《復(fù)變函數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題及答案詳解.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《復(fù)變函數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題及答案詳解.doc（35頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、復(fù)變函數(shù)考試試題（一）1、 _.（為自然數(shù)）2. _.3.函數(shù)的周期為_.4.設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有_.5.冪級數(shù)的收斂半徑為_.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是_.7.若，則_.8._，其中n為自然數(shù).9. 的孤立奇點(diǎn)為_ .10.若是的極點(diǎn)，則.三.計(jì)算題（40分）：1. 設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式.2. 3. 設(shè)，其中，試求4. 求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.四. 證明題.(20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 試證: 在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支, 并求出支割線上岸取正值的那支在的值.復(fù)變函數(shù)考試試題（二）二. 填空題. (20分)1.
2、 設(shè)，則2.設(shè)，則_.3. _.（為自然數(shù)） 4. 冪級數(shù)的收斂半徑為_ .5. 若z0是f(z)的m階零點(diǎn)且m0，則z0是的_零點(diǎn).6. 函數(shù)ez的周期為_. 7. 方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為_.8. 設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有_.9. 函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為_.10. .三. 計(jì)算題. (40分)1. 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2. 在復(fù)平面上取上半虛軸作割線. 試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實(shí)軸取正實(shí)值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn)處的值.3. 計(jì)算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4. 求 .四. 證明題. (20分)1. 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D
3、內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.復(fù)變函數(shù)考試試題（三）二. 填空題. (20分)1. 設(shè)，則f(z)的定義域?yàn)開.2. 函數(shù)ez的周期為_.3. 若，則_.4. _.5. _.（為自然數(shù)）6. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.7. 設(shè)，則f(z)的孤立奇點(diǎn)有_.8. 設(shè)，則.9. 若是的極點(diǎn)，則.10. .三. 計(jì)算題. (40分)1. 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù).2. 試求冪級數(shù)的收斂半徑.3. 算下列積分：，其中是. 4. 求在|z|1內(nèi)根的個數(shù).四. 證明題. (20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 設(shè)是一整
4、函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個正數(shù)R及M，使得當(dāng)時(shí)，證明是一個至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù)。復(fù)變函數(shù)考試試題（四）二. 填空題. (20分)1. 設(shè)，則.2. 若，則_.3. 函數(shù)ez的周期為_.4. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_5. 若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是_.6. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_.7. 設(shè)，則.8. 的孤立奇點(diǎn)為_.9. 若是的極點(diǎn)，則.10. _.三. 計(jì)算題. (40分)1. 解方程.2. 設(shè)，求3. . 4. 函數(shù)有哪些奇點(diǎn)？各屬何類型（若是極點(diǎn)，指明它的階數(shù)）.四. 證明題. (20分)1. 證明：若函數(shù)在上
5、半平面解析，則函數(shù)在下半平面解析.2. 證明方程在內(nèi)僅有3個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（五）二. 填空題.（20分）1. 設(shè)，則.2. 當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù).3. 設(shè)，則.4. 的周期為_.5. 設(shè)，則.6. .7. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_。8. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_.9. 的孤立奇點(diǎn)為_.10. 設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，則.（為自然數(shù)）三. 計(jì)算題. (40分)1. 求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.2. 計(jì)算積分：，在這里L(fēng)表示連接原點(diǎn)到的直線段.3. 求積分：，其中0a1.4. 應(yīng)用儒歇定理求方程，在|z|1內(nèi)根的個數(shù)，在這里在上解析，并且.四. 證明題. (
6、20分)1. 證明函數(shù)除去在外，處處不可微.2. 設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個數(shù)R及M，使得當(dāng)時(shí)，證明:是一個至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù).復(fù)變函數(shù)考試試題（六）1.一、 填空題（20分）1. 若，則_.2. 設(shè)，則的定義域?yàn)開.3. 函數(shù)的周期為_.4. _.5. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.6. 若是的階零點(diǎn)且，則是的_零點(diǎn).7. 若函數(shù)在整個復(fù)平面處處解析，則稱它是_.8. 函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為_.9. 方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為_.10. 公式稱為_.二、 計(jì)算題（30分）1、.2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.6、求的值.三
7、、 證明題（20分）1、 方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).3、 若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).計(jì)算下列積分（分）(1) ； (2) 計(jì)算積分（分）求下列冪級數(shù)的收斂半徑（分）(1)；(2)設(shè)為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定，的值（分）三、證明題設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必為常數(shù)（分）試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)（分）試卷一至十四參考答案復(fù)變函數(shù)考試試題（一）參考答案二填空題1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 16. 整函數(shù)； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .三計(jì)算題.1. 解 因?yàn)?所以 .2.
8、解 因?yàn)?,.所以.3. 解 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有在內(nèi), . 所以.4. 解 令, 則 . 故 , .四. 證明題.1. 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù), 得 因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) 若, 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明的支點(diǎn)為. 于是割去線段的平面內(nèi)變點(diǎn)就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周, 故能分出兩個單值解析分支. 由于當(dāng)從支割線上岸一點(diǎn)出發(fā),連續(xù)變動到 時(shí), 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割線上岸取正值, 于是可認(rèn)
9、為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故.復(fù)變函數(shù)考試試題（二）參考答案二. 填空題1.1， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 計(jì)算題1. 解 .2. 解 令. 則. 又因?yàn)樵谡龑?shí)軸去正實(shí)值，所以. 所以.3. 單位圓的右半圓周為, . 所以.4. 解=0.四. 證明題.1. 證明 (必要性) 令,則. (為實(shí)常數(shù)). 令. 則. 即滿足, 且連續(xù), 故在內(nèi)解析.(充分性) 令, 則 , 因?yàn)榕c在內(nèi)解析, 所以, 且.比較等式兩邊得 . 從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2. 即要證“任一 次方程 有且只有 個
10、根”. 證明 令, 取, 當(dāng)在上時(shí), 有 . .由儒歇定理知在圓 內(nèi), 方程 與 有相同個數(shù)的根. 而 在 內(nèi)有一個 重根 . 因此次方程在 內(nèi)有 個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（三）參考答案二.填空題.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .三. 計(jì)算題.1. 解 .2. 解 . 所以收斂半徑為.3. 解 令 , 則 .故原式.4. 解 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 內(nèi), 方程只有一個根.四. 證明題.1. 證明 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù), 得 因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述
11、方程組變?yōu)? 消去得, .1) , 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時(shí), . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項(xiàng)式或常數(shù). 復(fù)變函數(shù)考試試題（四）參考答案.二. 填空題.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函數(shù);6. 亞純函數(shù); 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 計(jì)算題.1. 2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =，令，得，而 為可去奇點(diǎn) 當(dāng)時(shí)， 而 為一階極點(diǎn).四. 證明題.1. 證明 設(shè), 在下半平面內(nèi)任取一點(diǎn), 是下半平面
12、內(nèi)異于的點(diǎn), 考慮 .而, 在上半平面內(nèi), 已知在上半平面解析, 因此, 從而在下半平面內(nèi)解析.2. 證明 令, , 則與在全平面解析, 且在上, ,故在內(nèi).在上, , 故在內(nèi).所以在內(nèi)僅有三個零點(diǎn), 即原方程在內(nèi)僅有三個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（五）參考答案一. 判斷題.1 6 10.二. 填空題.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亞純函數(shù); 8. ; 9. 0; 10. . 三. 計(jì)算題.1. 解 令, 則 . 故 , .2. 解 連接原點(diǎn)及的直線段的參數(shù)方程為 , 故.3. 令, 則. 當(dāng)時(shí), 故, 且在圓內(nèi)只以為一級極點(diǎn), 在上無奇點(diǎn), 故,
13、 由殘數(shù)定理有.4. 解 令 則在內(nèi)解析, 且在上, , 所以在內(nèi), , 即原方程在 內(nèi)只有一個根.四. 證明題.1. 證明 因?yàn)? 故. 這四個偏導(dǎo)數(shù)在平面上處處連續(xù), 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.2. 證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時(shí), . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項(xiàng)式或常數(shù).復(fù)變函數(shù)考試試題（六）參考答案二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 歐拉公式 三、計(jì)算題：1. 解：因?yàn)?故.2. 解： 因此 故 .3.解： 4.解： 5解：設(shè), 則. 6解：四、1. 證明：設(shè)則在上， 即有.
14、根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點(diǎn)，而的零點(diǎn)個數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6. 2.證明：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù). 3.證明：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).復(fù)變函數(shù)模擬考試試題復(fù)變函數(shù)考試試題（一）一、 判斷題（4x10=40分）：1、若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)。（ ）2、有界整函數(shù)必在整個復(fù)平面為常數(shù)。（ ）3、若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù)。( )4、cos z與sin z在復(fù)平面內(nèi)有界。（ ）5
15、、若z0是的m階零點(diǎn)，則z0是1/的m階極點(diǎn)。（ ）6、若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件，則f(z)在z0解析。（ ）7、若存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點(diǎn)。（ ）8、若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。（ ）9、若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。（ ）10、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。（ ）二、填空題（4x5=20分）1、若是單位圓周，n是自然數(shù)，則_。2、設(shè)，則_。3、設(shè)，則f(z)的定義域?yàn)開。4、的收斂半徑為_。5、_。三、計(jì)算題（8x5=40分）：1、設(shè)，求在內(nèi)的羅朗
16、展式。2、求。3、求函數(shù)的冪級數(shù)展開式。4、求在內(nèi)的羅朗展式。5、求，在|z|1內(nèi)根的個數(shù)。復(fù)變函數(shù)考試試題（二） 一、判斷題（4x10=40分）：1、若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù)。（ ）2、有界整函數(shù)必為常數(shù)。（ ）3、若收斂，則與都收斂。( )4、若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，則（常數(shù)）。（ ）5、若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù)。（ ）6、若f(z)在z0解析，則f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件。（ ）7、若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析。（ ）8、若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析。（ ）9、若冪級數(shù)
17、的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析。（ ）10、cos z與sin z的周期均為。（ ）二、填空題（4x5=20分）1、_。2、設(shè)，則f(z)的孤立奇點(diǎn)有_。3、若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是_。4、 _。5、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_。三、計(jì)算題（8x5=40分）：1、2、求3、4、求在內(nèi)的羅朗展式。5、求在|z|0，則z0是的_零點(diǎn)。7、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)_。、8、函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為_。9、_，其中n為自然數(shù)。10、公式稱為_.三、計(jì)算題（8x5=40分）：1、設(shè)，其中，試求2、
18、求。3、設(shè)，求4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。6、求四、證明題（6+7+7=20分）：1、設(shè)是函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)且，試證：。2、若整函數(shù)f(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部且，則。3、證明方程在內(nèi)僅有3個根。復(fù)變函數(shù)考試試題（四） 一、判斷題（3x10=30分）：1、若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)。（ ）2、如果z0是f(z)的本性奇點(diǎn)，則一定不存在。（ ）3、若存在且有限，則z0是f(z)的可去奇點(diǎn)。( )4、若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)解析。（ ）5、若數(shù)列收斂，則與都收斂。（ ）6、若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析
19、。（ ）7、若冪級數(shù)的收斂半徑大于0，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析。（ ）8、存在整函數(shù)f(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部。（ ）9、若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，且在D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。（ ）10、。（ ）二、填空題（2x10=20分）1、函數(shù)ez的周期為_。2、冪級數(shù)的和函數(shù)為_。3、函數(shù)ez的周期為_。4、設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有_。的收斂半徑為_。5、冪級數(shù)的和函數(shù)為_。6、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_。7、若，則_。8、_，其中n為自然數(shù)。9、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為_。10、函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_。三、計(jì)算
20、題（5x6=30分）：1、2、求3、4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。5、求方程在單位圓內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)。6、求。四、證明題（6+7+7=20分）1、設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析。2、如果函數(shù)在上解析，且，則。3、設(shè)方程 證明：在開單位圓內(nèi)根的個數(shù)為5。復(fù)變函數(shù)考試試題（五）一、判斷題（3x10=30分）：1、若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù)。（ ）2、若函數(shù)f(z)在z0處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在z0解析。（ ）3、若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0處滿足Cauchy-Riemann條件。( )4、若函數(shù)f
21、(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則。（ ）5、若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。（ ）6、若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。（ ）7、若，則函數(shù)f(z)在是D內(nèi)的單葉函數(shù)。（ ）8、若z0是f(z)的m階零點(diǎn)，則z0是1/ f(z)的m階極點(diǎn)。（ ）9、如果函數(shù)f(z)在上解析，且，則。（ ）10、。（ ）二、填空題（2x10=20分）1、若，則_。2、設(shè)，則的定義域?yàn)開。3、函數(shù)sin z的周期為_。4、_。5、冪級數(shù)的收斂半徑為_。6、若z0是f(z)的m階零點(diǎn)且m1，則z0是的_零點(diǎn)。7、若函數(shù)f(z)在整個復(fù)平面處處解析，則稱它是_。8、
22、函數(shù)f(z)=|z|的不解析點(diǎn)之集為_。9、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為_。10、公式稱為_。三、計(jì)算題（5x6=30分）：1、2、設(shè)，其中，試求3、設(shè)，求4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。6、求的值。四、證明題（6+7+7=20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6。2、若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在D內(nèi)恒等于常數(shù)。3、若z0是的m階零點(diǎn)，則z0是1/的m階極點(diǎn)。復(fù)變函數(shù)考試試題（六）一、判斷題（3x8=24分）1、若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)。（ ）2、若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0滿足Cauchy-Riemann條件。（ ）3
23、、如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn)，則一定存在且等于零。( )4、若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則。（ ）5、若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。（ ）6、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。（ ）7、若z0是f(z)的m階零點(diǎn)，則z0是1/ f(z)的m階極點(diǎn)。（ ）8、。（ ）二、填空題（2x10=20分）1、若，則_。2、設(shè)，則的定義域?yàn)開。3、函數(shù)的周期為_。4、_。5、冪級數(shù)的收斂半徑為_。6、若z0是f(z)的m階零點(diǎn)且m1，則z0是的_零點(diǎn)。7、若函數(shù)f(z)在整個復(fù)平面處處解析，則稱它是_。8、函數(shù)f(z)
24、=|z|的不解析點(diǎn)之集為_。9、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為_。10、_。三、計(jì)算題（5x6=30分）1、求2、設(shè)，其中，試求3、設(shè)，求4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。6、利用留數(shù)定理計(jì)算積分：四、證明題（6+7+7=20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7。2、若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析， 等于常數(shù)，則在D內(nèi)恒等于常數(shù)。3、若z0是的m階零點(diǎn)，則z0是1/的m階極點(diǎn)。五、計(jì)算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將z平面上的上半單位圓盤保形映射為w平面的單位圓盤。復(fù)變函數(shù)考試試題（七）一、 判斷題（2x10=20分）1、若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析。（ ）2、若函數(shù)f(z
25、)在z0處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在z0解析。（ ）3、如果z0是f(z)的極點(diǎn)，則一定存在且等于無窮大。( )4、若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。（ ）5、若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù)。（ ）6、若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。（ ）7、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某一條曲線上恒為常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。（ ）8、若z0是f(z)的m階零點(diǎn)，則z0是1/ f(z)的m階極點(diǎn)。（ ）9、如果函數(shù)f(z)在上解析，且，則。（ ）10、。（ ）二、填空
26、題（2x10=20分）1、若，則_。2、設(shè)，則的定義域?yàn)開。3、函數(shù)sin z的周期為_。4、_。5、冪級數(shù)的收斂半徑為_。6、若z0是f(z)的m階零點(diǎn)且m1，則z0是的_零點(diǎn)。7、若函數(shù)f(z)在整個復(fù)平面除去有限個極點(diǎn)外，處處解析，則稱它是_。8、函數(shù) 的不解析點(diǎn)之集為_。9、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為_。10、_。三、計(jì)算題（5x6=30分）1、2、設(shè)，其中，試求3、設(shè)，求4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。6、利用留數(shù)定理計(jì)算積分。四、證明題（6+7+7=20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6。2、若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析， 等于常數(shù)，則在D內(nèi)恒等于常數(shù)。3、若z0是的m
27、階零點(diǎn)，則z0是1/的m階極點(diǎn)。五、計(jì)算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將z平面上的帶形區(qū)域保形映射為w平面的單位圓盤。復(fù)變函數(shù)考試試題（八）二、 判斷題（4x10=40分）：1、若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)。（ ）2、如果z0是f(z)的本性奇點(diǎn)，則一定不存在。（ ）3、若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù)。( )4、cos z與sin z在復(fù)平面內(nèi)有界。（ ）5、若z0是的m階零點(diǎn)，則z0是1/的m階極點(diǎn)。（ ）6、若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件，則f(z)在z0解析。（ ）7、若存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點(diǎn)。（ ）8、若f(z
28、)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。（ ）9、若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。（ ）10、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。（ ）二、填空題（4x5=20分）1、函數(shù)ez的周期為_。2、冪級數(shù)的和函數(shù)為_。3、設(shè)，則f(z)的定義域?yàn)開。4、的收斂半徑為_。5、_。三、計(jì)算題（8x5=40分）：1、2、求3、。4 設(shè)。求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（D為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）。5、求，在|z|1內(nèi)根的個數(shù)復(fù)變函數(shù)考試試題（九）一、判斷題。（正確者在括號內(nèi)打，錯誤者在括號內(nèi)打，25=10分）1當(dāng)復(fù)數(shù)時(shí)
29、，其模為零，輻角也為零。 （ ）2若是多項(xiàng)式（）的根，則也是 的根。 （ ）3如果函數(shù)為整函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)，使得，則為一常數(shù)。 （ ） 4設(shè)函數(shù)與在區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)的一小段弧上相等，則對任意的，有。 （ ） 5若 是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，則。 （ ）二、填空題（每題2分）1 。2設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，。3函數(shù)將平面上的曲線變成平面上的曲線。4方程的不同的根為。5。6級數(shù)的收斂半徑為。7在（n為正整數(shù)）內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)為。8函數(shù)的零點(diǎn)的階數(shù)為。9設(shè)為函數(shù)的一階極點(diǎn)，且，則。10設(shè)為函數(shù)的m階極點(diǎn)，則。三、計(jì)算題。（50分）1 設(shè)。求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（D為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）。（15分）2求下列函數(shù)
30、的奇點(diǎn)，并確定其類型（對于極點(diǎn)要指出它們的階）。（10分） （1） ； （5分） （2）。（5分）3計(jì)算下列積分。（15分） （1） （8分）， （2）（7分）。4敘述儒歇定理并討論方程在內(nèi)根的個數(shù)。（10分）四證明題。（20分）1設(shè)是上半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)，證明是下半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)。（10分）2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，令。證明：在區(qū)間上是一個上升函數(shù)，且若存在及（），使，則常數(shù)。（10分）復(fù)變函數(shù)試卷(十)一、填空題。(每題2分)1、 設(shè)，則。2、 設(shè)函數(shù)，則 的充要條件是。3、 設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分。4、 設(shè)為的極點(diǎn)，則。5、 設(shè)，則是的階零點(diǎn)。6、 設(shè)
31、，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為。7、 設(shè)，其中為正常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡曲線是。8、 設(shè)，則的三角表示式為。9、 。10、 設(shè)，則在處的留數(shù)為。 二、計(jì)算題。1、 計(jì)算下列各題。(9分)(1) ; (2) ; (3) 2、 求解方程。(7分)3、 設(shè)，驗(yàn)證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之。(8分)4、計(jì)算積分。(10分)(1) ，其中是沿由原點(diǎn)到點(diǎn)的曲線。(2) 。積分路徑為自原點(diǎn)沿虛軸到，再由沿水平方向向右到。5、 試將函數(shù)分別在圓環(huán)域和內(nèi)展開為洛朗級數(shù)。(8分)6、 計(jì)算下列積分。(8分) (1) ; (2) .7、 計(jì)算積分。(8分)8、求下列冪級數(shù)的收斂半徑。(6分)（1） （2）9、討論的可導(dǎo)性
32、和解析性。(6分)三、 證明題。1、 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，為常數(shù)，證明必為常數(shù)。(5分)2、 試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)。(5分)復(fù)變函數(shù)考試試卷(十一)一、填空題。(每題2分)1、設(shè)，則。2、設(shè)函數(shù)，則 的充要條件是。3、設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分。4、設(shè)為的可去奇點(diǎn)，則為。5、設(shè)，則是的階零點(diǎn)。6、設(shè)，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為。7、設(shè)，其中為正常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡曲線是。8、設(shè)，則的三角表示式為。9、。10、設(shè)，則在處的留數(shù)為。 二、計(jì)算題。1、計(jì)算下列各題。(9分)(1) ; (2) ; (3) 2 求解方程。(7分)3設(shè)，驗(yàn)證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之。(8分)4、 計(jì)算積分。積分路徑為(1)自原點(diǎn)到的直線段；(2) 自原點(diǎn)沿虛軸到，再由沿水平方向向右到。(10分)5、 試求在的鄰域內(nèi)的泰勒展開式。(8分)6、 計(jì)算下列積分。(8分)(1) ; (2) .7、 計(jì)算積分。(6分) 8、求下列冪級數(shù)的收斂半徑。(6分)（1） （2）9、設(shè)為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定的值。(8分)三、 證明題。1設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必為常數(shù)。(5分)2試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)。(5分)35
復(fù)變函數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題及答案詳解.doc
