)到期日到銀行領(lǐng)取本息的概率為0.4。問：銀行應(yīng)準備多少現(xiàn)金才能以99.9%的可能滿足客戶的兌換？,解：設(shè)為X到期日到銀行領(lǐng)取本息的總?cè)藬?shù)。,則：XB(500,0.4),E(X)=200;D(X)=120,P(Xm),解得：m233.96,銀行應(yīng)準備2341000=23.4萬元現(xiàn)金。,在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理.,中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實.,