2022年高三數(shù)學 等差數(shù)列及其前n項和導學案

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1、2022年高三數(shù)學 等差數(shù)列及其前n項和導學案【學習目標】理解等差數(shù)列的概念;探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前項和公式;體會等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的關系;等差數(shù)列前項和公式與二次函數(shù)的關系;掌握等差數(shù)列的一些基本性質;【自主學習】一. 要點梳理 1、等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從 起,每一項與它的前一項的差都等于 ,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ,通常用字母 表示。2、等差數(shù)列的通項公式 若等差數(shù)列的首項為,公差是,則其通項公式為 ;掌握公式的推導方法 3、等差中項 如果三個數(shù)成 ,則叫做和的等差中項,且有= 4、等差數(shù)列的前項和公式 = = (二次型);掌握公式的推導

2、方法 5、等差數(shù)列的判定方法(1)定義法: 是等差數(shù)列 (2)等差中項: 是等差數(shù)列 (3)通項公式法: 是等差數(shù)列 (4)前項和法: 是等差數(shù)列 6、等差數(shù)列的性質 (1)通項公式的推廣: (2)若是等差數(shù)列,且,則 (3)若是等差數(shù)列 ,公差為,則也是等差數(shù)列,公差為 (4)若是等差數(shù)列 ,則組成公差為 的等差數(shù)列。(5)若、是等差數(shù)列 ,則是 7、 等差數(shù)列與等差數(shù)列各項和有關的性質(1)若是等差數(shù)列,則也成 數(shù)列,其首項與首項相同,公差是公差的 (2)分別是的前項,前項,前項的和, 成等差數(shù)列 ,公差為 (3)若項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列有 ; , (4若項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列有 ; , ,

3、(5)若、是等差數(shù)列 ,設其前項和分別為 ,則 (6)是等差數(shù)列若有 值,何時取最值可由不等式組或關于的二次函數(shù)的對稱軸來確定。 若有 值,何時取最值可由不等式組或關于的二次函數(shù)的對稱軸來確定。 (7)等差數(shù)列中,若,則 等差數(shù)列中,若,則 等差數(shù)列中,若,則 8、常用的方法與技巧 (1)三數(shù)成等差數(shù)列的設法:、 、 ,為公差。 四數(shù)成等差數(shù)列的設法:、 、 、 ,公差 。 (2)會用方程的思想處理等差數(shù)列的有關問題:等差數(shù)列的通項公式和前項和公式涉及五個量:,“知三求二”,同時還應注意整體代換。 二、 基礎自測 1、等差數(shù)列的前項和為,若,則 ( ) A、12 B、10 C、8 D、6 2、

4、等差數(shù)列中,已知,則為( ) A、48 B、49 C、50 D、51 3、首項為-24的等差數(shù)列,從第十項起開始為正數(shù),則公差的取值范圍是( ) A、 B、 C、 D、 4、一個有限項的等差數(shù)列,它的前5項和為34,最后5項和為146,所有項和為234,則它的第七項等于( ) A、22 B、21 C、 19 D、18 5、設等差數(shù)列、,其前項和分別為 ,若對任意的自然數(shù)都有,則的值為 【典例分析】 等差數(shù)列的基本運算 例1、設是一個公差為的等差數(shù)列,它的前10項和且成等比數(shù)列。 (1)證明; (2)求公差的值和數(shù)列的通項公式。例2、(xx安徽卷文)已知為等差數(shù)列,則等于( ) A. -1 B.

5、 1 C. 3 D.7例3、(四川文7)等差數(shù)列an中,a1=1,a3+a5=14,其前n項和Sn=100,則n=()A9 B10 C11 D12例4、(xx全國卷理)已知等差數(shù)列滿足,則它的前10項的和( )A138B135C95D23練習:1、等差數(shù)列的前項和為,已知。 (1)求通項及前項和; (2)若,求。 2、在等差數(shù)列中,則=( ) A、 24 B、 22 C、 20 D、-83、一個等差數(shù)列的前10項和為100,前100項和為10,則前110項和為 4、(xx福建卷理)等差數(shù)列的前n項和為,且 =6,=4, 則公差d等于( )A B C.- 2 D 35、(xx寧夏海南卷理)等比數(shù)

6、列的前n項和為,且4,2,成等差列。若=1,則=( )(A)7 (B)8 (3)15 (4)166、xx寧夏海南卷理)等差數(shù)列前n項和為。已知+-=0,=38,則m=_7、(xx海南、寧夏文)已知an為等差數(shù)列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,則a5 = _8、已知等差數(shù)列中,前10項和。(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若從數(shù)列中依次取出第2,4,8,項,按原來的順序排列成一個新的數(shù)列,試求新的數(shù)列的前項和9、等差數(shù)列的前項和為,若,則 ;一般地,若,則 10、設是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若,則等于( )A、 120 B、 105 C、 90 D、7510、下表給出一個“等差數(shù)陣”:47(

7、 )( )( )712( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )其中每行、每列都是等差數(shù)列,表示位于第行第列的數(shù)。(1)寫出的值;(2)寫出的計算公式,以及xx這個數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個位置。11、已知,數(shù)列的前項和為,點在曲線上,且,(1)求數(shù)列的通項公式(2)數(shù)列的首項,前項和為,且,求數(shù)列 的通項公式等差數(shù)列的判定例5、已知數(shù)列的前項和為,且滿足。 (1)求證:是等差數(shù)列; (2) 求的表達式。練習:1、已知數(shù)列滿足,令,求證:數(shù)列 是等差數(shù)列。2、數(shù)列滿足,又,則使得為等差數(shù)列的實數(shù) 3、設實數(shù),且函數(shù)有最小值,若數(shù)列的前項和,令,求證:數(shù)列是等差

8、數(shù)列。等差數(shù)列的性質例6、(1)設等差數(shù)列的前項和為,已知前6項和為36,,最后6項和為180,求數(shù)列的項數(shù)及; (2)等差數(shù)列、設其前項和分別為 ,且,求的值。(3)若,則 ;(4)若項數(shù)為奇數(shù),且奇數(shù)項和為44,偶數(shù)項和為33,求數(shù)列的中間項及項數(shù)。練習:1、等差數(shù)列中,則 2、已知等差數(shù)列的前項和為為377,項數(shù)為奇數(shù),且前項奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為:6,則中間項為 3、等差數(shù)列中,已知,則= 4、設是等差數(shù)列的前項和,已知,則等于( ) A、13 B、35 C、 49 D、635、在各項均不為零的等差數(shù)列中,若,則( ) A、-2 B、 0 C、 1 D、2 6、如果為各項都大于零的等

9、差數(shù)列,公差,則( ) A、 B、 C、 D、 7、等差數(shù)列的奇數(shù)項和為216,偶數(shù)項和為192,首項為1,項數(shù)為奇數(shù),求此數(shù)列的末和通項公式。8、等差數(shù)列中,其前項和為,則的值為 9、 等差數(shù)列的公差為2,若,則的值為 10、設是等差數(shù)列的前項和,若,則等于( ) A、 B、 C、 D、 11、 已知兩個等差數(shù)列、,其前項和分別為 ,且,則使得 為正整數(shù)的個數(shù)是( )。A、 2 B、 3 C、4 D、5等差數(shù)列的前項和的最值問題例7、在等差數(shù)列中,已知,前項和為,且,求當取何值時, 取得最大值,并求出它的最大值。練習:1、已知數(shù)列, (1)求證:是等差數(shù)列; (2)若,求數(shù)列的前項和為的最小值。2、設等差數(shù)列的前項和為已知。 (1)求公差的取值范圍; (2)中哪一個值最大?并說明理由。3、在等差數(shù)列中,其前項和為,若,則在, ,中最大的是( )A、 B、 C、 D、4、在等差數(shù)列中,且,若的前項和為,則的最大值是( )A、17 B、 18 C、 19 D、205、(xx四川理)設等差數(shù)列的前項和為,若,則的最大值為_。6、已知是一個等差數(shù)列,且。(1)求的通項公式 (2)求的前項和為的最大值

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