《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式 第20講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點問題練習(xí)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式 第20講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點問題練習(xí)(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第20講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點問題1若函數(shù)f(x)ax3bx4,當(dāng)x2時,函數(shù)f(x)有極值.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若函數(shù)f(x)k有3個解,求實數(shù)k的取值范圍解:(1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f(x)3ax2b,由題意知解得所以f(x)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2),令f(x)0,得x2或x2.當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00f(x)因此,當(dāng)x2時,f(x)有極大值;當(dāng)x2時,f(x)有極小值.所以函數(shù)f(x)x34x4的圖象大致如圖所示因為方程f(x)k的解的個數(shù)即為yk與yf(x)的交點個數(shù)所
2、以實數(shù)k的取值范圍是.2已知函數(shù)f(x)ex1,g(x)x,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e2.718 28.(1)證明:函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點;(2)求方程f(x)g(x)的根的個數(shù),并說明理由解:(1)證明:由h(x)f(x)g(x)ex1x得,h(1)e30,且h(x)在區(qū)間(1,2)上是連續(xù)的,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(2)由(1)得h(x)ex1x.由g(x)x知,x0,),而h(0)0,則x0為h(x)的一個零點,而h(x)在(1,2)內(nèi)有零點,因此h(x)在0,)上至少有兩個零點因為h(x)exx1,記(x)exx1,則(x)exx.當(dāng)x(
3、0,)時,(x)0,因此(x)在(0,)上單調(diào)遞增,則(x)在(0,)上至多只有一個零點,即h(x)在0,)上至多有兩個零點所以方程f(x)g(x)的根的個數(shù)為2.3已知函數(shù)f(x)aexx2bx(a,bR)(1)設(shè)a1,若函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù),求b的取值范圍;(2)設(shè)b0,若函數(shù)f(x)在R上有且只有一個零點,求a的取值范圍解:(1)當(dāng)a1時,f(x)exx2bx,f(x)ex2xb,由題意知,f(x)ex2xb0對xR恒成立由ex2xb0,得bex2x.令F(x)ex2x,則F(x)ex2,由F(x)0,得xln 2.當(dāng)xln 2時,F(xiàn)(x)0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xln 2時
4、,F(xiàn)(x)0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減,從而當(dāng)xln 2時,F(xiàn)(x)取得最大值2ln 22,b2ln 22,故b的取值范圍為2ln 22,)(2)當(dāng)b0時,f(x)aexx2.由題意知aexx20只有一個解由aexx20,得a,令G(x),則G(x),由G(x)0,得x0或x2.當(dāng)x0時,G(x)0,G(x)單調(diào)遞減,故G(x)的取值范圍為0,);當(dāng)0x2時,G(x)0,G(x)單調(diào)遞增,故G(x)的取值范圍為;當(dāng)x2時,G(x)0,G(x)單調(diào)遞減,故G(x)的取值范圍為.由題意得,a0或a,從而a0或a,故若函數(shù)f(x)在R上只有一個零點,則a的取值范圍為04已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)
5、2有兩個零點(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1x20,則當(dāng)x(,1)時,f(x)0,所以f(x)在(,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,)內(nèi)單調(diào)遞增又f(1)e,f(2)a,取b滿足b0且b(b2)a(b1)2a0,故f(x)存在兩個零點設(shè)a0,因此f(x)在(1,)內(nèi)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時,f(x)0,所以f(x)不存在兩個零點若a1,故當(dāng)x(1,ln(2a)時,f(x)0.因此f(x)在(1,ln(2a)內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln(2a),)內(nèi)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時,f(x)0,所以f(x)不存在兩個零點綜上,a的取值范圍為(0,)(2)證明:不妨設(shè)x1x2,由(1)知,x1
6、(,1),x2(1,),2x2(,1),又f(x)在(,1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以x1x2f(2x2),即f(2x2)1時,g(x)1時,g(x)0.從而g(x2)f(2x2)0,故x1x2m時,f(x)x2kx10.設(shè)0x1,x2kx1max1,k,所以f(x)ln x,當(dāng)0xe時,f(x)0,取nmin1,e,則當(dāng)x(0,n)時,f(x)0,又函數(shù)f(x)在定義域(0,)上連續(xù)不間斷,所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點當(dāng)k2時,f(x)在(0,x1)和(x2,)上遞增,在(x1,x2)上遞減,其中2xkx110,2xkx210,則f(x1)ln x1xkx11ln x1x(2x1)1ln x1x2.下面先證明ln xx(x0):設(shè)h(x)ln x x,由h(x)0得0x1,所以h(x)在(0,1)上遞增,在(1,)上遞減,h(x)maxh(1)10,所以h(x)0(x0),即ln xx(x0)因此,f(x1)x1x220,又因為f(x)在(x1,x2)上遞減,所以f(x2)f(x1)0,所以f(x)在區(qū)間(0,x2)不存在零點由知,當(dāng)xm時,f(x)0,f(x)的圖象連續(xù)不間斷,所以f(x)在區(qū)間(x2,)上有且僅有一個零點綜上所述,函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點- 6 -