概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第5章.ppt

設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差 ,則對(duì)于任給0,1.切比雪夫不等式,第5章 大數(shù)定律與中心極限定理,證明:(就連續(xù)型),設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為:f(x),由切比雪夫不等式可以看出，2越小，則事件|X-E(X)|<的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.,當(dāng)方差已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.v X與它的期望的偏差不小于的概率的估計(jì)式 .,如取,對(duì)于離散型隨機(jī)變量，只要將上述積分號(hào)換為求和號(hào)即可得證，留作課后練習(xí),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái). 即:要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則,應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.,研究大量隨機(jī)現(xiàn)象,常采用極限形式,由此導(dǎo)致研究極限定理. .極限定理內(nèi)容廣泛，其中最重要的有兩種:,大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過(guò)程中的 廢品率,幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律,定理1（切比雪夫大數(shù)定律）,設(shè) X1,X2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2, ，,切比雪夫,則對(duì)任意的0，,注：書上th1 要求同方差、同期望,證明：,k/n,由已知：,由切比雪夫不等式：,故：,設(shè)Y1，Y2，Yn是隨機(jī)變量序列，a為常數(shù)，若對(duì)于任意正數(shù)有：,則稱序列Y1，Y2，Yn依概率收斂于a.,記為：Yn a,P,依概率收斂有以下性質(zhì)：,設(shè)：Xn a,P,Yn b,P,g(x,y)在(a,b)處,連續(xù)，則：g(x,y),P,g(a,b).,切比雪夫大數(shù)定律給出了 平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述,作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況:,定理2. (獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律),設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2, 則對(duì)任給 0,下面的貝努里大數(shù)定律，是定理2的特例.,設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，,引入,i=1,2,n,則,是事件A發(fā)生的頻率,于是有下面的定理：,設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)， p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 0，,定理3（貝努里大數(shù)定律）,貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率Sn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,或：,下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.,定理4：設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)任給 0 ，,(辛欽大數(shù)定律),辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.,我們介紹均值法，步驟是,1) 產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)rn,2) 計(jì)算g(rn)， n=1,2,N,n=1,2,N,即,3) 用平均值近似積分值,因此，當(dāng)n充分大時(shí)，,原理:,設(shè)XU(0, 1),由大數(shù)定律,2. 中心極限定理的客觀背景,實(shí)際問(wèn)題中,常需考慮許多隨機(jī)因素產(chǎn)生總影響.,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.,空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，,對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.,如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，,炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.,觀察表明,若一個(gè)量受大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所,而每個(gè)因素在總影響中所起的作用又不大. 則這個(gè)量一般服從或近似服從正態(tài)分布.,定理5： (獨(dú)立同分布下的中心極限定理),它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差 的獨(dú)立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布.,設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī) 變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,，則,定理6(棣莫佛拉普拉斯定理）,定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個(gè)定值時(shí)（或者說(shuō)，np(1-p)也不太小時(shí)），二項(xiàng)變量 的分布近似正態(tài)分布 N(np,np(1-p).,設(shè)隨機(jī)變量Yn 服從參數(shù)n, p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有,例1. (供電問(wèn)題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車. 設(shè)開(kāi)工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦.,問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?,用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，,解：對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，,每次試驗(yàn)觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作， 工作的概率為0.6，共進(jìn)行200次試驗(yàn).,依題意，,XB(200,0.6),則求使：,解：設(shè)某時(shí)刻恰有N臺(tái)車床工作，,（由于每臺(tái)車床在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦，N臺(tái)工作所需電力即N千瓦.）,由德莫佛-拉普拉斯極限定理,近似N(0,1),于是 P(0XN),這里 np=120, np(1-p)=48,查正態(tài)分布函數(shù)表得,由 0.999，,從中解得N141.5,即所求N=142.,也就是說(shuō), 應(yīng)供應(yīng)142 千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).,例2：在人壽保險(xiǎn)公司有3千個(gè)同齡人參加人壽保險(xiǎn)，在一年內(nèi)此年齡人死亡的概率為0.1. 投保人在一年的第一天付10元保險(xiǎn)費(fèi)，死后家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2千元。,求：1).保險(xiǎn)公司一年獲利不少于1萬(wàn)的概率。,2).保險(xiǎn)公司虧本的概率。,解：,設(shè)： X為一年內(nèi)投保人死亡總數(shù)。,則： XB(3000,0.001),由德莫佛-拉普拉斯極限定理,近似N(0,1),P3萬(wàn)一年獲利1萬(wàn),P3萬(wàn)3000102000X 1萬(wàn),P0 X10,=0.958,np=3；np(1-p)=2.997,=0.0418,P保險(xiǎn)公司虧本,=P3000102000X<0,=PX15,=1P0X15,例3： 1992年美國(guó)總統(tǒng)大選，民意測(cè)驗(yàn)中心在ABCNEWS上發(fā)表民意測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下： 克林頓：42；布什：39；Perot: 17； (預(yù)測(cè)誤差3),1992年11月4日，CNN電臺(tái)公布選舉結(jié)果： 克林頓：43；布什：38；Perot: 19；,問(wèn)題：對(duì)于給定的精度如何調(diào)查可使預(yù)測(cè)結(jié)果滿足精度要求且具有要求達(dá)到的可信度1(0) 。,解: (僅以預(yù)測(cè)克林頓當(dāng)選為例),假設(shè)：,1.以相同概率抽查每一個(gè)人，且被調(diào)查者均真實(shí)說(shuō)明自己選舉意愿。,2.抽查n個(gè)人，才能使預(yù)測(cè)結(jié)果滿足精度要求的可信度達(dá)到1。 3.克林頓當(dāng)選的概率為p。 4.被調(diào)查的n個(gè)人當(dāng)中k人選克林頓。,以 估計(jì)克林頓當(dāng)選概率p的值；,并要求,因?yàn)椋?KB(n, p),其中n、p均未知,由德莫佛-拉普拉斯極限定理,當(dāng)n充分大時(shí)：,近似N(0,1),因p未知，因而想辦法消除,其中為z/2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上/2分位點(diǎn),所以只要：,若令:=0.05=0.03則:,即：對(duì)1067人做調(diào)查，以,估計(jì)p，其誤差不超過(guò)0.03的可信度為95%，錯(cuò)判概率為5%，錯(cuò)判多發(fā)生在突變，或抽樣不合理的情況。,證明：,由已知：E(Xk)=0, E( )=a2,故D(Xk)=a2,由切比雪夫不等式,所以結(jié)論成立。,用切比雪夫不等式估計(jì)：P18Y3022 用中心極限定理估計(jì)：P18Y3022,解：,因?yàn)椋篍(Xi)=0, D(Xi)=0.04;,所以: E(Y30)=22, D(Y30)=1.2;,P18Y3022=,=2(1.826)-1=0.932,例6：銀行為支付某日即將到期的債券須準(zhǔn)備一筆現(xiàn)金，已知此批債券共發(fā)放500張，每張須付本息1000元，設(shè)持券人(一人一券)到期日到銀行領(lǐng)取本息的概率為0.4。問(wèn)：銀行應(yīng)準(zhǔn)備多少現(xiàn)金才能以99.9%的可能滿足客戶的兌換？,解：設(shè)為X到期日到銀行領(lǐng)取本息的總?cè)藬?shù)。,則：XB(500,0.4),E(X)=200;D(X)=120,P(Xm),解得：m233.96,銀行應(yīng)準(zhǔn)備2341000=23.4萬(wàn)元現(xiàn)金。,在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理.,中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡(jiǎn)單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí).,