《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 第10講 圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問(wèn)題練習(xí)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 第10講 圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問(wèn)題練習(xí)(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第10講 圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問(wèn)題1.已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,且過(guò)點(diǎn)P(2,1)(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q在橢圓C上,且PQ與x軸平行,過(guò)點(diǎn)P作兩條直線分別交橢圓C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),若直線PQ平分APB,求證:直線AB的斜率是定值,并求出這個(gè)定值解:(1)由e,得a2b,所以橢圓C的方程為1.把P(2,1)的坐標(biāo)代入,得b22,所以橢圓C的方程是1.(2)證明:由已知得PA,PB的斜率存在,且互為相反數(shù)設(shè)直線PA的方程為y1k(x2),其中k0.由消去y,得x24kx(2k1)28,即(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)280.因?yàn)樵摲匠痰膬?/p>
2、根為2,xA,所以2xA,即xA.從而yA.把k換成k,得xB,yB.計(jì)算,得kAB,是定值2已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為M,MF1F2為等腰直角三角形,且其面積為1.(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA,MB交橢圓C于A,B兩點(diǎn),設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1,k2,且k1k22,證明:直線AB過(guò)定點(diǎn)解:(1)由題意得a21,a,又bc,a2b2c2,b1,橢圓C的方程為y21.(2)證明:由(1)得M(0,1)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),設(shè)A(x0,y0),則B(x0,y0),由k1k22得2,得x01.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y
3、kxm(m1),A(x1,y1),B(x2,y2)由可得(12k2)x24kmx2m220,則8(2k2m21)0,x1x2,x1x2.由k1k22,得2,即2,(22k)x1x2(m1)(x1x2),(22k)(2m22)(m1)(4km),由m1,得(1k)(m1)km,mk1,即ykxmkxk1k(x1)1,故直線AB過(guò)定點(diǎn)(1,1),經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k0或kb0),C2與C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比為1,離心率相同(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C2上的一點(diǎn)射線PO與橢圓C1依次交于點(diǎn)A,B,求證:為定值;過(guò)點(diǎn)P作兩條斜率分別為k1,k2的直線l1,l2,且直線l1,l2與橢圓C1均有且只
4、有一個(gè)公共點(diǎn),求證k1k2為定值解:(1)設(shè)橢圓C2的焦距為2c,由題意,a2,a2b2c2,解得b,因此橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明:當(dāng)直線OP斜率不存在時(shí),PA1,PB1,則32.當(dāng)直線OP斜率存在時(shí),設(shè)直線OP的方程為ykx,代入橢圓C1的方程,消去y,得(4k21)x24,所以x,同理x.所以x2x,由題意,xP與xA同號(hào),所以xPxA,從而32.所以32為定值設(shè)P(x0,y0),所以直線l1的方程為yy0k1(xx0),即yk1xk1x0y0,記tk1x0y0,則l1的方程為yk1xt,代入橢圓C1的方程,消去y,得(4k1)x28k1tx4t240,因?yàn)橹本€l1與橢圓C1有且
5、只有一個(gè)公共點(diǎn),所以(8k1t)24(4k1)(4t24)0,即4kt210,將tk1x0y0代入上式,整理得,(x4)k2x0y0k1y10,同理可得,(x4)k2x0y0k2y10,所以k1,k2為關(guān)于k的方程(x4)k22x0y0ky10的兩根,從而k1k2.又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C2:1上,所以y2x,所以k1k2為定值4在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:1(ab0)上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4,橢圓C的離心率為,A為橢圓C的左頂點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)圓M:x2(y2)2r2(0r2)當(dāng)r1時(shí),過(guò)點(diǎn)A作直線l與圓M相交于P,Q兩點(diǎn),且PQ,求直線l的方程;當(dāng)r變化時(shí),
6、過(guò)點(diǎn)A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于點(diǎn)B和點(diǎn)D,證明直線BD恒過(guò)定點(diǎn)解:(1)由題意,得解得所以b2a2c21.所以橢圓C的方程為y21.(2)由題意知,A(2,0)當(dāng)r1時(shí),圓M:x2(y2)21,易知直線l的斜率存在且不等于0,設(shè)直線l:ykl(x2)(kl0),則圓心M到直線l的距離d,PQ22,化簡(jiǎn)得2k5kl20,解得kl2或kl.所以直線l的方程為y2x4或yx1.證明:由題意可設(shè)過(guò)點(diǎn)A的圓M的切線方程為yk(x2)(k0),則圓心M到切線的距離為r,得(4r2)k28k4r20,設(shè)切線AB,AD的斜率分別為k1,k2,則k1,2,k1k21.由得(14k2)x216k2x16
7、k240,解得x或x2.設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),則x1,y1,x2,y2,則kBD.所以直線BD的方程為y,化簡(jiǎn)得y,所以直線BD恒過(guò)定點(diǎn).5已知橢圓:1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),且右焦點(diǎn)F(,0)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)N(1,0)且斜率存在的直線AB交橢圓于A,B兩點(diǎn),記tMM,若t的最大值和最小值分別為t1,t2,證明t1t2為定值解:(1)由橢圓1的右焦點(diǎn)為(,0),知a2b23,即b2a23,則1,a23.又橢圓過(guò)點(diǎn)M(2,1),1,a23,a26.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明:設(shè)直線AB的方程為yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(12k2)x24k2x2k260,點(diǎn)N(1,0)在橢圓內(nèi)部,0,則tMM(x12)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1)(1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)k22k5,將代入得,t(1k2)(2k2k)k22k5,t,(152t)k22k1t0,kR,則1224(152t)(1t)0,(2t15)(t1)10,即2t213t160,由題意知t1,t2是2t213t160的兩根,t1t2.t1t2為定值- 6 -