（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 第10講 圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問題練習(xí)

第10講 圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問題1.已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且過點(diǎn)P(2，1)(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在橢圓C上，且PQ與x軸平行，過點(diǎn)P作兩條直線分別交橢圓C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若直線PQ平分APB，求證：直線AB的斜率是定值，并求出這個(gè)定值解：(1)由e，得a2b，所以橢圓C的方程為1.把P(2，1)的坐標(biāo)代入，得b22，所以橢圓C的方程是1.(2)證明：由已知得PA，PB的斜率存在，且互為相反數(shù)設(shè)直線PA的方程為y1k(x2)，其中k0.由消去y，得x24kx(2k1)28，即(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)280.因?yàn)樵摲匠痰膬筛鶠?，xA，所以2xA，即xA.從而yA.把k換成k，得xB，yB.計(jì)算，得kAB，是定值2已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為M，MF1F2為等腰直角三角形，且其面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1，k2，且k1k22，證明：直線AB過定點(diǎn)解：(1)由題意得a21，a，又bc，a2b2c2，b1，橢圓C的方程為y21.(2)證明：由(1)得M(0,1)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)A(x0，y0)，則B(x0，y0)，由k1k22得2，得x01.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得(12k2)x24kmx2m220，則8(2k2m21)>0，x1x2，x1·x2.由k1k22，得2，即2，(22k)x1x2(m1)(x1x2)，(22k)(2m22)(m1)(4km)，由m1，得(1k)(m1)km，mk1，即ykxmkxk1k(x1)1，故直線AB過定點(diǎn)(1，1)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k>0或k<2時(shí)，直線AB與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意綜上所述，直線AB過定點(diǎn)(1，1)3如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：y21，橢圓C2：1(a>b>0)，C2與C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比為1，離心率相同(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C2上的一點(diǎn)射線PO與橢圓C1依次交于點(diǎn)A，B，求證：為定值；過點(diǎn)P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且直線l1，l2與橢圓C1均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證k1·k2為定值解：(1)設(shè)橢圓C2的焦距為2c，由題意，a2，a2b2c2，解得b，因此橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：當(dāng)直線OP斜率不存在時(shí)，PA1，PB1，則32.當(dāng)直線OP斜率存在時(shí)，設(shè)直線OP的方程為ykx，代入橢圓C1的方程，消去y，得(4k21)x24，所以x，同理x.所以x2x，由題意，xP與xA同號(hào)，所以xPxA，從而32.所以32為定值設(shè)P(x0，y0)，所以直線l1的方程為yy0k1(xx0)，即yk1xk1x0y0，記tk1x0y0，則l1的方程為yk1xt，代入橢圓C1的方程，消去y，得(4k1)x28k1tx4t240，因?yàn)橹本€l1與橢圓C1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以(8k1t)24(4k1)(4t24)0，即4kt210，將tk1x0y0代入上式，整理得，(x4)k2x0y0k1y10，同理可得，(x4)k2x0y0k2y10，所以k1，k2為關(guān)于k的方程(x4)k22x0y0ky10的兩根，從而k1·k2.又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓C2：1上，所以y2x，所以k1·k2為定值4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，橢圓C的離心率為，A為橢圓C的左頂點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)圓M：x2(y2)2r2(0r2)當(dāng)r1時(shí)，過點(diǎn)A作直線l與圓M相交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ，求直線l的方程；當(dāng)r變化時(shí)，過點(diǎn)A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于點(diǎn)B和點(diǎn)D，證明直線BD恒過定點(diǎn)解：(1)由題意，得解得所以b2a2c21.所以橢圓C的方程為y21.(2)由題意知，A(2,0)當(dāng)r1時(shí)，圓M：x2(y2)21，易知直線l的斜率存在且不等于0，設(shè)直線l：ykl(x2)(kl0)，則圓心M到直線l的距離d，PQ22，化簡(jiǎn)得2k5kl20，解得kl2或kl.所以直線l的方程為y2x4或yx1.證明：由題意可設(shè)過點(diǎn)A的圓M的切線方程為yk(x2)(k0)，則圓心M到切線的距離為r，得(4r2)k28k4r20，設(shè)切線AB，AD的斜率分別為k1，k2，則k1,2，k1k21.由得(14k2)x216k2x16k240，解得x或x2.設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1，y1，x2，y2，則kBD.所以直線BD的方程為y，化簡(jiǎn)得y，所以直線BD恒過定點(diǎn).5已知橢圓：1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)，且右焦點(diǎn)F(，0)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過N(1,0)且斜率存在的直線AB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，記tM·M，若t的最大值和最小值分別為t1，t2，證明t1t2為定值解：(1)由橢圓1的右焦點(diǎn)為(，0)，知a2b23，即b2a23，則1，a2>3.又橢圓過點(diǎn)M(2,1)，1，a2>3，a26.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(12k2)x24k2x2k260，點(diǎn)N(1,0)在橢圓內(nèi)部，>0，則tM·M(x12)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1)(1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)k22k5，將代入得，t(1k2)·(2k2k)·k22k5，t，(152t)k22k1t0，kR，則1224(152t)(1t)0，(2t15)(t1)10，即2t213t160，由題意知t1，t2是2t213t160的兩根，t1t2.t1t2為定值- 6 -