5-5充分統(tǒng)計量[沐風(fēng)教育]

第五節(jié)第五節(jié) 充分統(tǒng)計量充分統(tǒng)計量1、充分性的概念、充分性的概念2、因子分解定理、因子分解定理一、充分性的概念一、充分性的概念 不損失信息的統(tǒng)計量就是充分統(tǒng)計量不損失信息的統(tǒng)計量就是充分統(tǒng)計量.它概括它概括了樣本中所含未知參數(shù)的全部信息了樣本中所含未知參數(shù)的全部信息.例例1 為研究某運(yùn)動員的打靶命中率為研究某運(yùn)動員的打靶命中率,對其進(jìn)行測試。對其進(jìn)行測試。觀測觀測10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余八次都次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余八次都命中。此觀測結(jié)果包括兩種信息：命中。此觀測結(jié)果包括兩種信息：（1）打靶）打靶10次命中次命中8次；次；（2）兩次未命中出現(xiàn)在第三、六次打靶上。）兩次未命中出現(xiàn)在第三、六次打靶上。例例2 設(shè)總體設(shè)總體X分布為分布為b(1,),X1,X2,Xn是取自總體的是取自總體的樣本，令樣本，令T=X1+.+Xn,則在給定則在給定T 的取值的取值 t 后后,對任意對任意一組一組 ,有有121(,.,),()nniixxxxt11(,|)nnP XxXxTt1111111(,)()nnnniiniiP XxXxXtxPXt 1111()()(1)nniiniiittn tnP XxP XtxC 11111111(1)(1)(1)nniiiiiintxtxxxittntnC(1)1(1)tn tttn ttnnCC該條件分布與該條件分布與無關(guān)，因而無關(guān)，因而T是充分統(tǒng)計量。是充分統(tǒng)計量。注注1：用條件分布與未知參數(shù)無關(guān)來表示統(tǒng)計量不損失用條件分布與未知參數(shù)無關(guān)來表示統(tǒng)計量不損失樣本中有價值的信息的方法是可行的樣本中有價值的信息的方法是可行的.2：充分統(tǒng)計量不唯一充分統(tǒng)計量不唯一.實際上實際上,樣本本身就是參數(shù)的一樣本本身就是參數(shù)的一個充分統(tǒng)計量個充分統(tǒng)計量.由此由此,充分統(tǒng)計量總存在充分統(tǒng)計量總存在.3：若樣本容量為若樣本容量為n,（在上例中）（在上例中）則則T1=x1+x2不是充分統(tǒng)不是充分統(tǒng)計量計量.顯然顯然,它浪費(fèi)了它浪費(fèi)了n-2個樣品的信息個樣品的信息.定義定義:1211,(;)(,.nnnx xxF xTT xxTxx(也稱為該分布的充分統(tǒng)計量)設(shè)是總體分布函數(shù)為的樣本，統(tǒng)計量)稱為 的充分統(tǒng)計量,如果在(任意)給定 值后,樣本的條件分布與 無關(guān)注：注：條件分布可用條件分布列或條件密度函數(shù)來表示條件分布可用條件分布列或條件密度函數(shù)來表示.定理定理1：設(shè)設(shè)T=T(x1,xn)是參數(shù)是參數(shù)的一個充分統(tǒng)計量，的一個充分統(tǒng)計量，z=(t)具有單值反函數(shù)，則具有單值反函數(shù)，則Z=(T)也是也是的一個充分統(tǒng)的一個充分統(tǒng)計量計量.（即充分統(tǒng)計量經(jīng)一一對應(yīng)變換后仍是充分統(tǒng)計量）（即充分統(tǒng)計量經(jīng)一一對應(yīng)變換后仍是充分統(tǒng)計量）T T和和可以是向量可以是向量,維數(shù)不一定相同維數(shù)不一定相同1212()(;),0,1,!,3.xXPp xexxx xTxx設(shè)總體，即為樣本，證明=2不是 的充分統(tǒng)計量例定理定理2：以下統(tǒng)稱分布列和密度函數(shù)為概率函數(shù)以下統(tǒng)稱分布列和密度函數(shù)為概率函數(shù).111(,.,;)(,),(,)nnnp xxg T xxh xx1111(,),(;,(,(,),nnnnh xxp xxxTT xxg txx充要設(shè)總體的概率函數(shù)為),是樣本，則統(tǒng)計量)為充分統(tǒng)計量的是:存在兩個函數(shù)和使得對任意的和任一組觀測值條件有二、因子分解定理二、因子分解定理其中其中g(shù)(t,)是通過統(tǒng)計量是通過統(tǒng)計量T 的取值而依賴于樣本的，的取值而依賴于樣本的，而而h(x1,xn)不依賴于不依賴于.例例4 設(shè)設(shè)x1,x2,xn是取自總體是取自總體N(,1)的樣本，的樣本，令令 ,則則T 為為 的充分的充分 統(tǒng)計量統(tǒng)計量.Tx1(,)npxx22211()()()nniiiixxxn x而2211(2)exp()2nniix222111(2)exp()exp()22nniixxn x21,(,)exp()2Txg tn t取并令22111(,)(2)exp()2nnniih xxxx由因子分解定理可知由因子分解定理可知,是是的的充分統(tǒng)計量。充分統(tǒng)計量。Tx證：例例5 設(shè)總體設(shè)總體X分布為分布為U(0,),x1,x2,xn是取自總體是取自總體的樣本，則的樣本，則T=x(n)是是 的充分統(tǒng)計量的充分統(tǒng)計量.1/,0(;)0,xp xelse10min max(1/)(;)(;)0niinxxp xp xelse，(1)()10,(,)(1/),(,)nntnxTxg tIh xxI取并令由因子分解定理可知由因子分解定理可知,T=x(n)是是的的充分統(tǒng)計量。充分統(tǒng)計量。證：證：()(1)0(1/)nnxxII2221211(,;)(2)exp()2nnniip xxx例例6 設(shè)總體設(shè)總體X分布為分布為N(,2),x1,x2,xn是取自總體是取自總體的樣本，的樣本，=(,2)是未知的是未知的,則則 是是的的充分統(tǒng)計量充分統(tǒng)計量.進(jìn)一步進(jìn)一步,它的一一對應(yīng)變換它的一一對應(yīng)變換 仍仍是充分統(tǒng)計量是充分統(tǒng)計量.21211(,)(,)nniiiiTttxx證：證：222222111(2)expexp(2)22nnniiiinxx21211,nniiiitxtx取并令22212212211(,;)(2)expexp(2)22(,)1.nnng t ttth xx即可2(,)x s注：注：若若是參數(shù)向量，是參數(shù)向量，T是隨機(jī)向量，且滿足因子分是隨機(jī)向量，且滿足因子分解定理的條件，則解定理的條件，則T是是的充分統(tǒng)計量的充分統(tǒng)計量.但不能由但不能由T關(guān)于關(guān)于是充分的是充分的,推出推出T 的第的第i 個分量關(guān)于個分量關(guān)于的第的第i 個個分量也是充分的分量也是充分的.例例7.設(shè)設(shè)x1,x2,xn是取自均勻分布是取自均勻分布U(,2)的樣的樣本，其中參數(shù)本，其中參數(shù)0，試給出充分統(tǒng)計量，試給出充分統(tǒng)計量.例例8 設(shè)設(shè)x1,x2,xn是取自總體是取自總體X的樣本，其中的樣本，其中X的密的密度為度為1(;),01,0p xxx111(,.;)()nnniip xxx111,(,),(,)1nniniTxg tth xx取并令試給出一個充分統(tǒng)計量試給出一個充分統(tǒng)計量.(P283)由因子分解定理可知由因子分解定理可知,是是的的充分統(tǒng)計量。充分統(tǒng)計量。1niiTx注：注：因為充分統(tǒng)計量的一一對應(yīng)變換仍是充分統(tǒng)計量因為充分統(tǒng)計量的一一對應(yīng)變換仍是充分統(tǒng)計量.故例故例8中中 幾何平均幾何平均 及其對數(shù)及其對數(shù) 都是都是的充分統(tǒng)的充分統(tǒng)計量計量.1,nnxx11lnniixn解解:常見分布的充分統(tǒng)計量常見分布的充分統(tǒng)計量分布分布參數(shù)參數(shù)充分統(tǒng)計量充分統(tǒng)計量兩點分布兩點分布b(1,p)pPoisson分布分布P()幾何分布幾何分布Ge()均勻分布均勻分布U(0,)均勻分布均勻分布U(1,2)(1,2)均勻分布均勻分布U(,2)正態(tài)分布正態(tài)分布N(,2 2)(,2 2)指數(shù)分布指數(shù)分布Exp()伽瑪分布伽瑪分布Ga(,)(,)TxTxTx21()niixxx,Tx()nTx(1)()(,)nxx(1)()(,)nxx11(,)nniiiixx