《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 第12講 圓錐曲線中探索性問題及創(chuàng)新型問題練習(xí)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 第12講 圓錐曲線中探索性問題及創(chuàng)新型問題練習(xí)(5頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第12講 圓錐曲線中探索性問題及創(chuàng)新型問題1已知橢圓C:1(ab0)的長軸是短軸的兩倍,點(diǎn)A在橢圓C上不過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)直線OA,l,OB的斜率分別為k1,k,k2,且k1,k,k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列(1)求橢圓C的方程(2)試判斷OA2OB2是否為定值?若是,求出這個值;若不是,請說明理由解:(1)由題意知a2b且1,所以a24,b21,所以橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)直線l的方程為ykxm,m0,A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立整理得(14k2)x28kmx4m240,所以x1x2,x1x2,且16(14k2m2)0.因?yàn)閗1,k,k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列,所以
2、k2k1k2,即k2k2,所以4k2m2m20,因?yàn)閙0,所以k2,解得k,此時(shí)16(2m2)0,即m(,),所以又OA2OB2xyxy(xx)2(x1x2)22x1x225,所以O(shè)A2OB2是定值,且為5.2(2019全國卷)已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱,|AB|4,M過點(diǎn)A,B且與直線x20相切(1)若A在直線xy0上,求M的半徑(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動時(shí),|MA|MP|為定值?并說明理由解:(1)因?yàn)镸過點(diǎn)A,B,所以圓心M在AB的垂直平分線上由已知A在直線xy0上,且A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱,所以M在直線yx上,故可設(shè)M(a,a)因?yàn)镸與直線x20相切,所以M的半徑為r|a
3、2|.由已知得|AO|2.又MOAO,故可得2a24(a2)2,解得a0或a4.故M的半徑r2或r6.(2)存在定點(diǎn)P(1,0),使得|MA|MP|為定值理由如下:設(shè)M(x,y),由已知得M的半徑為r|x2|,|AO|2.由于MOAO,故可得x2y24(x2)2,化簡得M的軌跡方程為y24x.因?yàn)榍€C:y24x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn),以直線x1為準(zhǔn)線的拋物線,所以|MP|x1.因?yàn)閨MA|MP|r|MP|x2(x1)1,所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.3.如圖,已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P(2,3)是橢圓C上一點(diǎn),且PF1x軸(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)圓M:(x
4、m)2y2r2(r0)設(shè)圓M與線段PF2交于A,B兩點(diǎn),若,且AB2,求r的值;設(shè)m2,過點(diǎn)P作圓M的兩條切線分別交橢圓C于G,H兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)P)試問:是否存在這樣的正數(shù)r,使得G,H兩點(diǎn)恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱?若存在,求出r的值;若不存在,請說明理由解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(2,3)是橢圓C上一點(diǎn),且PF1x軸,所以橢圓的半焦距c2,由1,得y,所以3,化簡得a23a40,解得a4,所以b212,所以橢圓C的方程為1.(2)因?yàn)椋?,?所以線段PF2與線段AB的中點(diǎn)重合(記為點(diǎn)Q),由(1)知Q.因?yàn)閳AM與線段PF2交于A,B兩點(diǎn),所以kMQkABkMQkPF21,即1,解得m,所以MQ ,
5、又AB2,所以r .假設(shè)存在正數(shù)r滿足題意由G,H兩點(diǎn)恰好關(guān)于原點(diǎn)對稱,設(shè)G(x0,y0),則H(x0,y0),不妨設(shè)x00.因?yàn)镻(2,3),m2,所以兩條切線的斜率均存在,設(shè)過點(diǎn)P與圓M相切的直線的斜率為k,則切線方程為y3k(x2),即kxy2k30,由該直線與圓M相切,得r,即k ,所以兩條切線的斜率互為相反數(shù),即kPGkPH,所以,化簡得x0y06,即y0,代入1,化簡得x16x480,解得x02(舍去)或x02,所以y0,所以G(2,),H(2,),所以kPG,所以r.故存在滿足條件的正數(shù)r,且r.4.如圖,點(diǎn)T為圓O:x2y21上一動點(diǎn),過點(diǎn)T分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為A
6、,B,連結(jié)BA并延長至點(diǎn)P,使得,點(diǎn)P的軌跡記為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)若點(diǎn)A,B分別位于x軸與y軸的正半軸上,直線AB與曲線C相交于M,N兩點(diǎn),試問:在曲線C上是否存在點(diǎn)Q,使得四邊形OMQN為平行四邊形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由解: (1)設(shè)P(x,y),T(x0,y0),則A(x0,0),B(0,y0),由題意知,所以A為PB中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得即 又因?yàn)辄c(diǎn)T在圓O:x2y21上,所以xy1, 從而y21.故曲線C的方程為y21.(2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)Q,由題意知直線l的斜率存在且不為零,設(shè)直線l的方程為ykxt,因?yàn)锳BOT1,故2t21,即t21,聯(lián)立消去y,得(4k21)x28ktx4(t21)0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2,x1x2,y1y2k(x1x2)2tk2t, 因?yàn)镺MQN為平行四邊形,故Q,因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上,所以21,整理得4t24k21,將代入,得4k4k210,該方程無解,故不存在滿足題意的點(diǎn)Q.- 5 -