5-5充分統(tǒng)計(jì)量[沐風(fēng)教育]

《5-5充分統(tǒng)計(jì)量[沐風(fēng)教育]》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《5-5充分統(tǒng)計(jì)量[沐風(fēng)教育]（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五節(jié)第五節(jié) 充分統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量1、充分性的概念、充分性的概念2、因子分解定理、因子分解定理一、充分性的概念一、充分性的概念 不損失信息的統(tǒng)計(jì)量就是充分統(tǒng)計(jì)量不損失信息的統(tǒng)計(jì)量就是充分統(tǒng)計(jì)量.它概括它概括了樣本中所含未知參數(shù)的全部信息了樣本中所含未知參數(shù)的全部信息.例例1 為研究某運(yùn)動(dòng)員的打靶命中率為研究某運(yùn)動(dòng)員的打靶命中率,對(duì)其進(jìn)行測(cè)試。對(duì)其進(jìn)行測(cè)試。觀測(cè)觀測(cè)10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余八次都次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余八次都命中。此觀測(cè)結(jié)果包括兩種信息：命中。此觀測(cè)結(jié)果包括兩種信息：（1）打靶）打靶10次命中次命中8次；次；（2）兩次未命中出現(xiàn)在第三、六次打靶上。）兩次未

2、命中出現(xiàn)在第三、六次打靶上。例例2 設(shè)總體設(shè)總體X分布為分布為b(1,),X1,X2,Xn是取自總體的是取自總體的樣本，令樣本，令T=X1+.+Xn,則在給定則在給定T 的取值的取值 t 后后,對(duì)任意對(duì)任意一組一組 ,有有121(,.,),()nniixxxxt11(,|)nnP XxXxTt1111111(,)()nnnniiniiP XxXxXtxPXt 1111()()(1)nniiniiittn tnP XxP XtxC 11111111(1)(1)(1)nniiiiiintxtxxxittntnC(1)1(1)tn tttn ttnnCC該條件分布與該條件分布與無(wú)關(guān)，因而無(wú)關(guān)，因而T

3、是充分統(tǒng)計(jì)量。是充分統(tǒng)計(jì)量。注注1：用條件分布與未知參數(shù)無(wú)關(guān)來(lái)表示統(tǒng)計(jì)量不損失用條件分布與未知參數(shù)無(wú)關(guān)來(lái)表示統(tǒng)計(jì)量不損失樣本中有價(jià)值的信息的方法是可行的樣本中有價(jià)值的信息的方法是可行的.2：充分統(tǒng)計(jì)量不唯一充分統(tǒng)計(jì)量不唯一.實(shí)際上實(shí)際上,樣本本身就是參數(shù)的一樣本本身就是參數(shù)的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量.由此由此,充分統(tǒng)計(jì)量總存在充分統(tǒng)計(jì)量總存在.3：若樣本容量為若樣本容量為n,（在上例中）（在上例中）則則T1=x1+x2不是充分統(tǒng)不是充分統(tǒng)計(jì)量計(jì)量.顯然顯然,它浪費(fèi)了它浪費(fèi)了n-2個(gè)樣品的信息個(gè)樣品的信息.定義定義:1211,(;)(,.nnnx xxF xTT xxTxx(也稱為該分布的充分

4、統(tǒng)計(jì)量)設(shè)是總體分布函數(shù)為的樣本，統(tǒng)計(jì)量)稱為 的充分統(tǒng)計(jì)量,如果在(任意)給定 值后,樣本的條件分布與 無(wú)關(guān)注：注：條件分布可用條件分布列或條件密度函數(shù)來(lái)表示條件分布可用條件分布列或條件密度函數(shù)來(lái)表示.定理定理1：設(shè)設(shè)T=T(x1,xn)是參數(shù)是參數(shù)的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量，的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量，z=(t)具有單值反函數(shù)，則具有單值反函數(shù)，則Z=(T)也是也是的一個(gè)充分統(tǒng)的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量計(jì)量.（即充分統(tǒng)計(jì)量經(jīng)一一對(duì)應(yīng)變換后仍是充分統(tǒng)計(jì)量）（即充分統(tǒng)計(jì)量經(jīng)一一對(duì)應(yīng)變換后仍是充分統(tǒng)計(jì)量）T T和和可以是向量可以是向量,維數(shù)不一定相同維數(shù)不一定相同1212()(;),0,1,!,3.xXPp xexxx xT

5、xx設(shè)總體，即為樣本，證明=2不是 的充分統(tǒng)計(jì)量例定理定理2：以下統(tǒng)稱分布列和密度函數(shù)為概率函數(shù)以下統(tǒng)稱分布列和密度函數(shù)為概率函數(shù).111(,.,;)(,),(,)nnnp xxg T xxh xx1111(,),(;,(,(,),nnnnh xxp xxxTT xxg txx充要設(shè)總體的概率函數(shù)為),是樣本，則統(tǒng)計(jì)量)為充分統(tǒng)計(jì)量的是:存在兩個(gè)函數(shù)和使得對(duì)任意的和任一組觀測(cè)值條件有二、因子分解定理二、因子分解定理其中其中g(shù)(t,)是通過(guò)統(tǒng)計(jì)量是通過(guò)統(tǒng)計(jì)量T 的取值而依賴于樣本的，的取值而依賴于樣本的，而而h(x1,xn)不依賴于不依賴于.例例4 設(shè)設(shè)x1,x2,xn是取自總體是取自總體N(,

6、1)的樣本，的樣本，令令 ,則則T 為為 的充分的充分 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量.Tx1(,)npxx22211()()()nniiiixxxn x而2211(2)exp()2nniix222111(2)exp()exp()22nniixxn x21,(,)exp()2Txg tn t取并令22111(,)(2)exp()2nnniih xxxx由因子分解定理可知由因子分解定理可知,是是的的充分統(tǒng)計(jì)量。充分統(tǒng)計(jì)量。Tx證：例例5 設(shè)總體設(shè)總體X分布為分布為U(0,),x1,x2,xn是取自總體是取自總體的樣本，則的樣本，則T=x(n)是是 的充分統(tǒng)計(jì)量的充分統(tǒng)計(jì)量.1/,0(;)0,xp xelse10m

7、in max(1/)(;)(;)0niinxxp xp xelse，(1)()10,(,)(1/),(,)nntnxTxg tIh xxI取并令由因子分解定理可知由因子分解定理可知,T=x(n)是是的的充分統(tǒng)計(jì)量。充分統(tǒng)計(jì)量。證：證：()(1)0(1/)nnxxII2221211(,;)(2)exp()2nnniip xxx例例6 設(shè)總體設(shè)總體X分布為分布為N(,2),x1,x2,xn是取自總體是取自總體的樣本，的樣本，=(,2)是未知的是未知的,則則 是是的的充分統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量.進(jìn)一步進(jìn)一步,它的一一對(duì)應(yīng)變換它的一一對(duì)應(yīng)變換 仍仍是充分統(tǒng)計(jì)量是充分統(tǒng)計(jì)量.21211(,)(,)nniiii

8、Tttxx證：證：222222111(2)expexp(2)22nnniiiinxx21211,nniiiitxtx取并令22212212211(,;)(2)expexp(2)22(,)1.nnng t ttth xx即可2(,)x s注：注：若若是參數(shù)向量，是參數(shù)向量，T是隨機(jī)向量，且滿足因子分是隨機(jī)向量，且滿足因子分解定理的條件，則解定理的條件，則T是是的充分統(tǒng)計(jì)量的充分統(tǒng)計(jì)量.但不能由但不能由T關(guān)于關(guān)于是充分的是充分的,推出推出T 的第的第i 個(gè)分量關(guān)于個(gè)分量關(guān)于的第的第i 個(gè)個(gè)分量也是充分的分量也是充分的.例例7.設(shè)設(shè)x1,x2,xn是取自均勻分布是取自均勻分布U(,2)的樣的樣本，其

9、中參數(shù)本，其中參數(shù)0，試給出充分統(tǒng)計(jì)量，試給出充分統(tǒng)計(jì)量.例例8 設(shè)設(shè)x1,x2,xn是取自總體是取自總體X的樣本，其中的樣本，其中X的密的密度為度為1(;),01,0p xxx111(,.;)()nnniip xxx111,(,),(,)1nniniTxg tth xx取并令試給出一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量試給出一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量.(P283)由因子分解定理可知由因子分解定理可知,是是的的充分統(tǒng)計(jì)量。充分統(tǒng)計(jì)量。1niiTx注：注：因?yàn)槌浞纸y(tǒng)計(jì)量的一一對(duì)應(yīng)變換仍是充分統(tǒng)計(jì)量因?yàn)槌浞纸y(tǒng)計(jì)量的一一對(duì)應(yīng)變換仍是充分統(tǒng)計(jì)量.故例故例8中中 幾何平均幾何平均 及其對(duì)數(shù)及其對(duì)數(shù) 都是都是的充分統(tǒng)的充分統(tǒng)計(jì)量計(jì)量.1,nnxx11lnniixn解解:常見分布的充分統(tǒng)計(jì)量常見分布的充分統(tǒng)計(jì)量分布分布參數(shù)參數(shù)充分統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量?jī)牲c(diǎn)分布兩點(diǎn)分布b(1,p)pPoisson分布分布P()幾何分布幾何分布Ge()均勻分布均勻分布U(0,)均勻分布均勻分布U(1,2)(1,2)均勻分布均勻分布U(,2)正態(tài)分布正態(tài)分布N(,2 2)(,2 2)指數(shù)分布指數(shù)分布Exp()伽瑪分布伽瑪分布Ga(,)(,)TxTxTx21()niixxx,Tx()nTx(1)()(,)nxx(1)()(,)nxx11(,)nniiiixx