（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學二輪復習 專題四 函數(shù)與導數(shù)、不等式 第20講 導數(shù)與函數(shù)的零點問題練習

第20講 導數(shù)與函數(shù)的零點問題1若函數(shù)f(x)ax3bx4，當x2時，函數(shù)f(x)有極值.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)k有3個解，求實數(shù)k的取值范圍解：(1)對函數(shù)f(x)求導得f(x)3ax2b，由題意知解得所以f(x)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，當x2時，f(x)有極大值；當x2時，f(x)有極小值.所以函數(shù)f(x)x34x4的圖象大致如圖所示因為方程f(x)k的解的個數(shù)即為yk與yf(x)的交點個數(shù)所以實數(shù)k的取值范圍是.2已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e2.718 28.(1)證明：函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點；(2)求方程f(x)g(x)的根的個數(shù)，并說明理由解：(1)證明：由h(x)f(x)g(x)ex1x得，h(1)e3<0，h(2)e23>0，且h(x)在區(qū)間(1,2)上是連續(xù)的，所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(2)由(1)得h(x)ex1x.由g(x)x知，x0，)，而h(0)0，則x0為h(x)的一個零點，而h(x)在(1,2)內(nèi)有零點，因此h(x)在0，)上至少有兩個零點因為h(x)exx1，記(x)exx1，則(x)exx.當x(0，)時，(x)>0，因此(x)在(0，)上單調(diào)遞增，則(x)在(0，)上至多只有一個零點，即h(x)在0，)上至多有兩個零點所以方程f(x)g(x)的根的個數(shù)為2.3已知函數(shù)f(x)aexx2bx(a，bR)(1)設(shè)a1，若函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，求b的取值范圍；(2)設(shè)b0，若函數(shù)f(x)在R上有且只有一個零點，求a的取值范圍解：(1)當a1時，f(x)exx2bx，f(x)ex2xb，由題意知，f(x)ex2xb0對xR恒成立由ex2xb0，得bex2x.令F(x)ex2x，則F(x)ex2，由F(x)0，得xln 2.當xln 2時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，當xln 2時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，從而當xln 2時，F(xiàn)(x)取得最大值2ln 22，b2ln 22，故b的取值范圍為2ln 22，)(2)當b0時，f(x)aexx2.由題意知aexx20只有一個解由aexx20，得a，令G(x)，則G(x)，由G(x)0，得x0或x2.當x0時，G(x)0，G(x)單調(diào)遞減，故G(x)的取值范圍為0，)；當0x2時，G(x)0，G(x)單調(diào)遞增，故G(x)的取值范圍為；當x2時，G(x)0，G(x)單調(diào)遞減，故G(x)的取值范圍為.由題意得，a0或a，從而a0或a，故若函數(shù)f(x)在R上只有一個零點，則a的取值范圍為04已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1x2<2.解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)設(shè)a0，則f(x)(x2)ex，f(x)只有一個零點設(shè)a>0，則當x(，1)時，f(x)<0；當x(1，)時，f(x)>0，所以f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b<0且b<ln ，則f(b)>(b2)a(b1)2a>0，故f(x)存在兩個零點設(shè)a<0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，則ln(2a)1，故當x(1，)時，f(x)>0，因此f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又當x1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點若a<，則ln(2a)>1，故當x(1，ln(2a)時，f(x)<0；當x(ln(2a)，)時，f(x)>0.因此f(x)在(1，ln(2a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)內(nèi)單調(diào)遞增又當x1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點綜上，a的取值范圍為(0，)(2)證明：不妨設(shè)x1<x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，又f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x1x2<2等價于f(x1)>f(2x2)，即f(2x2)<0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2a(x21)20，所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.設(shè)g(x)xe2x(x2)ex，則g(x)(x1)(e2xex)所以當x>1時，g(x)<0，而g(1)0，故當x>1時，g(x)<0.從而g(x2)f(2x2)<0，故x1x2<2.5(2019·南通學科基地卷)設(shè)kR，函數(shù)f(x)ln xx2kx1.(1)k1時，求不等式f(x)1的解集；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)解：(1)k1時，不等式f(x)1，即ln xx2x0.設(shè)g(x)ln xx2x，因為g(x)2x10在定義域(0，)上恒成立，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又g(1)0，所以f(x)1的解集為(1，)(2)f(x)2xk(x0)，由f(x)0得2x2kx10.(*)當k280，即2k2時，(*)在R上恒成立，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)當k2 時，k280，此時方程2x2kx10的相異實根分別為x1，x2，因為所以0x1x2，所以f(x)0的解集為，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.當k2 時，同理可得：x1x20，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)綜上所述，當k2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；當k2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)(3)由(2)知，當k2時，函數(shù)f(x)在定義域(0，)上單調(diào)遞增，令得x，取mmax，則當x>m時，f(x)x2kx10.設(shè)0x1，x2kx1max1，k，所以f(x)ln x，當0xe時，f(x)0，取nmin1，e，則當x(0，n)時，f(x)0，又函數(shù)f(x)在定義域(0，)上連續(xù)不間斷，所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點當k2時，f(x)在(0，x1)和(x2，)上遞增，在(x1，x2)上遞減，其中2xkx110,2xkx210，則f(x1)ln x1xkx11ln x1x(2x1)1ln x1x2.下面先證明ln xx(x0)：設(shè)h(x)ln x x，由h(x)>0得0x1，所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1，)上遞減，h(x)maxh(1)10，所以h(x)0(x0)，即ln xx(x0)因此，f(x1)x1x220，又因為f(x)在(x1，x2)上遞減，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x)在區(qū)間(0，x2)不存在零點由知，當xm時，f(x)0，f(x)的圖象連續(xù)不間斷，所以f(x)在區(qū)間(x2，)上有且僅有一個零點綜上所述，函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點- 6 -