（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 第12講 圓錐曲線中探索性問題及創(chuàng)新型問題練習(xí)

第12講 圓錐曲線中探索性問題及創(chuàng)新型問題1已知橢圓C：1(a>b>0)的長(zhǎng)軸是短軸的兩倍，點(diǎn)A在橢圓C上不過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA，l，OB的斜率分別為k1，k，k2，且k1，k，k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列(1)求橢圓C的方程(2)試判斷OA2OB2是否為定值？若是，求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)由題意知a2b且1，所以a24，b21，所以橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)直線l的方程為ykxm，m0，A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立整理得(14k2)x28kmx4m240，所以x1x2，x1·x2，且16(14k2m2)>0.因?yàn)閗1，k，k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列，所以k2k1k2，即k2k2，所以4k2m2m20，因?yàn)閙0，所以k2，解得k±，此時(shí)16(2m2)>0，即m(，)，所以又OA2OB2xyxy(xx)2(x1x2)22x1x225，所以O(shè)A2OB2是定值，且為5.2(2019·全國(guó)卷)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|4，M過點(diǎn)A，B且與直線x20相切(1)若A在直線xy0上，求M的半徑(2)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|MP|為定值？并說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)镸過點(diǎn)A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上由已知A在直線xy0上，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以M在直線yx上，故可設(shè)M(a，a)因?yàn)镸與直線x20相切，所以M的半徑為r|a2|.由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半徑r2或r6.(2)存在定點(diǎn)P(1,0)，使得|MA|MP|為定值理由如下：設(shè)M(x，y)，由已知得M的半徑為r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為y24x.因?yàn)榍€C：y24x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn)，以直線x1為準(zhǔn)線的拋物線，所以|MP|x1.因?yàn)閨MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.3.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(2,3)是橢圓C上一點(diǎn)，且PF1x軸(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)圓M：(xm)2y2r2(r>0)設(shè)圓M與線段PF2交于A，B兩點(diǎn)，若，且AB2，求r的值；設(shè)m2，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線分別交橢圓C于G，H兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)P)試問：是否存在這樣的正數(shù)r，使得G，H兩點(diǎn)恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱？若存在，求出r的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(2,3)是橢圓C上一點(diǎn)，且PF1x軸，所以橢圓的半焦距c2，由1，得y±，所以3，化簡(jiǎn)得a23a40，解得a4，所以b212，所以橢圓C的方程為1.(2)因?yàn)?，所以，?所以線段PF2與線段AB的中點(diǎn)重合(記為點(diǎn)Q)，由(1)知Q.因?yàn)閳AM與線段PF2交于A，B兩點(diǎn)，所以kMQ·kABkMQ·kPF21，即·1，解得m，所以MQ ，又AB2，所以r .假設(shè)存在正數(shù)r滿足題意由G，H兩點(diǎn)恰好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)G(x0，y0)，則H(x0，y0)，不妨設(shè)x0<0.因?yàn)镻(2,3)，m2，所以兩條切線的斜率均存在，設(shè)過點(diǎn)P與圓M相切的直線的斜率為k，則切線方程為y3k(x2)，即kxy2k30，由該直線與圓M相切，得r，即k± ，所以兩條切線的斜率互為相反數(shù)，即kPGkPH，所以，化簡(jiǎn)得x0y06，即y0，代入1，化簡(jiǎn)得x16x480，解得x02(舍去)或x02，所以y0，所以G(2，)，H(2，)，所以kPG，所以r.故存在滿足條件的正數(shù)r，且r.4.如圖，點(diǎn)T為圓O：x2y21上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)T分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，B，連結(jié)BA并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使得，點(diǎn)P的軌跡記為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)若點(diǎn)A，B分別位于x軸與y軸的正半軸上，直線AB與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，試問：在曲線C上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形OMQN為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解： (1)設(shè)P(x，y)，T(x0，y0)，則A(x0,0)，B(0，y0)，由題意知，所以A為PB中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得即 又因?yàn)辄c(diǎn)T在圓O：x2y21上，所以xy1, 從而y21.故曲線C的方程為y21.(2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)Q，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設(shè)直線l的方程為ykxt，因?yàn)锳BOT1，故2t21，即t21，聯(lián)立消去y，得(4k21)x28ktx4(t21)0, 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2tk2t， 因?yàn)镺MQN為平行四邊形，故Q，因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以21，整理得4t24k21，將代入，得4k4k210，該方程無(wú)解，故不存在滿足題意的點(diǎn)Q.- 5 -